Bài viết khuyên bảo phương pháp giải các dạng phương trình lượng giác thường gặp gỡ trong công tác Đại số và Giải tích 11 chương 1.

Bạn đang xem: Phương trình lượng giác thường gặp

1. Phương trình bậc hai so với một hàm con số giácDạng 1: $asin ^2x + bsin x + c = 0$ $(a e 0; a, b, c in R).$Cách giải: Đặt $t = sin x$, điều kiện $|t| le 1$, gửi phương trình $asin ^2x + bsin x + c = 0$ về phương trình bậc nhì theo $t$, giải tìm kiếm $t$, chú ý kết phù hợp với điều khiếu nại của $t$ rồi giải search $x.$• Dạng 2: $acos ^2x + bcos x + c = 0$ $(a e 0; a, b, c in R).$Cách giải: Đặt $t = cos x$, điều kiện $|t| le 1$, đưa phương trình $acos ^2x + bcos x + c = 0$ về phương trình bậc nhị theo $t$, giải search $t$, chăm chú kết hợp với điều khiếu nại của $t$ rồi giải tìm $x.$• Dạng 3: $a an ^2x + b an x + c = 0$ $(a e 0; a, b, c in R).$Cách giải: Điều khiếu nại $cos x e 0$ $ Leftrightarrow x e fracpi 2 + kpi $ $left( k in Z ight).$Đặt $t = an x$ $left( t in R ight)$, gửi phương trình $a an ^2x + b an x + c = 0$ về phương trình bậc nhì theo $t$, chú ý khi kiếm được nghiệm $x$ cần cố kỉnh vào đk xem thoả mãn hay không.• Dạng 4: $acot ^2x + bcot x + c = 0$ $(a e 0; a, b, c in R).$Cách giải: Điều khiếu nại $sin x e 0$ $ Leftrightarrow x e kpi $ $left( k in Z ight).$Đặt $t = cot x$ $(t in R)$, đưa phương trình $acot ^2x + bcot x + c = 0$ về phương trình bậc hai theo ẩn $t$, giải kiếm tìm $t$ rồi tìm kiếm $x$, chú ý khi tìm được nghiệm đề nghị thay vào điều kiện xem toại nguyện hay không.

Ví dụ 1: Giải phương trình $2cos ^2x – 3cos x + 1 = 0.$

$2cos ^2x – 3cos x + 1 = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarraylcos x = 1\cos x = frac12endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarraylx = k2pi \x = pm fracpi 3 + k2piendarray ight.$ $left( k in Z ight).$Vậy phương trình gồm 3 bọn họ nghiệm $left< eginarraylx = k2pi \x = pm fracpi 3 + k2piendarray ight.$ $left( k in Z ight).$

Ví dụ 2: Giải phương trình $cot x – an x + 4sin 2x = frac2sin 2x.$

Điều kiện: $sin 2x e 0$ $ Leftrightarrow x e frackpi 2$ $ left( k in Z ight).$Ta có: $cot x – an x + 4sin 2x = frac2sin 2x$ $ Leftrightarrow fraccos xsin x – fracsin xcos x + 4sin 2x = frac2sin 2x$$ Leftrightarrow fraccos ^2x – sin ^2xsin x.cos x + 4sin 2x = frac2sin 2x$ $ Leftrightarrow frac2cos 2xsin 2x + 4sin 2x = frac2sin 2x$$ Leftrightarrow cos 2x + 2sin ^22x = 1$ $ Leftrightarrow 2cos ^22x – cos 2x – 1 = 0$$ Leftrightarrow left< eginarraylcos 2x = 1\cos 2x = – frac12endarray ight.$Ta thấy $cos 2x = 1$ không toại nguyện điều kiện. Bởi đó:PT $ Leftrightarrow cos 2x = – frac12$ $ Leftrightarrow 2x = ± frac2pi 3 + k2pi $ $ Leftrightarrow x = pm fracpi 3 + kpi $ $left( k in Z ight).$Vậy phương trình tất cả 2 bọn họ nghiệm $ Leftrightarrow x = pm fracpi 3 + kpi $ $left( k in Z ight).$

2. Phương trình bậc nhất đối với $sin x$ và $cos x$Phương trình lượng giác dạng $asin x + bcos x = c$, trong đó $a, b, c in R$ và $a^2 + b^2 e 0$ được call là phương trình bậc nhất đối với $sin x$ và $cos x$.

