Hệ phương trình đối xứng là 1 trong những dạng toán thường chạm chán trong công tác thi tuyển chọn sinh lớp 10 cũng như thi giỏi nghiệp trung học phổ thông Quốc gia. Vậy hệ phương trình đối xứng là gì? những dạng hệ phương trình đối xứng và cách thức giải? giải pháp nhận biết cũng tương tự lý thuyết và bài bác tập hệ phương trình đối xứng một số loại 1, loại 2?… trong nội dung bài viết dưới đây, trabzondanbak.com sẽ giúp bạn tổng hợp kỹ năng về chủ đề này nhé!


Mục lục

2 cách phân loại hệ phương trình đối xứng3 Cách phân biệt hệ phương trình đối xứng 4 Các cách thức giải hệ phương trình đối xứng một số loại 1 6 Các phương thức giải hệ phương trình đối xứng nhiều loại 28 Phương trình có thông số đối xứng là gì?

Hệ phương trình đối xứng là gì?

Hệ phương trình đối xứng là hệ phương trình cơ mà khi ta biến đổi vai trò của ( x,y ) cho nhau thì hệ phương trình không cố kỉnh đổi. Vào đó họ chia làm hai một số loại hệ phương trình đối xứng cơ bạn dạng là nhiều loại 1 và nhiều loại 2.

Bạn đang xem: Phương trình đối xứng


Cách phân các loại hệ phương trình đối xứng

Định nghĩa hệ phương trình đối xứng loại một là gì?

Là hệ phương trình cơ mà khi ta thay đổi vai trò ( x;y ) thì từng phương trình không chuyển đổi hay nói bí quyết khác, hệ phương trình đối xứng các loại 1 (HPTDXL1) là hệ phương trình mà hai ẩn ( x;y ) đối xứng trong mỗi phương trình

(left{eginmatrix f(x;y)=0\g(x;y)=0 endmatrix ight.) vào đó: (left{eginmatrix f(x;y)=f(y;x)\g(x;y)=g(y;x) endmatrix ight.)

Hệ phương trình đối xứng các loại 1 nhì ẩn

*

Định nghĩa hệ phương trình đối xứng các loại 2 là gì?

Là hệ phương trình mà lại khi ta biến đổi vai trò ( x;y ) thì phương trình này đổi mới phương trình kia và ngược lại hay nói bí quyết khác, hệ phương trình đối xứng các loại 2 (HPTDXL2) là hệ phương trình tất cả 2 phương trình đối xứng nhau

(left{eginmatrix f(x;y)=0\f(y;x)=0 endmatrix ight.)

Hệ phương trình đối xứng loại 2 nhị ẩn

*

*

Cách phân biệt hệ phương trình đối xứng 

Cách phân biệt hệ phương trình đối xứng một số loại 1

Để nhận thấy hệ phương trình đối xứng nhiều loại 1 thì họ xét từng phương trình, thử đổi (x ightarrow y ; y ightarrow x) xem phương trình new thu được có giống hệt như phương trình ban đầu hay không.

Ví dụ:

Hệ (left{eginmatrix x^2+2x+2y+y^2-1=0 \ x^3+y^3+xy=1 endmatrix ight.) là hệ phương trình đối xứng loại 1.

Hệ (left{eginmatrix x^3-y^3+xy=1\ x^2+2xy+x+y+y^2=3 endmatrix ight.) không phải là hệ phương trình đối xứng nhiều loại 1.

Cách nhận thấy hệ phương trình đối xứng các loại 2

Để nhận biết hệ phương trình đối xứng một số loại 1 thì bọn họ xét phương trình sản phẩm công nghệ nhất, thử thay đổi (x ightarrow y ; y ightarrow x) coi phương trình bắt đầu thu được có y hệt như phương trình vật dụng hai tuyệt không? Làm tương tự với phương trình sản phẩm công nghệ hai.

Ví dụ:

Hệ (left{eginmatrix x^3-x^2y=x\ y^3-xy^2=y endmatrix ight.) là hệ phương trình đối xứng một số loại 2

Hệ (left{eginmatrix x^2-xy=y\ y^2+xy=x endmatrix ight.) không là hệ phương trình đối xứng

Các phương pháp giải hệ phương trình đối xứng nhiều loại 1 

Phương pháp để ẩn tổng tích

Đây là cách thức chung nhằm giải những hệ phương trình đối xứng loại 1.

