Hướng dẫn, giải pháp giải phương trình nghiệm nguyên qua một số ví dụ. Phương pháp: chẵn lẻ, phân tích, rất hạn, các loại trừ, phân chia hết, lùi vô hạn,bất đẳng thức.

Tùy từng bài tập mà các em áp dụng một tuyệt nhiều cách thức để giải việc phương trình nghiệm nguyên.




Bạn đang xem: Tìm nghiệm nguyên của phương trình

I. Phương thức 1 : thực hiện tính chẵn lẻ

Ví dụ 1: tra cứu x, y thành phần thoả mãn

y2 – 2x2 = 1

Hướng dẫn:

Ta bao gồm y2 – 2x2 = 1 ⇒ y2 = 2x2 +1 ⇒ y là số lẻ

Đặt y = 2k + 1 (với k nguyên).Ta bao gồm (2k + 1)2 = 2x2 + 1

⇔ x2 = 2 k2 + 2k ⇒ x chẵn , nhưng mà x yếu tố ⇒ x = 2, y = 3

Ví dụ 2: search nghiệm nguyên dương của phương trình

(2x + 5y + 1)(2|x| + y + x2  + x) = 105

 Hướng dẫn:

Ta có: (2x + 5y + 1)(2|x| + y + x2  + x) = 105

Ta thấy 105 lẻ ⇒ 2x + 5y + 1 lẻ ⇒ 5y chẵn ⇒ y chẵn

2|x| + y + x2  + x = 2|x| + y + x(x+ 1) lẻ

có x(x+ 1) chẵn, y chẵn ⇒ 2|x|  lẻ ⇒ 2|x| = 1 ⇒ x = 0

Thay x = 0 vào phương trình ta được

(5y + 1) ( y + 1) = 105 ⇔ 5y2 + 6y – 104 = 0

⇒ y = 4 hoặc y = $ displaystyle -frac265$ ( loại)

Thử lại ta có x = 0; y = 4 là nghiệm của phương trình

II. Phương thức 2 : phương pháp phân tích

Thực hóa học là biến đổi phương trình về dạng:

g1 (x1, x2,…., xn­) h (x1, x2,…., xn­) = a

Ví dụ 3: kiếm tìm nghiệm nguyên của phương trình

x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2

Hướng dẫn: Ta có: x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2 ⇔ x4 +4x3+6x2+4x +1- y2=1

⇔ (x+1)4 – y2 = 1 ⇔ <(x+1)2 –y> <(x+1)2+y>= 1

⇔ $ displaystyle left{ eginarrayl(x+1)_^2-y=1\(x+1)_^2+y=1endarray ight.$ hoặc $ displaystyle left{ eginarrayl(x+1)_^2-y=-1\(x+1)_^2+y=-1endarray ight.$

$ displaystyle left< eginarrayl1+y=1-y\-1+y=-1-yendarray ight.$

⇒ y = 0 ⇒ (x+1)2 = 1 ⇔ x+1 = ±1 ⇒ x = 0 hoặc x = -2

Vậy ( x, y ) = ( 0, 0 ); ( – 2, 0 )

III.

Xem thêm: Giải Sách Bài Tập Tiếng Anh Lớp 8 Unit 4 Lớp 8, Học Tốt Tiếng Anh Lớp 8

Phương pháp 3 : cách thức cực hạn

Sử dụng so với 1 số vấn đề vai trò của các ẩn bình đẳng như nhau:

Ví dụ 4: kiếm tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

5 ( x + y + z + t ) + 10 = 2 xyzt

phía dẫn:

Ta đưa sử x ≥ y ≥ z ≥ t ≥ 1

Ta có: 5 ( x + y + z + t ) + 10 = 2 xyzt

*
*
*
*
*
*
*

⇒ (x- n) (x+ n) = 4 ⇒ x – n = x + n = ± 2 ⇒ x = ± 2

Vậy phương trình có nghiệm nguyên

(x, y) = (2; -5); (-2, 3)

Ví dụ 15: tra cứu nghiệm nguyên của phương trình

x2 – (y+5)x + 5y + 2 = 0

Hướng dẫn:

Ta có x2 – (y+5)x + 5y + 2 = 0 coi y là tham số ta tất cả phương trình bậc 2 ẩn x. Trả sử phương trình bậc 2 bao gồm 2 nghiệm x1, x2

Ta có: $ displaystyle left{ eginarraylx_1+x_2=y+5\x_1x_2=5y+2endarray ight.$

⇒ $ displaystyle left{ eginarrayl5x_1+5x_2=5y+25\x_1x_2=5y+2endarray ight.$

⇒ 5 x1 + 5x2 – x1x2 = 23

⇔ (x1 -5) (x2 -5) = 2 mà lại 2 = 1.2 = (-1)(-2)

⇒ x1 + x2 = 13 hoặc x1 + x2 = 7 ⇒ y = 8 hoặc y = 2

thay vào phương trình ta tìm được các cặp số

(x,y ) = (7, 8); (6, 8); (4, 2); (3, 2); là nghiệm của phương trình

X. Phương pháp 10 : cần sử dụng bất đẳng thức

Ví dụ 16: search nghiệm nguyên của phương trình

x2 –xy + y2 = 3

hướng dẫn:

Ta tất cả x2 –xy + y2 = 3 ⇔ (x- $ displaystyle fracy2$)2 = 3 – $ displaystyle frac3y_^24$

Ta thấy (x- $ displaystyle fracy2$)2 = 3 – $ displaystyle frac3y_^24$ ≥ 0