Cách giải: Ta hoàn toàn có thể lựa chọn 1 trong 2 phương pháp sau:Cách 1: Thực hiện theo các bước:• Bước 1: Kiểm tra:+ Nếu $a^2 + b^2 + Nếu $a^2 + b^2 ge c^2$ khi đó nhằm tìm nghiệm của phương trình ta thực hiện tiếp cách 2.• Bước 2: Chia cả hai vế phương trình $asin x + bcos x = c$ cho $sqrt a^2 + b^2 $, ta được:$fracasqrt a^2 + b^2 sin x + fracbsqrt a^2 + b^2 cos x$ $ = fraccsqrt a^2 + b^2 .$Vì $left( fracasqrt a^2 + b^2 ight)^2 + left( fracbsqrt a^2 + b^2 ight)^2 = 1$ buộc phải tồn trên góc $alpha $ sao cho $fracasqrt a^2 + b^2 = cos alpha $ và $fracbsqrt a^2 + b^2 = sin alpha .$Khi kia phương trình $asin x + bcos x = c$ tất cả dạng $sin x.cos alpha + sin alpha .cos x = fraccsqrt a^2 + b^2 $ $ Leftrightarrow sin (x + alpha ) = fraccsqrt a^2 + b^2 .$Đây là phương trình lượng giác cơ bản của $sin$ nhưng mà ta đã hiểu cách thức giải.

Cách 2: tiến hành theo những bước:• cách 1: cùng với $cos fracx2 = 0$ $ Leftrightarrow x = pi + k2pi $ $(k in Z).$ thử vào phương trình $asin x + bcos x = c$ xem gồm là nghiệm tốt không?• Bước 2: Với $cos fracx2 e 0$ $ Leftrightarrow x e pi + k2pi $ $(k in Z).$Đặt $t = an fracx2$ suy ra $sin x = frac2t1 + t^2$, $cos x = frac1 – t^21 + t^2.$Khi kia phương trình $asin x + bcos x = c$ có dạng: $afrac2t1 + t^2 + bfrac1 – t^21 + t^2 = c$ $ Leftrightarrow (c + b)t^2 – 2at + c – b = 0.$• cách 3: Giải phương trình bậc hai ẩn $t$ sau kia giải tra cứu $x.$

Dạng sệt biệt:• $sin x + cos x = 0$ $ Leftrightarrow x = – fracpi 4 + kpi $ $(k in Z).$• $sin x – cos x = 0$ $ Leftrightarrow x = fracpi 4 + kpi $ $(k in Z).$

Ví dụ 3: Giải phương trình $(1 + sqrt 3 )sin x + (1 – sqrt 3 )cos x = 2.$

Cách 1: Thực hiện nay phép biến đổi đổi:PT $ Leftrightarrow (frac1 + sqrt 3 2sqrt 2 )sin x + (frac1 – sqrt 3 2sqrt 2 )cos x = frac1sqrt 2 .$Đặt $frac1 + sqrt 3 2sqrt 2 = cos alpha $, $frac1 – sqrt 3 2sqrt 2 = sin alpha .$Phương trình đang cho sẽ được viết thành $sin x.cos alpha + sin alpha .cos x = frac1sqrt 2 $ $ Leftrightarrow sin (x + alpha ) = sin fracpi 4$$ Leftrightarrow left< eginarraylx + alpha = fracpi 4 + k2pi \x + alpha = pi – fracpi 4 + k2piendarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarraylx = fracpi 4 – alpha + k2pi \x = frac3pi 4 – alpha + k2piendarray ight.$ $left( k in Z ight).$Vậy phương trình tất cả hai bọn họ nghiệm $left< eginarraylx = fracpi 4 – alpha + k2pi \x = frac3pi 4 – alpha + k2piendarray ight.$ $left( k in Z ight).$

