Bài viết hướng dẫn phương pháp giải và biện luận phương trình bậc nhất đối cùng với sinx với cosx.
Bạn đang xem: Phương trình bậc nhất với sin và cos
I. PHƯƠNG PHÁPBài toán: Giải và biện luận phương trình: $asin x + bcos x = c$ $(1).$PHƯƠNG PHÁP CHUNG:Ta có thể lựa lựa chọn một trong những cách sau:Cách 1: thực hiện theo những bước:+ bước 1. Kiểm tra:1. Trường hợp $a^2 + b^2 2. Trường hợp $a^2 + b^2 ge c^2$, lúc đó để tìm kiếm nghiệm của phương trình $(1)$ ta tiến hành tiếp cách 2.+ cách 2. Phân chia hai vế phương trình $(1)$ mang đến $sqrt a^2 + b^2 $, ta được:$fracasqrt a^2 + b^2 sin x + fracbsqrt a^2 + b^2 cos x$ $ = fraccsqrt a^2 + b^2 .$Vì $left( fracasqrt a^2 + b^2 ight)^2 + left( fracbsqrt a^2 + b^2 ight)^2 = 1$ nên tồn trên góc $eta $ làm sao để cho $fracasqrt a^2 + b^2 = cos eta $, $fracbsqrt a^2 + b^2 = sin eta .$Khi đó phương trình $(1)$ gồm dạng:$sin xcos eta + sin eta cos x = fraccsqrt a^2 + b^2 $ $ Leftrightarrow sin (x + eta ) = fraccsqrt a^2 + b^2 .$Đây là phương trình cơ bạn dạng của sin.
Cách 2: Thực theo các bước:+ Bước 1. Cùng với $cos fracx2 = 0$ $ Leftrightarrow x = pi + 2kpi $, kiểm soát vào phương trình.+ Bước 2. Cùng với $cos fracx2 e 0$ $ Leftrightarrow x e pi + 2kpi $, để $t = an fracx2$, suy ra:$sin x = frac2t1 + t^2$ với $cos x = frac1 – t^21 + t^2.$Khi kia phương trình $(1)$ gồm dạng:$a.frac2t1 + t^2 + b.frac1 – t^21 + t^2 = c$ $ Leftrightarrow (c + b)t^2 – 2at + c – b = 0$ $(2).$+ Bước 3. Giải phương trình $(2)$ theo $t.$
Cách 3: Với hầu như yêu ước biện luận số nghiệm của phương trình trong $(alpha ,eta )$, ta có thể lựa chọn cách thức hàm số đồ dùng thị.
Cách 4: Với đầy đủ yêu mong biện luận đặc thù nghiệm của phương trình trong $(alpha ,eta )$, ta hoàn toàn có thể lựa chọn phương pháp điều kiện đề xuất và đủ.
Nhận xét quan tiền trọng:1. Phương pháp 1 thường được áp dụng với các bài toán yêu mong giải phương trình với tìm điều kiện của tham số nhằm phương trình gồm nghiệm, vô nghiệm hoặc giải và biện luận phương trình theo tham số.2. Giải pháp 2 thường được sử dụng với những bài toán yêu cầu giải phương trình cùng tìm đk của tham số nhằm phương trình tất cả nghiệm ở trong tập $D$ cùng với $D subset <0,2pi >.$3. Phương pháp 3 thường xuyên được sử dụng với những bài toán yêu cầu biện luận theo tham số nhằm phương trình gồm $k$ nghiệm trực thuộc tập $D$ cùng với $D cap <0,2pi > e emptyset .$4. Từ biện pháp giải 1 ta có được kết quả sau:$ – sqrt a^2 + b^2 $ $ le asin x + bcos x$ $ le sqrt a^2 + b^2 .$Kết trái đó nhắc nhở cho câu hỏi về giá trị lớn số 1 và nhỏ tuổi nhất của các hàm số dạng $y = asin x + bcos x$, $y = fracasin x + bcos xcsin x + dcos x$ và phương pháp đánh giá cho một số trong những phương trình lượng giác.
Dạng quánh biệt:+ $sin x + cos x = 0$ $ Leftrightarrow x = – fracpi 4 + kpi $, $k in Z.$+ $sin x – cos x = 0$ $ Leftrightarrow x = fracpi 4 + kpi $, $k in Z.$
Ví dụ 1: Giải phương trình: $sqrt 3 sin 3x + cos 3x = sqrt 2 .$
Biến thay đổi phương trình về dạng:$fracsqrt 3 2sin 3x + frac12cos 3x = fracsqrt 2 2$ $ Leftrightarrow sin 3xcos fracpi 6 + cos 3xsin fracpi 6 = fracsqrt 2 2$ $ Leftrightarrow sin left( 3x + fracpi 6 ight) = sin fracpi 4$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20c3x + fracpi 6 = fracpi 4 + 2kpi \3x + fracpi 6 = pi – fracpi 4 + 2kpi endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = fracpi 36 + frac2kpi 3\x = frac7pi 36 + frac2kpi 3endarray ight.$, $k in Z.$Vậy phương trình bao gồm hai chúng ta nghiệm.