Bước 1: Đặt ( S=x+y ; P=x.y ) . Thay đổi từng phương trình về phương trình new theo ( 2 ) ẩn ( S;P )Bước 2: Giải hệ phương trình tìm thấy ( S;P ) vừa lòng ( S^2 geq 4P )

Để chuyển đổi được hệ phương trình về dạng ( S;P ) thì ta cần nhớ một vài đẳng thức quan liêu trọng:

( x^2+y^2 = (x+y)^2 -2xy =S^2-2P )

(|x-y| =sqrt(x+y)^2-4xy=sqrtS^2-4P)

(x^3+y^3=(x+y)(x^2+y^2-xy)=S(S^2-3P))

***Chú ý: trường hợp ( (x;y)=(a;b) ) là nghiệm của hệ phương trình thì ( (x;y) =(b;a) ) cũng là nghiệm của hệ phương trình.

Ví dụ:

Giải hệ phương trình:

(left{eginmatrix x+xy+y=2\ x^2+xy+y^2=4 endmatrix ight.)

Cách giải:

Đặt ( S=x+y ; P=xy ). ĐK : ( S^2 geq 4P )

Thay vào hệ phương trình ta được:

(left{eginmatrix S+P=2\ S^2-P=4 endmatrix ight.)

Thay ( -P=S-2 ) vào phương trình bên dưới ta được :

( S^2+S-6=0 Leftrightarrow (S-2)(S+3)=0 )

(Leftrightarrow left<eginarrayl S=2 ; phường =0\S=-3 ; P=5endarray ight.)

Kiểm tra điều kiện ( S^2 geq 4P ), vậy (left{eginmatrix S=2\ P=0 endmatrix ight.)

Vậy ( x;y ) là nghiệm của phương trình ( t^2-2t =0 )

(Leftrightarrow left<eginarraylt=0 \t=2 endarray ight.)

Vậy hệ phương trình vẫn cho bao gồm hai cặp nghiệm ( (x;y) = ( 0;2) ; (2;0) )

Phương pháp để ẩn phụ 

Đây là phương pháp để giải các bài toán hệ phương trình đối xứng loại 1 khó. đa số hệ này nếu nhìn qua thì ta vẫn thấy nó chưa phải là đối xứng. Nhưng mà khi chúng ta đặt ẩn phụ một biện pháp thích hợp, câu hỏi sẽ đổi thay hệ phương trình đối xứng một số loại 1. Tự đó chúng ta cũng có thể giải một biện pháp dễ dàng.

Ví dụ:

Giải hệ phương trình : (left{eginmatrix x(x+2)(2x+y)-9=0\ x^2+4x+y=6 endmatrix ight.)

Cách giải:

Đặt ( x^2+2x= a ; 2x+y=b ). Thay vào hệ đã đến ta được :

(left{eginmatrix ab=9 \a+b =6 endmatrix ight.)

Vậy ( a;b ) là nghiệm của phương trình :

( t^2-6t+9= 0 Leftrightarrow (t-3)^2=0 Leftrightarrow t=3 )

Vậy ( a=b=3 )

Thay vào ta được:

(left{eginmatrix x^2+2x=3\2x+y=3 endmatrix ight. Leftrightarrow left{eginmatrix (x+3)(x-1)=0\ 2x+y=3 endmatrix ight.)

(Leftrightarrow left<eginarraylleft{eginmatrix x=-3\y=9 endmatrix ight.\ left{eginmatrix x=1\y=1 endmatrix ight. endarray ight.)

Vậy phương trình vẫn cho gồm ( 2 ) cặp nghiệm :

( (x;y) =(-3;9) ; (1;1) )

Giải hệ phương trình đối xứng nhiều loại 1 chứa căn 

Với những hệ phương trình này, bí quyết giải vẫn bao hàm các cách như trên nhưng chúng ta cần thêm cách tìm ĐKXĐ của hệ phương trình.

Ví dụ:

Giải hệ phương trình:

(left{eginmatrix x+y-sqrtxy=3\ sqrtx+1 + sqrty+1=4 endmatrix ight.)

Cách giải:

ĐKXĐ:

(left{eginmatrix x geq -1\y geq -1 \ xy geq 0 endmatrix ight. hspace1cm (*))

Đặt (S=x+y hspace5mm; P=xy) cùng với (left{eginmatrix S^2 geq 4P\ Pgeq 0 \ S geq -2 endmatrix ight. hspace1cm (**))

Bình phương 2 vế PT (2) hệ phương trình đã cho tương tự với :

(left{eginmatrix x+y-sqrtxy=3\ x+y+2+sqrtx+y+xy+1=16 endmatrix ight.)