Cách 2: biến hóa phương trình về dạng:$(sin x + cos x) + sqrt 3 (sin x – cos x) = 2$ $ Leftrightarrow sqrt 2 sin (x + fracpi 4) – sqrt 6 cos (x + fracpi 4) = 2$$ Leftrightarrow frac12sin (x + fracpi 4) – fracsqrt 3 2cos (x + fracpi 4) = frac1sqrt 2 $ $ Leftrightarrow sin (x + fracpi 4)cos fracpi 3 – cos (x + fracpi 4)sin fracpi 3 = frac1sqrt 2 $$ Leftrightarrow sin (x + fracpi 4 – fracpi 3) = sin fracpi 4$ $ Leftrightarrow left< eginarraylx – fracpi 12 = fracpi 4 + k2pi \x – fracpi 12 = pi – fracpi 4 + k2piendarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarraylx = fracpi 3 + k2pi \x = frac5pi 6 + k2piendarray ight.$ $left( k in Z ight).$Vậy phương trình có hai chúng ta nghiệm $left< eginarraylx = fracpi 3 + k2pi \x = frac5pi 6 + k2piendarray ight.$ $left( k in Z ight).$

Chú ý: Đối với phương trình dạng $asin P(x) + bcos Q(x)$ $ = csin Q(x) + dcos P(x)$ trong kia $a, b, c, d ∈ R$ thoả mãn $a^2 + b^2 = c^2 + d^2 > 0$ và $P(x)$, $Q(x)$ không mặt khác là những hàm hằng số. Bởi phép chia cho $sqrt a^2 + b^2 $ ta có: PT $ Leftrightarrow sin left< P(x) + alpha ight> = sin left< Q(x) + eta ight>$ (hoặc $cos left< P(x) + alpha ight> = cos left< Q(x) + eta ight>$).

Ví dụ 4: Giải phương trình: $cos 7x – sin 5x = sqrt 3 (cos 5x – sin 7x).$

PT ⇔ $cos 7x + sqrt 3 sin 7x = sqrt 3 cos 5x + sin 5x $$ Leftrightarrow frac12cos 7x + fracsqrt 3 2sin 7x$ $ = fracsqrt 3 2cos 5x + frac12sin 5x$$ Leftrightarrow cos fracpi 3cos 7x + sin fracpi 3sin 7x$ $ = cos fracpi 6cos 5x + sin fracpi 6sin 5x$$ Leftrightarrow cos (7x – fracpi 3) = cos (5x – fracpi 6)$ $ Leftrightarrow left< eginarraylx = fracpi 12 + kpi \x = fracpi 24 + frackpi 6endarray ight.$ $(k ∈ Z).$Vậy phương trình tất cả hai bọn họ nghiệm $ left< eginarraylx = fracpi 12 + kpi \x = fracpi 24 + frackpi 6endarray ight.$ $(k ∈ Z).$3. Phương trình thuần nhất bậc nhì đối với $sin x$ và $cos x$Phương trình thuần duy nhất bậc hai so với $sin x$ và $cos x$ là phương trình bao gồm dạng $asin ^2x + bsin x.cos x + ccos ^2x = d$, trong đó $a, b, c, d ∈ R.$

Cách giải:Cách 1: chia từng vế của phương trình cho một trong các ba hạng tử $sin ^2x$, $cos ^2x$ hoặc $sin x.cos x$. Ví dụ điển hình nếu phân chia cho $cos ^2x$ ta có tác dụng theo các bước sau:• Bước 1: Kiểm tra: $cos x = 0$ $ Leftrightarrow x = fracpi 2 + kpi $ $left( k in Z ight)$ xem nó liệu có phải là nghiệm của phương trình $asin ^2x + bsin x.cos x + ccos ^2x = d$ hay không?• cách 2: Với $cos x e 0$, chia cả nhì vế cho $cos ^2x$ lúc đó phương trình $asin ^2x + bsin x.cos x + ccos ^2x = d$ trở thành: $a an ^2x + b an x + c = d(1 + an ^2x)$ $ Leftrightarrow (a – d) an ^2x + b an x + c – d = 0.$Đây là phương trình bậc nhì theo $tan$ đã trình bày cách giải ở phần 1.

Cách 2: Dùng phương pháp hạ bậc $sin ^2x = frac1 – cos 2x2$, $cos ^2x = frac1 + cos 2x2$, $sin x.cos x = fracsin 2x2$ đưa phương trình $asin ^2x + bsin x.cos x + ccos ^2x = d$ về phương trình $bsin 2x + (c – a)cos 2x = d – c – a.$Đây là phương trình số 1 đối với $sin$ với $cos$ đã trình diễn cách giải tại phần 2.