Ví dụ 2: Giải phương trình: $3sin x – 4cos x = – frac52.$
Biến thay đổi phương trình về dạng:$frac35sin x – frac45cos x = – frac12.$Đặt $frac35 = cos alpha $ và $frac45 = sin alpha $, lúc đó ta được:$sin xcos alpha – cos xsin alpha = – frac12$ $ Leftrightarrow sin (x – alpha ) = sin left( – fracpi 6 ight)$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx – alpha = – fracpi 6 + 2kpi \x – alpha = pi + fracpi 6 + 2kpi endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = alpha – fracpi 6 + 2kpi \x = frac5pi 6 + alpha + 2kpi endarray ight.$, $k in Z.$Vậy phương trình bao gồm hai bọn họ nghiệm.
Ví dụ 3: Giải phương trình: $sin 2x – 3cos 2x = 3.$
Ta có thể lựa chọn 1 trong hai phương pháp sau:Cách 1: biến hóa phương trình về dạng:$frac1sqrt 10 sin 2x – frac3sqrt 10 cos 2x = frac3sqrt 10 .$Đặt $frac1sqrt 10 = cos alpha $ cùng $frac3sqrt 10 = sin alpha $, khi đó ta được:$sin 2xcos alpha – cos 2xsin alpha = sin alpha $ $ Leftrightarrow sin (2x – alpha ) = sin alpha $ $ Leftrightarrow left< eginarray*20l2x – alpha = alpha + 2kpi \2x – alpha = pi – alpha + 2kpi endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = alpha + kpi \x = fracpi 2 + kpi endarray ight.$, $k in Z.$Vậy phương trình bao gồm hai chúng ta nghiệm.Cách 2: đổi khác phương trình về dạng:$sin 2x = 3(1 + cos 2x)$ $ Leftrightarrow 2sin xcos x = 6cos ^2x$ $ Leftrightarrow (sin x – 3cos x)cos x = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lsin x – 3cos x = 0\cos x = 0endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20l an x = 3 = an alpha \cos x = 0endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = alpha + kpi \x = fracpi 2 + kpi endarray ight.$, $k in Z.$Vậy phương trình gồm hai chúng ta nghiệm.
Ví dụ 4: Giải phương trình: $2sin x – 3cos x = – 2.$
Ta có thể lựa chọn một trong hai phương pháp sau:Cách 1: chuyển đổi phương trình về dạng:$frac2sqrt 13 sin x – frac3sqrt 13 cos x = – frac2sqrt 13 .$Đặt $frac2sqrt 13 = cos alpha $ và $frac3sqrt 13 = sin alpha $, khi ấy ta được:$sin xcos alpha – cos xsin alpha = – cos alpha $ $ Leftrightarrow sin (x – alpha ) = sin left( alpha – fracpi 2 ight)$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx – alpha = alpha – fracpi 2 + 2kpi \x – alpha = pi – alpha + fracpi 2 + 2kpi endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 2alpha – fracpi 2 + 2kpi \x = frac3pi 2 + 2kpi endarray ight.$, $k in Z.$Vậy phương trình có hai bọn họ nghiệm.Cách 2: biến đổi phương trình về dạng:$2(1 + sin x) = 3cos x$ $ Leftrightarrow 2left( cos fracx2 + sin fracx2 ight)^2$ $ = 3left( cos ^2fracx2 – sin ^2fracx2 ight).$$ Leftrightarrow left< 2left( cos fracx2 + sin fracx2 ight) – 3left( cos fracx2 – sin fracx2 ight) ight>$$left( cos fracx2 + sin fracx2 ight) = 0.$$ Leftrightarrow left< eginarray*20l5sin fracx2 – cos fracx2 = 0\cos fracx2 + sin fracx2 = 0endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20l an fracx2 = frac15 = an alpha \ an fracx2 = – 1endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lfracx2 = alpha + kpi \fracx2 = frac3pi 4 + kpi endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 2alpha + 2kpi \x = frac3pi 2 + 2kpi endarray ight.$, $k in Z.$Vậy phương trình tất cả hai bọn họ nghiệm.
Chú ý: những em học tập sinh cần phải có thói thân quen kiểm tra điều kiện $a^2 + b^2 ge c^2$ ra nháp trước khi đi giải phương trình bởi có khá nhiều bài thi đã ráng tình tạo thành những phương trình không thoả mãn điều kiện trên với mục đích kiểm tra kỹ năng và kiến thức cơ bản của những em. Rõ ràng như đề thi ĐHGTVT – 2000.