(Leftrightarrow left{eginmatrix S- sqrtP =3 \S+2+2sqrtS+P+1=16 endmatrix ight.)

(Leftrightarrow left{eginmatrix P= S^2 -6S +9\ S -14 =-2sqrtS+P+1 endmatrix ight.) với (3leq Sleq 14)

Thay ( P= S^2 -6S +9 ) từ PT (1) vào PT (2) ta bao gồm :

(S-14 = -2sqrtS^2-5S+10)

(Leftrightarrow S^2-28S+196 = 4(S^2-5S+10))

(Leftrightarrow 3S^2+8S-156=0 Leftrightarrow (S-6)(3S+26)=0)

(Leftrightarrow left{eginmatrix S=6\S=-frac263 endmatrix ight.)

Kết đúng theo ĐKXĐ ta được (S=6 Rightarrow P=9)

Vậy (x;y) là nghiệm của phương trình :

(t^2-6t+9 =0 Leftrightarrow t=3)

Vậy (x=y=3) ( thỏa mãn điều kiện). 

Bài tập hệ phương trình đối xứng loại 1

*

*

*

Sau đây là một số bài bác tập để các bạn luyện tập phần hệ phương trình đối xứng các loại 1.

Bài 1: Giải hệ phương trình:

(left{eginmatrix x^2+xy+y^2=7\x^2+y^2+x+y=8 endmatrix ight.)

Đáp số : ( (x;y) = (1;2) ;(2;1) ; (1;-3) ; (-3;1) )

Bài 2: Giải hệ phương trình:

(left{eginmatrix x+y+frac1x+frac1y=5\x^2+y^2+frac1x^2+frac1y^2=9 endmatrix ight.)

Đáp số : ( (x;y) = (1;frac3+sqrt52);(frac3+sqrt52;1);(1;frac3-sqrt52);(frac3-sqrt52;1))

Bài 3: kiếm tìm ( m ) để hệ có đúng ( 2 ) nghiệm :

(left{eginmatrix (x+y)^2=4\ x^2+y^2=2m+2 endmatrix ight.)

Đáp số : ( m=0 )

Các cách thức giải hệ phương trình đối xứng loại 2

Phương pháp trừ nhì vế

Đây là phương pháp chung để giải phương trình đối xứng loại 2.

Bước 1: Trừ hai vế tương xứng của nhì phương trình, biến đổi phương trình thu được về dạng phương trình tích: ( (x-y).f(x;y) =0 )Bước 2: Giải phương trình ( f(x;y) =0 ) nhằm tìm mối quan hệ ( x;y ). Tiếp nối thay vào trong 1 phương trình trong hệ ban đầu để giải ra ( x;y ) (chú ý nạm cả trường phù hợp ( x-y=0 ) )Bước 3: kết luận nghiệm.

Ví dụ:

Giải hệ phương trình :

(left{eginmatrix x^3=3x+8y\ y^3=3y+8x endmatrix ight.)

Cách giải:

Để giải hệ phương trình đối xứng một số loại 2 bậc 3 này thì bọn họ cần ghi nhớ hằng đẳng thức : ( A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2) )

Trừ hai vế của hai phương trình ta được :

((x^3-y^3)+5(x-y)=0 Leftrightarrow (x-y)(x^2+xy+y^2+5)=0 ;;;; (1) )

Ta bao gồm : (x^2+xy+y^2+5= (x+fracy2)^2+frac3y^24+5 geq 5 >0)

Vậy trường đoản cú ((1) Rightarrow x=y)

Thay vào ta được:

(x^3=11x Leftrightarrow left<eginarrayl x=0\x=pm sqrt11 endarray ight.)

Vậy phương trình sẽ cho bao gồm ( 3 ) cặp nghiệm thỏa mãn nhu cầu : ( (x;y) =(0;0) ; (sqrt11;sqrt11) ; (-sqrt11;-sqrt11) )

Phương pháp hàm số

Như ta biết thì hệ phương trình ĐX bậc hai là một trong dạng hệ phương trình đối xứng vòng quanh bao gồm ( 2 ) ẩn dạng:

(left{eginmatrix f(x)=g(y)\f(y)=g(x) endmatrix ight.)