Mở rộng: Đối cùng với phương trình sang trọng bậc $n (n ≥ 3) $ với dạng tổng quát: $A(sin ^nx, cos ^nx, sin ^kxcos ^hx) = 0$ trong đó $k + h = n$, $k, h, n in N$, lúc ấy ta cũng tuân theo 2 bước:• bước 1: chất vấn xem $cos x = 0$ có phải là nghiệm của phương trình tuyệt không?• Bước 2: trường hợp $cos x e 0$, chia cả hai vế của phương trình trên mang đến $cos ^nx$ ta sẽ tiến hành phương trình bậc $n$ theo $ an $. Giải phương trình này ta được nghiệm của phương trình ban đầu.

Xem thêm: Bai Thu Hoach Bồi Dưỡng Kiến Thức Quốc Phòng An Ninh Đối Tượng 4 Năm 2020

Ví dụ 5: Giải phương trình $2sqrt 3 cos ^2x + 6sin x.cos x = 3 + sqrt 3 .$

Cách 1:+ thử với $cos x = 0$ $ Leftrightarrow x = fracpi 2 + k2pi $ $left( k in Z ight)$ vào phương trình đang cho, ta có: $0 = 3 + sqrt 3 $ (vô lý). Vậy $x = fracpi 2 + k2pi $ $left( k in Z ight)$ không là nghiệm của phương trình.+ Với $cos x e 0$, phân tách cả hai vế của phương trình cho $cos ^2x$, ta được: $2sqrt 3 + 6 an x = (3 + sqrt 3 )(1 + an ^2x)$ $ Leftrightarrow (3 + sqrt 3 ) an ^2x – 6 an x + 3 – sqrt 3 = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarrayl an x = 1\ an x = frac3 – sqrt 3 3 + sqrt 3 = an alphaendarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarraylx = fracpi 4 + kpi \x = alpha + kpiendarray ight.$ $left( k in Z ight).$Vậy phương trình tất cả hai họ nghiệm $left< eginarraylx = fracpi 4 + kpi \x = alpha + kpiendarray ight.left( k in Z ight).$

Cách 2:PT $ Leftrightarrow sqrt 3 (1 + cos 2x) + 3sin 2x = 3 + sqrt 3 $ $ Leftrightarrow cos 2x + sqrt 3 sin 2x = sqrt 3 $$ Leftrightarrow frac12cos 2x + fracsqrt 3 2sin 2x = fracsqrt 3 2$ $ Leftrightarrow cos (2x – fracpi 3) = fracsqrt 3 2$$ Leftrightarrow left< eginarrayl2x – fracpi 3 = fracpi 6 + k2pi \2x – fracpi 3 = – fracpi 6 + k2piendarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarraylx = fracpi 4 + kpi \x = fracpi 12 + kpiendarray ight. left( k in Z ight).$Vậy phương trình bao gồm hai họ nghiệm $left< eginarraylx = fracpi 4 + kpi \x = fracpi 12 + kpiendarray ight.left( k in Z ight).$

Ví dụ 6: Giải phương trình $frac1 – an x1 + an x = 1 + sin 2x .$

Điều kiện $left{ eginarraylcos x e 0\ an x = – 1endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylx e fracpi 2 + kpi \x e – fracpi 4 + kpiendarray ight.$ $left( k in Z ight).$Biến đổi phương trình $frac1 – an x1 + an x = 1 + sin 2x$ về dạng:$fraccos x – sin xcos x + sin x = left( cos x + sin x ight)^2$$ Leftrightarrow cos x – sin x = left( cos x + sin x ight)^3$Chia cả hai vế của phương trình $cos x – sin x = left( _cos x + sin x ight)^3$ cho $cos ^3x e 0$, ta được: $1 + an ^2x – left( 1 + an ^2x ight) an x$ $ = left( 1 + an x ight)^3$$ Leftrightarrow an ^3x + an ^2x + 2 an x = 0$ $ Leftrightarrow left( an ^2x + an x + 2 ight) an x = 0$ $ Leftrightarrow an x = 0$ $ Leftrightarrow x = kpi $ $left( k in Z ight)$ (phương trình $ an ^2x + an x + 2 = 0$ vô nghiệm).Vậy phương trình bao gồm một bọn họ nghiệm $x = kpi $ $left( k in Z ight).$

4. Phương trình đối xứng đối với $sin x$ và $cos x$Phương trình đối xứng đối với $sin x$ và $cos x$ là phương trình dạng $a(sin x + cos x) + bsin xcos x + c = 0$, trong đó $a, b, c in R.$

