Tính diện tích s hình phẳng là 1 trong ứng dụng đặc biệt của tích phân trong công tác toán phổ thông. Vậy diện tích s hình phẳng là gì? các dạng bài xích tập tìm diện tích s hình phẳng? giải pháp tìm diện tích s hình phẳng như nào? Trong nội dung bài viết dưới trên đây trabzondanbak.com sẽ giúp đỡ bạn tổng hợp kỹ năng về chủ đề này nhé!


Mục lục

2 cách làm tính diện tích s hình phẳng cơ bản3 bí quyết tính diện tích hình phẳng nâng cao3.2 diện tích s hình phẳng giới hạn bởi parabol

Diện tích hình phẳng là gì?

Trong đời sống thực tiễn cũng như khoa học tập kĩ thuật thì họ cần nên tính diện tích của không ít hình phẳng phức tạp mà những công thức thông thường không thể đo lường và thống kê được. Ví dụ: diện tích s của mặt hồ nước tự nhiên, thiết diện cắt ngang của một loại sông… chính vì vậy ta cần áp dụng tích phân để có thể tính được diện tích của không ít hình phức hợp đó.

Bạn đang xem: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường


Công thức tính diện tích hình phẳng cơ bản

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi thứ thị hàm số và các trục tọa độ

Nếu hàm số (y=f(x)) liên tiếp trên đoạn () thì diện tích (S) của hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ dùng thị hàm số (y=f(x)), trục hoành và hai đường thẳng (x=a , x=b ) là :

(S=int_a^b |f(x)|dx)

Ví dụ:

Tính diện tích s ( S ) của hình phẳng giới hạn bởi đồ vật thị hàm số ( y=x^3 -x ) , đường thẳng ( x=2 ), trục tung và trục hoành

Cách giải:

Vì trục tung bao gồm phương trình tọa độ là ( x=0 ) nên vận dụng công thức nêu bên trên ta bao gồm :

(S=int_0^2 |x^3-x|dx)

Vì (left{eginmatrix x^3-x leq 0 hspace5mm forall hspace5mm 0 leq x leq 1\ x^3-x geq 0 hspace5mm forall hspace5mm 1 leq x leq 2 endmatrix ight.)

Nên ta gồm :

(S = int_0^1(x-x^3)dx + int_1^2 (x^3-x)dx)

(S = (fracx^22-fracx^44) igg|_0^1 + (fracx^44-fracx^22) igg|_1^2)

(S = frac14 + frac94 =frac52) (đvdt)

Công thức bao quát tính diện tích s hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ gia dụng thị 

Công thức tìm diện tích s hình phẳng số lượng giới hạn bởi ( y=f(x) ) , ( y=g(x) ) liên tục trên ( ) và hai đường thẳng ( x=a ) , ( x=b ) :

(S=int_a^b |f(x)-g(x)|dx)

Ví dụ:

Tìm diện tích s hình phẳng ( S ) được giới hạn bởi vật thị hai hàm số ( y= x^2+2 ) cùng ( y = 3x )

Cách giải:

Đầu tiên, ta sẽ hoành độ giao điểm của nhì hàm số trên bằng phương pháp giải phương trình :

( x^2 +2 =3x )

(Leftrightarrow x^2-3x+2 =0 Leftrightarrow (x-1)(x-2) =0)

(Leftrightarrow left{eginmatrix x=1\ x=2 endmatrix ight.)

Vậy hình phẳng ( S ) được số lượng giới hạn bởi đồ thị của nhì hàm số ( y= x^2+2 ) , ( y = 3x ) và hai tuyến đường thẳng ( x=1 ) , ( x=2 )

Áp dụng bí quyết trên ta có:

(S= int_1^2 | x^2-3x+2|dx)

(=int_1^2(3x-x^2-2)dx)

(=(frac3x^22 -fracx^33 -2x) igg|_1^2=frac16) (đvdt)

Công thức tính diện tích hình phẳng nâng cao

Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 3 hàm số

Bài toán để ra: Tính diện tích s hình phẳng (S) được số lượng giới hạn bởi đồ vật thị cha hàm số : (y=f(x) ;y=g(x); y=h(x))

*

Các cách làm như sau:

Bước 2: diện tích hình phẳng (S) sẽ được tính theo cách làm :

(S = int_x_1^x_2|u(x)|dx + int_x_2^x_3 |v(x)| dx)

Với (u(x)) là hàm số của phương trình tra cứu ( x_1 )

( v(x) ) là hàm số của phương trình tìm kiếm ( x_2 ) 

 Ví dụ:

Tính diện tích hình phẳng S được số lượng giới hạn bởi cha hàm số : ( y= 3^x ) , ( y= 4-x ) , ( y=1 )

Cách giải:

Ta search hoành độ giao điểm của từng cặp hàm số :

(left{eginmatrix 3^x = 4-x Rightarrow x=1\ 3^x =1 Rightarrow x=0 \ 4-x = 1 Rightarrow x=3 endmatrix ight.)