Nếu ta chứng tỏ được hàm số ( f(t) ; g(t) ) thuộc đồng thay đổi thì trả sử ( xleq y ) ta bao gồm :

( f(x) leq f(y) =g(x) leq g(y) )

Mà phương diện khác vị ( f(x) =g(y) ) phải đẳng thức xảy ra. Vậy ( f(x)=g(x) ). Giải phương trình thu được x , từ đó tìm ra nghiệm của hệ phương trình

***Chú ý: vào trường vừa lòng hàm ( f(t);g(t) ) thuộc nghịch thay đổi thì làm tương tự

Đây cũng là cách thức để giải các bài toán hệ phương trình đối xứng vòng quanh các ẩn:

(left{eginmatrix f(x)=g(y)\f(y)=g(z)\f(z)=g(x) endmatrix ight.)

Ví dụ:

Giải hệ phương trình :

(left{eginmatrix x^3+x=3y\y^3+y=3x endmatrix ight.)

Cách giải:

Xét hàm số ( f(t) =t^3+t ) với hàm số ( g(t) = 3t )

Dễ thấy cả ( f(t) ; g(t) ) những đồng biến. Bởi vì đó, đưa sử ( xleq y ), trường đoản cú hệ phương trình đã mang lại ta tất cả :

( f(x) leq f(y) = g(x) leq g(y) )

Mà do ( f(x) =g(y) ) ( theo hệ phương trình ) bắt buộc đẳng thức xảy ra, vậy ( f(x) =g(x) )

Do đó : ( x^3+x=3x Leftrightarrow x(x^2-2)=0 )

(Leftrightarrow left<eginarrayl x=0\x=pm sqrt2 endarray ight.)

Vậy hệ phương trình có ( 3 ) cặp nghiệm ((x;y)=(0;0);(sqrt2;sqrt2);(-sqrt2;-sqrt2))

Giải hệ phương trình đối xứng loại 2 chứa căn

Đây là 1 trong dạng hệ phương trình đối xứng nhiều loại 2 khó khăn do tất cả căn thức yêu cầu nều trừ thẳng như cách thường thì thì đã không lộ diện biểu máy ( (x-y) ) ngay. Vị đó họ cần phải sử dụng phương thức nhân phối hợp để biến đổi tạo ra nhân tử ( (x-y) ). Một số biến hóa cần lưu ý :

(sqrta-sqrtb = fraca-bsqrta+sqrtb)

(sqrt<3>a-sqrt<3>b=fraca-bsqrt<3>a^2+sqrt<3>ab+sqrt<3>b^2)

Ngoài ra chúng ta có để sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ là biểu thức đựng căn để tạo thành hệ mới không đựng căn.

***Chú ý: soát sổ ĐKXĐ trước khi giải.

Ví dụ:

Giải hệ phương trình (left{eginmatrix sqrtx+5+sqrty-2=7\ sqrty+5+sqrtx-2=7 endmatrix ight.)

Cách giải:

ĐKXĐ: ( x;y geq 2 )

Trừ hai vế của nhị phương trình ta được : ((sqrtx+5-sqrty+5)-(sqrtx-2-sqrty-2)=0)

(Leftrightarrow (x-y)(frac1sqrtx+5+sqrty+5-frac1sqrtx-2+sqrty-2)=0 ;;;;; (1) )

Ta có:

(left{eginmatrix sqrtx+5>sqrtx-2\ sqrty+5>sqrty-2 endmatrix ight. Rightarrow sqrtx+5+sqrty+5>sqrtx-2+sqrty-2)

(Rightarrow frac1sqrtx+5+sqrty+5

Vậy (Rightarrow frac1sqrtx+5+sqrty+5 -frac1sqrtx-2+sqrty-2

Do kia từ ((1)Rightarrow x=y)

Thay vào ta được:

(sqrtx+5+sqrtx-2=7 Leftrightarrow 2x+3+2sqrtx^2+3x-10=49)

(Leftrightarrow 23-x=sqrtx^2+3x-10 Rightarrow x^2-46x+529=x^2+3x-10)

(Rightarrow 49x=539 Rightarrow x=11) ( thỏa mãn)

Vậy ( x=y=11 )

Bài tập về hệ phương trình đối xứng một số loại 2

*

*

Ví dụ 3: Giải các hệ phương trình dưới đây.

*

Vậy hệ phương trình đang cho bao gồm nghiệm x = y = 3

*

*

*

*

*

Sau đấy là một số bài xích tập để các bạn luyện tập phần hệ phương trình đối xứng các loại 2.

Bài 1: Giải hệ phương trình:

(left{eginmatrix 2x+3+sqrt4-y=4\ 2y+3+sqrt4-x=4 endmatrix ight.)