Cách giải:Cách 1: Do $(sin x + cosx)^2 = 1 + 2sin xcos x$ nên ta đặt: $t = sin x + cos x$ $ = sqrt 2 sin (x + fracpi 4)$ $ = sqrt 2 cos (fracpi 4 – x)$, điều kiện $|t| le sqrt 2 .$Suy ra $sin xcos x = fract^2 – 12$ và phương trình $a(sin x + cos x) + bsin xcos x + c = 0$ được viết lại: $bt^2 + 2at – (b + 2c) = 0.$

Cách 2: Đặt $t = fracpi 4 – x$, ta có:$sin x + cos x = sqrt 2 cos (fracpi 4 – x)$ $ = sqrt 2 cos t.$$sin xcos x = frac12sin 2x$ $ = frac12cos (fracpi 2 – 2x)$ $ = frac12cos 2t = cos ^2t – frac12.$Phương trình $a(sin x + cos x) + bsin xcos x + c = 0$ phát triển thành $bcos ^2x + sqrt 2 cos x – fracb2 + c = 0$. Đây là phương trình bậc hai theo $cos$ đã trình diễn cách giải ở vị trí 1.

Chú ý: Phương trình lượng giác dạng $a(sin x – cos x) + bsin xcos x + c = 0$ được giải tương tự bằng cách đặt $t = sin x – cos x.$

Ví dụ 7: Giải phương trình $sin x + cos x – 2sin xcos x + 1 = 0.$

Đặt $sin x + cos x = t$, điều kiện $|t| le sqrt 2 $, suy ra $sin xcos x = fract^2 – 12.$Phương trình đã đến trở thành: $t – 2(fract^2 – 12) + 1 = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarraylt = – 1\t = 2endarray ight.$ (loại $t = 2$ vì không thỏa mãn điều kiện).Với $t = – 1$ $⇔ sin x + cos x = – 1$ $ Leftrightarrow sqrt 2 sin (x + fracpi 4) = – 1$ $ Leftrightarrow left< eginarraylx = – fracpi 2 + k2pi \x = pi + k2piendarray ight.$ $left( k in Z ight).$Vậy phương trình bao gồm 2 bọn họ nghiệm $ left< eginarraylx = – fracpi 2 + k2pi \x = pi + k2piendarray ight.$ $left( k in Z ight).$

5. Phương trình lượng giác hỗn hợp chứa những biểu thức đối xứng $ an x$ và $cotx$Phương trình lượng giác các thành phần hỗn hợp chứa những biểu thức đối xứng $ an x$ và $cotx$ là phương trình tất cả dạng $p_ksumlimits_k = 1^n ( an ^kx + alpha ^kcot ^kx) $ $ + q( an x pm alpha cot x) + r = 0$ $(alpha > 0; k ge 2).$

Cách giải:• cách 1: Đặt ẩn phụ $left< eginarraylt = an x + alpha cot x left( le 2sqrt 2 ight)\t = an x – alpha cot x left( t in R ight)endarray ight.$ đưa phương trình đã mang lại về dạng đại số $F(t) = 0.$• Bước 2: Giải phương trình $F(t) = 0$ và nhiều loại những nghiệm ko thoả mãn điều kiện của bài xích toán.• Bước 3: với nghiệm $t$ kiếm được ở cách 2 thế vào bước 1 để tìm $x.$

Ví dụ 8: Giải phương trình: $ an ^3x – cot ^3x – 3( an ^2x + cot ^2x)$ $ – 3( an x – cot x) + 10 = 0.$

Phương trình $ Leftrightarrow an ^3x – cot ^3x – 3 an x.cot x(tanx – cotx)$ $ – 3( an ^2x + cot ^2x – 2) + 4 = 0$$ Leftrightarrow ( an x – cot x)^3$ $ – 3( an x – cot x) + 4 = 0$$ Leftrightarrow left< eginarrayl an x – cot x = – 1\ an x – cot x = 2endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarraylcot 2x = frac12 = cot 2alpha \cot 2x = – 1endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarraylx = alpha + kfracpi 2\x = – fracpi 8 + kfracpi 2endarray ight. left( k in Z ight).$Vậy phương trình bao gồm hai chúng ta nghiệm $left< eginarraylx = alpha + kfracpi 2\x = – fracpi 8 + kfracpi 2endarray ight. left( k in Z ight)$ với $cot 2alpha = frac12.$