phương pháp giải hệ phương trình Giải hệ phương trình chuyên đề luyện thi Đại học môn Toán Ôn tập môn Toán việc hệ phương trình kỹ năng giải toán phương trình


Bạn đang xem: Phương trình luyện thi đại học

*
pdf

bài bác giảng Tin học vận dụng nâng cao: Giải phương trình cùng hệ phương trình - Lê Viết Mẫn


*
pdf

Đề thi HSG môn Toán lớp 12 năm 2019-2020 - Sở GD&ĐT Cao bằng


*
pdf

Đề thi HK 1 môn Toán lớp 10 năm 2019-2020 - Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc




Xem thêm: Các Bài Tập Xác Định Công Thức Hợp Chất Hữu Cơ Lớp 11, Bài Tập Lập Công Thức Phân Tử Hợp Chất Hữu Cơ

Nội dung

www.VNMATH.comMỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNHLuyện thi Đại học 2011MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁPGIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNHTham khảo tạp chí THTT 2010Trong các đề thi đại học những năm gần đây, ta gặp gỡ rất nhiều vấn đề về hệphương tr ình. Nhằm mục đích giúp chúng ta ôn thi tốt, nội dung bài viết này chúng tôi xin reviews một sốdạng bài xích và kĩ năng giải.I.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG.Đặc điểm phổ biến của dạng hệ này là sử dụng các kĩ năng đổi khác đồng duy nhất đặcbiệt là tài năng phân tích nhằm mục đích đưa một PT trong hệ về dạng đơn giản và dễ dàng ( rất có thể rút theoy hoặc trái lại ) rồi vậy vào PT còn lại trong hệ.*Loại lắp thêm nhất: trong hệ bao gồm một phương trình hàng đầu với ẩn x hoặc y khi ấy ta tìmcách rút y theo x hoặc ngược lại.22ïì x ( y + 1) ( x + y + 1) = 3x - 4 x + 1 (1)Ví dụ 1. Giải hệ phương trình í2( 2)ïî xy + x + 1 = xx2 - 1thay vào (1) taGiải. Hay thấy x = 0 không vừa lòng PT(2) đề xuất từ (2) ta có : y + 1 =xđượcx2 - 1 æx2 - 1 ö222x2.x+ç÷ = 3 x - 4 x + 1 Û ( x - 1)( 2 x - 1) = ( x - 1) ( 3 x - 1)x èx øéx = 1Û ( x - 1) ( 2 x + 2 x - x - 1) = ( x - 1) ( 3 x - 1) Û ( x - 1) ( 2 x + 2 x - 4 x ) = 0 Û êê x = 0 (loại)êë x = -25Từ đó, ta được những nghiệm của hệ là : (1; - 1) , ( - 2; - )2*Loại thiết bị hai: Một phương trình vào hệ có thể đưa về dạng tích của những phương trìnhbậc tốt nhất hai ẩn.ìï xy + x + y = x 2 - 2 y 2(1)Ví dụ 2 . Giải hệ phương trình í( 2)ïî x 2 y - y x - 1 = 2 x - 2 yGiải .