Đáp số: ( (x;y) = (3;3) ; (frac119;frac119) )

Bài 2: Giải hệ phương trình:

(left{eginmatrix x+sqrt<4>y-1=1\ y+sqrt<4>x-1=1 endmatrix ight.)

Đáp số ( x=y=1 )

Bài 3:

Tìm ( m ) để hệ phương trình sau tất cả nghiệm duy nhất

(left{eginmatrix x^2-x-y+m=0 \ y^2-y-x+m=0 endmatrix ight.)

Đáp số : ( m=1 ) 

Phương trình có hệ số đối xứng là gì?

Định nghĩa phương trình có thông số đối xứng

Phương trình có hệ số đối xứng bậc ( n ) là phương trình gồm dạng ( f(x) =0 ) vào đố ( f(x) ) là đa thức với không hề thiếu các số hạng thu xếp từ bậc cao mang đến bậc thấp ( ( x^n; x^n-1; … ; x; x^0 ) ) làm sao để cho từng cặp hệ số cách phần lớn hai đầu thì bằng nhau, tức là:

(f(x)=a_nx^n+a_n-1x^n-1+…+a_1x+a_0)

Với (a_i=a_n-i) với ( i=0;1;2;…;n )

Ví dụ : (ax^4+bx^3+cx^2+bx+a =0) là phương trình thông số đối xứng bậc ( 4 )

(ax^3+bx^2+bx+a=0) là phương trình hệ số đối xứng bậc ( 3 )

Tính chất của phương trình có thông số đối xứng

Phương trình hệ số đối xứng bậc chẵn nếu gồm nghiệm ( x_0 ) thì ( x_0 eq 0 ) và cũng dấn (frac1x_0) là nghiệm.Phương trình hệ số đối xứng bậc lẻ luôn luôn phân tích được bên dưới dạng : ( (x+1).f(x) ) vói ( f(x) ) là phương trình thông số đối xứng bậc chẵn.

Do đó:

Phương trình đối xứng bậc lẻ luôn có nghiệm ( x=-1 )Giải phương trình đối xứng bậc lẻ quy về giải phương trình đối xứng bậc chẵn.

Xem thêm: Crack Là Gì? Các Phần Mềm Crack Az Crack Là Gì

Cách giải phương trình có hệ số đối xứng

Do giải phương trình đối xứng bậc lẻ quy về giải phương trình đối xứng bậc chẵn nên tại đây ta chỉ xét giải pháp giải phương trình đối xứng bậc chẵn:

(f(x)=a_nx^n+a_n-1x^n-1+…+a_1x+a_0) với ( n ) chẵn

Bước 1: bởi ( x=0 ) không là nghiệm của phương trình, phân chia cả nhị vế phương trình mang đến (x^fracn2)Bước 2: Đặt (t=x+frac1x) với đk ( |t| geq 2 ) , biến đổi phương trình nhận được về phương trình ẩn ( t )Bước 3: Sau khi tìm được ( t ) , giải phương trình (t=x+frac1x) để tìm ra ( x )

Ví dụ:

Giải phương trình : ( 3x^4+7x^3+7x+3 =0 )

Cách giải:

Do ( x=0 ) không là nghiệm của phương trình buộc phải chia cả nhì vế phương trình mang đến ( x^2 ) ta được :

(3x^2+7x+frac7x+frac3x^2=0)

(Leftrightarrow 3(x^2+frac1x^2)+7(x+frac1x)=0)

(Leftrightarrow 3(x+frac1x)^2-6+7(x+frac1x)=0)

Đặt (t=x+frac1x). ĐK : (|t| geq 2)

Phương trình đã cho tương đương với :

(3t^2+7t-6=0 Leftrightarrow (t+3)(3t-2)=0)

(Leftrightarrow left<eginarraylt=-3 \ t=frac32endarray ight.)

Do (|t| geq 2) đề nghị ( t=-3 )

Vậy ta có:

(x+frac1x=-3 Leftrightarrow x^2+3x+1=0)

(Leftrightarrow left<eginarrayl x= frac-3+sqrt52\x=frac-3-sqrt52 endarray ight.)

Bài viết trên đây của trabzondanbak.com đã giúp cho bạn tổng hợp lý thuyết và các cách thức giải hệ phương trình đối xứng các loại 1 các loại 2 cũng giống như những ngôn từ liên quan. Hi vọng kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho chính mình trong quá trình học tập và nghiên cứu về chủ đề hệ phương trình đối xứng. Chúc bạn luôn luôn học tốt!.