Vậy áp dụng công thức trên ta tất cả :

(S= int_0^1|3^x -1 |dx + int_1^3 |4-x-1|dx)

(= (frac3^xln 3-x) igg |_0^1 + (3x-fracx^22)igg |_1^3)

(= (frac3^xln 3-x) igg |_0^1 + (3x-fracx^22)igg |_1^3 =frac2ln 3+1) (đvdt)

Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi parabol

Diện tích hình phẳng bị số lượng giới hạn bởi parabol và con đường thẳng

Cho Parabol ( y = ax^2 + bx +c ) cùng với ( b^2-4ac >0 ). Lúc đó diện tích s hình phẳng ( S ) được số lượng giới hạn bởi vật dụng thị của Parabol cùng với trục hoành được xem như sau :

(S=int_x_1^x_2(ax^2+bx+c)dx)

Với ( x_1;x_2 ) là hai nghiệm của Parabol

Bằng cách thay đổi đơn giản sử dụng định lí Vi-ét, từ cách làm trên ta sẽ có :

(S^2=frac(b^2-4ac)^336a^4) giỏi (S=frac(b^2-4ac)sqrtb^2-4ac6a^2)

Công thức này thường xuyên được áp dụng trong số bài toán trắc nghiệm yêu cầu tính toán nhanh!

Ví dụ:

Tính diện tích hình phẳng ( S ) được giới hản vị Parabol ( y=x^2-5x +6 ) với trục hoành

Cách giải:

Áp dụng bí quyết trên cùng với ( a=1 : b= -5 ; c=6 ) ta có:

(S=frac(b^2-4ac)sqrtb^2-4ac6a^2 = frac16) (đvdt)

Tính diện tích s hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường tròn

Với dạng toán này , ta đề xuất vẽ hình sơ cỗ để nhấn diện được hình phẳng đề nghị tính diện tích rồi tiếp đến sử dụng những công thức cơ phiên bản nêu trên để giám sát và đo lường thích hợp.

Chú ý: cùng với dạng bài bác này khi đề nghị tính tích phân bọn họ sẽ buộc phải sử dụng cách thức đổi trở thành số để tính được tích phân yêu cầu tìm. 

Ví dụ:

Tìm diện tích s hình phẳng ( S ) được giới hạn bởi Parabol (y= sqrt2x) và mặt đường tròn (x^2 + y^2 =8)

Cách giải:

Hoành độ giao điểm của Parabol và con đường tròn là nghiệm của hệ phương trình :

(left{eginmatrix y=sqrt2x\ x^2+y^2=8 endmatrix ight.) cùng với ( x geq 0 )

(Rightarrow x^2+2x-8=0 Rightarrow (x-2)(x+4)=0)

(Rightarrow left<eginarrayl x=2 \ x=-4 endarray ight.)

Vì ( x geq 0 ) nên ( x=2 )

Hoành độ giao điểm của mặt đường tròn và trục hoành là vấn đề (x= 2sqrt2) cùng (x= -2sqrt2)

Qua hình vẽ ta thấy ( S ) được chia thành hai phần gồm:

( S_1 ) là phần tô màu sắc vàng

( S_2 ) là phần tô màu sắc đỏ

( S= S_1 + S_2 )

*

( S_1 ) là hình phẳng được số lượng giới hạn bởi Parabol (y= sqrt2x) và hai đường thẳng ( x=0 ; x=2 ) . Vậy

(S_1 = 2int_0^2sqrt2x hspace2mm dx = 2. frac2sqrt23 xsqrtx igg |_0^2 =frac83)

( S_2 ) là hình phẳng được giới hạn bởi con đường tròn (x^2 + y^2 =8) và hai tuyến phố thẳng (x=2 ; x=2sqrt2). Vậy

(S_2= 2 int_2^2sqrt2 sqrtx^2-8 hspace2mm dx)

Đặt (x= 2sqrt2sin t) cùng với (0 leq t leq fracpi2)

(Rightarrow dx = 2sqrt2 cos t hspace2mmdt)

(Rightarrow S_2 =2 int_fracpi4^fracpi22sqrt2.sqrt8-8 sin ^2 t. cos t hspace2mm dt)

(=16int_fracpi4^fracpi2cos^2t hspace2mm dt)

(=8int_fracpi4^fracpi2 (1+ cos 2t)dt)

(=8(t+fracsin 2t2) igg |_fracpi4^fracpi2 =2pi -4)

Vậy (S=S_1 + S_2 = 2pi + frac43) (đvdt)

Chú ý: Qua những ví dụ bên trên ta phân biệt công thức tính diện tích s tổng quát tháo (S=int_a^b |f(x)-g(x)|dx) được áp dụng ở hầu như các bài xích toán. Vì chưng vậy đây là một cách làm cơ bản quan trọng mà bọn họ cần ghi nhớ.

Bài viết trên trên đây của trabzondanbak.com đã khiến cho bạn tổng hợp định hướng về các công thức diện tích hình phẳng bằng tích phân cũng như một số dạng bài xích tập tính diện tích s hình phẳng.

Xem thêm: Ngày 1 5 Là Ngày Gì ? Tìm Hiểu Về Ngày Quốc Tế Lao Động 1/5 Ngày 1/5 Là Ngày Gì

Hy vọng những kỹ năng và kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho các bạn trong quá trình học tập. Chúc bạn luôn học tốt!