Điều kiện: x ³ 1, y ³ 0PT (1) Û x 2 - xy - 2 y 2 - ( x + y ) = 0 Û ( x + y ) ( x - 2 y ) - ( x + y ) = 0 ( trường đoản cú điều kiệnta tất cả x + y > 0 )Û x - 2 y - 1 = 0 Û x = 2 y + 1 nạm vào PT (2) ta được :32y 2 x + 2 y = 2 y + 2 Û ( y + 1)3(2)2 y - 2 = 0 ( vày y ³ 0 ) Û y = 2 Þ x = 5*Loại sản phẩm công nghệ ba: Đưa một phương trình vào hệ về dạng phương trình bậc nhì của một ẩn,ẩn còn sót lại là tham số.ìï y 2 = ( 5 x + 4 ) ( 4 - x )(1)Ví dụ 3. Giải hệ phương trình í 22( 2)ïî y - 5 x - 4 xy + 16 x - 8 y + 16 = 0Giải .Biến thay đổi PT (2) về dạng y 2 - ( 4 x + 8 ) y - 5 x 2 + 16 x + 16 = 0Giáo viên: LÊ BÁ BẢOTổ Toán trung học phổ thông Phong Điền www.VNMATH.comMỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNHLuyện thi Đại học 2011Coi PT (2) là phương trình ẩn y tham số x ta gồm D " = 9 x 2 từ kia ta được nghiệmé y = 5 x + 4 ( 3)êêë y = 4 - x ( 4 )4éx=Þ y=02Thay (3) vào (1) ta được: ( 5 x + 4 ) = ( 5 x + 4 ) ( 4 - x ) Û ê5êëx = 0 Þ y = 4éx = 4 Þ y = 02Thay (4) vào (1) ta được: ( 4 - x ) = ( 5 x + 4 ) ( 4 - x ) Û êëx = 0 Þ y = 4æ 4 öVậy nghiệm của hệ là: (0;4) , (4;0) , ç - ;0 ÷è 5 øII.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤĐiểm đặc biệt nhất vào hệ dạng này là phát hiện tại ẩn phụ a = f ( x, y ) ; b = g ( x, y ) cóngay trong từng phương trình hoặc xuất hiện thêm sau một phép chuyển đổi hằng đẳng thức cơbản hoặc phép phân tách cho một biểu thức khác 0.2(1)ïì x + 1 + y ( y + x ) = 4 yVí dụ 4. Giải hệ phương trình í 2ïî( x + 1) ( y + x - 2 ) = y ( 2 )Giải .ì x2 + 1ï y + y+x=4ïDễ thấy y = 1 không vừa lòng PT(1) cần HPT Û í 2ïæ x + 1 ö ( y + x - 2 ) = 1ïçè y ÷øî2ìa + b = 2x +1giải hệ ta được a = b = 1 từ đó ta tất cả hệ,b = y + x - 2 Þ íĐặt a =ab1=yî2ìx +1 = yíîx + y = 3Hệ này các bạn đọc có thể giải dễ dàng dàng.3ì22ï4 xy + 4 ( x + y ) + x + y 2 = 7()ïVí dụ 5. Giải hệ phương trình íï2 x + 1 = 3ïîx+ yGiải . Điều khiếu nại : x + y ¹ 0322ìï3 ( x + y ) + ( x - y ) + x + y 2 = 7()ïHPT Û íïx + y + 1 + x - y = 3x+ yîïGiáo viên: LÊ BÁ BẢOTổ Toán trung học phổ thông Phong Điền www.VNMATH.comMỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNHLuyện thi Đại học 2011ìï3a 2 + b 2 = 13 (1)( a ³ 2 ) ; b = x - y ta được hệ í( 2)ïîa + b = 3Giải hệ ta được a=2 , b=1 ( vị a ³ 2 ) từ kia ta tất cả hệ1ì=2ìx + y = 1 ìx = 1ïx + y +x+ yÛíÛííîx - y = 1 î y = 0ïx - y = 1îIII.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐHệ loại này ta gặp nhiều ở nhì dạng f ( x) = 0 (1)và f ( x) = f ( y ) (2) với f là hàm đơnđiệu trên tập D cùng x, y thuộc D .Nhiều khi ta cần phải review ẩn x, y nhằm x, y ở trong tậpmà hàm f solo điệu* một số loại thứ nhất: Một phương trình trong hệ có dạng f ( x) = f ( y ) , phương trình còn lạigiúp ta giới hạn x, y thuộc tập D đặt trên để trên đó hàm f 1-1 điệu.ìï x 3 - 5 x = y 3 - 5 y (1)Ví dụ 6 . Giải hệ phương trình í 84( 2)ïî x + y = 1Giải . Trường đoản cú PT (2) ta bao gồm x8 £ 1; y 4 £ 1 Û x £ 1; y £ 11Đặt a = x + y +x+ yXét hàm số f ( t ) = t 3 - 5t ; t Î < -1;1> tất cả f " ( t ) = 3t 2 - 5 t 2 ³ -t Þ t 2 + 1 + t > 0 Þ f / ( t ) > 0, "t vì thế hàm số f (t ) đồngbiến trên RNên PT (3) Û a = b gắng vào PT (1) ta được a + a 2 + 1 = 3a (4)()Theo nhận xét bên trên thì a + a 2 + 1 > 0 nên PT (4) Û ln a + a 2 + 1 - a ln 3 = 0( đem ln nhì vế )Giáo viên: LÊ BÁ BẢOTổ Toán trung học phổ thông Phong Điền www.VNMATH.comMỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH)(Xét hàm số g ( a ) = ln a + a 2 + 1 - a ln 3;g" ( a ) =Luyện thi Đại học 20111- ln 3 2 từ bỏ (1) suy ra y - 2 0, y > 0, y + 3 x ¹ 0 . Hệ vẫn cho tương tự với3122ì 1ì=1+1=ïï y + 3xyxïï xÛííï1 - 12 = 6ï 1 - 3 = -12ïî y + 3 xïî xyy y + 3x21 9-12æyöæyöSuy ra - =Þ y 2 + 6 xy - 27 x 2 = 0 Þ ç ÷ + 6 ç ÷ - 27 = 0.x y y + 3xèxøèxø22yyyTìm được = 3 cùng = -9 (loại). Với = 3 ta được x = 1 + 3 ; y = 3 1 + 3 .xxxìïlog y xy = log x y (1)Bài toán 4: Giải hệ phương trình: íyx(2)ïî2 + 2 = 3Lời giải: Điều khiếu nại x > 0, y > 0, x ¹ 1, y ¹ 1 .Từ (1) gồm t 2 + t - 2 = 0 cùng với t = log y x .()()æ3öa) với log y x = 1 , ta được x = y = log2 ç ÷ .è2ø121b) cùng với log y x = -2 , ta được x = 2 . Nắm vào (2) được 2 y + 2 y = 3yTrường hòa hợp này PT (3) vô nghiệm. Thật vậy:+ nếu y > 1 thì 2 > 2; 2yGiáo viên: LÊ BÁ BẢO1y2>1Þ 2 + 2y1y2(3)> 3.Tổ Toán thpt Phong Điền www.VNMATH.comMỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH1Luyện thi Đại học tập 20111221+ ví như 0 1 suy ra: 2 y > 1; 2 y > 2 Þ 2 y + 2 y > 3 .yææ 3 ööæ3öVậy hệ đã mang lại chỉ bao gồm một nghiệm ( x; y ) = ç log2 ç ÷ ;log2 ç ÷ ÷ .è2øè 2 øøèì36 x 2 y - 60 x 2 + 25y = 0ï22Bài toán 5: (Dự bị D- 2008) Giải hệ phương trình:í36 y z - 60 y + 25z = 0ï36 z2 x - 60 z2 + 25 x = 0îì60 x 2ïy =36 x 2 + 25ïï60 y 2Lời giải: Hệ sẽ cho tương tự với í z =36 y 2 + 25ïï60 z2x=ï36 z2 + 25îHiển nhiên hệ này còn có nghiệm ( x; y; z ) = ( 0;0;0 ) . Sau đây ta xét x , y, z ¹ 0 .Từ hệ trên ta thấy x , y, z > 0 . áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:60 x 260 x 260 x 2£== x.y=36 x 2 + 25 2 36 x 2 .25 60 xTương trường đoản cú ta thu được y £ x £ z £ y . Suy ra x = y = z . Từ kia suy ra hệ tất cả một nghiệm nữa5x=y=z= .6ìï x - 1 - y = 8 - x 3Bài toán 6: Giải hệ phương trình: í4ïî( x - 1) = yLời giải: Đk x ³ 1, y ³ 0. Núm y từ bỏ PT(2) vào PT(1) ta đượcx - 1 - ( x - 1) = 8 - x 3 (3)2Từ (3) tất cả x - 1 = - x 3 + x 2 - 2 x + 9 (4)Xét hàm số f ( x ) = - x 3 + x 2 - 2 x + 9 ( x ³ 1) . Ta gồm f / ( x ) = -3 x 2 + 2 x - 2 0, "x ³ 1÷Û x = 2 ç Dox -1 +1èøDưới đây, xin nêu một việc trong Đề thi tuyển chọn sinh Đại học sớm nhất mà nếu khôngdùng đến pháp luật đạo hàm thì khó có thể giải quyết được.ìï( 4 x 2 + 1) x + ( y - 3) 5 - 2 y = 0 (1)Bài toán 7: (A- 2010) Giải hệ phương trình:í 22(2)îï4 x + y + 2 3 - 4 x = 735Lời giải: Đk x £ ; y £ .422PT(1) Û ( 4 x + 1) 2 x = ( 5 - 2 y + 1) 5 - 2 y()ïì2 x = uÞ ( u2 + 1) u = ( v 2 + 1) v .Đặt íîï 5 - 2 y = vHàm f (t ) = ( t 2 + 1) t bao gồm f / (t ) = 3t 2 + 1 > 0 phải f (t ) luôn đồng biến chuyển trên  , suy ra:ìx ³ 0ïu = v Û 2 x = 5 - 2y Û í5 - 4x2ïy =2î2æ522öThế y vào PT (2) ta được: 4 x + ç - 2 x ÷ + 2 3 - 4 x = 0 (3)è2ø3Nhận thấy x = 0 với x = chưa phải là nghiệm của PT (3). Xét hàm số:42æ5öæ 3ög( x ) = 4 x 2 + ç - 2 x 2 ÷ + 2 3 - 4 x bên trên ç 0; ÷ .è2øè 4ø44æ 3öæ5öTa có g / ( x ) = 8 x - 8 x ç - 2 x 2 ÷ = 4 x ( 4 x 2 - 3) 0, "t đề nghị hàm số f (t ) luôn luôn đồng thay đổi nênx= y Û x = y 2 . Rứa x = y 2 vào PT(2) ta được 4 x + 5 + x + 8 = 6 . Tìm được x = 1 .yVậy hệ bao gồm hai nghiệm ( x; y ) = (1;1) cùng ( x; y ) = (1; -1) .BÀI TẬP TỰ LUYỆN:Giải những hệ phương trình sau:432 2432 2ïì x - x y + x y = 1ïì x + 2 x y + x y = 2 x + 91) í 32) í 22ïî x + 2 xy = 6 x + 6ïî x y - x + xy = -1xì2+6y=- x - 2yìï 11x - y - y - x = 1ïy3) í4) íïî7 y - x + 6 y - 26 x = 3ï x + x - 2 y = x + 3y - 2îìï x 2 + y = y 2 + x5) í x + yx -1ïî2 - 2 = x - yìï x 2 - 12 xy + 20 y 2 = 06) íîïln (1 + x ) - ln (1 + y ) = x - yì 1- x23ïï2 x + xy + = 2 y27) í2ï x2y + 2x - 2x2y - 4x + 1 = 0)ïî(ìï2 x 2 y + y 3 = 2 x 4 + x 68) í2ïî(x + 2 ) y + 1 = (x + 1)2ì x 3 - 3 x 2 = y 3 - 3y - 2ï9) íæ x -2ö3æ y -1 öïlog y ç y - 1 ÷ + log x ç x - 2 ÷ = (x - 3)èøèøîGiáo viên: LÊ BÁ BẢOTổ Toán thpt Phong Điền