Ví dụ 5: (ĐHGTVT – 2000): Giải phương trình: $2sqrt 2 (sin x + cos x)cos x = 3 + cos 2x.$
Biến thay đổi phương trình về dạng:$sqrt 2 sin 2x + sqrt 2 (1 + cos 2x) = 3 + cos 2x$ $ Leftrightarrow sqrt 2 sin 2x + (sqrt 2 – 1)cos 2x = 3 – sqrt 2 .$Ta có:$left{ eginarray*20la = sqrt 2 \b = sqrt 2 – 1\c = 3 – sqrt 2 endarray ight.$ $ Rightarrow left( eginarray*20la^2 + b^2 = 2 + (sqrt 2 – 1)^2 = 5 – 2sqrt 2 \c^2 = (3 – sqrt 2 )^2 = 11 – 6sqrt 2 endarray ight.$ $ Rightarrow a^2 + b^2 Vậy phương trình vô nghiệm.
Chú ý: vấn đề lựa chọn những phép thay đổi lượng giác phù hợp trong các trường hợp ta sẽ tìm kiếm được phép trình diễn chẵn cho các họ nghiệm. Họ xem xét lấy ví dụ sau:
Ví dụ 6: Giải phương trình: $(1 + sqrt 3 )sin x + (1 – sqrt 3 )cos x = 2.$
Cách 1: biến đổi phương trình về dạng:$frac1 + sqrt 3 2sqrt 2 sin x + frac1 – sqrt 3 2sqrt 2 cos x = frac1sqrt 2 .$Đặt $frac1 + sqrt 3 2sqrt 2 = cos alpha $ thì $frac1 – sqrt 3 2sqrt 2 = sin alpha $, khi ấy ta được:$sin xcos alpha + cos xsin alpha = frac1sqrt 2 $ $ Leftrightarrow sin (x + alpha ) = sin fracpi 4.$$ Leftrightarrow left< eginarray*20lx + alpha = fracpi 4 + 2dot kpi \x + alpha = pi – fracpi 4 + 2kpi endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = fracpi 4 – alpha + 2kpi \x = frac3pi 4 – alpha + 2kpi endarray ight.$, $k in Z.$Vậy phương trình gồm hai họ nghiệm.Cách 2: biến hóa phương trình về dạng:$(sin x + cos x) + sqrt 3 (sin x – cos x) = 2$ $ Leftrightarrow sqrt 2 sin left( x + fracpi 4 ight)$ $ – sqrt 6 cos left( x + fracpi 4 ight) = 2$ $ Leftrightarrow frac12sin left( x + fracpi 4 ight)$ $ – fracsqrt 3 2cos left( x + fracpi 4 ight) = frac1sqrt 2 $ $ Leftrightarrow sin left( x + fracpi 4 ight)cos fracpi 3$ $ – cos left( x + fracpi 4 ight)sin fracpi 3 = frac1sqrt 2 $ $ Leftrightarrow sin left( x + fracpi 4 – fracpi 3 ight) = sin fracpi 4$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx – fracpi 12 = fracpi 4 + 2kpi \x – fracpi 12 = pi – fracpi 4 + 2kpi endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = fracpi 3 + 2kpi \x = frac5pi 6 + 2kpi endarray ight.$, $k in Z.$Vậy phương trình bao gồm hai bọn họ nghiệm.
dấn xét:Như vậy bằng phương pháp 1 ta tìm kiếm được nghiệm của phương trình ko tường minh, trong những lúc đó nếu sử dụng cách 2 ta thấy nghiệm của phương trình hết sức chẵn.Một vài ba tài liệu tìm hiểu thêm giải phương trình bằng phương pháp đặt $t = an fracx2$, dẫn đến phương trình:$(3 – sqrt 3 )t^2 – 2(1 + sqrt 3 )t + sqrt 3 + 1 = 0$ $ Leftrightarrow t_1 = frac1sqrt 3 vee t_2 = fracsqrt 3 + 1sqrt 3 – 1.$+ với $t_1 = frac1sqrt 3 $ ta được:$ an fracx2 = frac1sqrt 3 = an fracpi 6$ $ Leftrightarrow fracx2 = fracpi 6 + kpi $ $ Leftrightarrow x = fracpi 3 + 2kpi $, $k in Z.$+ với $t_2 = fracsqrt 3 + 1sqrt 3 – 1$ ta được:$ an fracx2 = fracsqrt 3 + 1sqrt 3 – 1$ $ = – frac an fracpi 3 + an fracpi 41 – an fracpi 3. an fracpi 4$ $ = – an frac7pi 12$ $ = an frac5pi 12.$$ Leftrightarrow fracx2 = frac5pi 12 + kpi $ $ Leftrightarrow x = frac5pi 6 + 2kpi $, $k in Z.$
Ví dụ 7: Giải phương trình: $2(sqrt 3 sin x – cos x)$ $ = 3sin 2x + sqrt 7 cos 2x.$
Biến đổi phương trình về dạng:$2sqrt 3 sin x – 2cos x$ $ = 3sin 2x + sqrt 7 cos 2x$ $ Leftrightarrow fracsqrt 3 2sin x – frac12cos x$ $ = frac34sin 2x + fracsqrt 7 4cos 2x.$Đặt $frac34 = cos alpha $ cùng $fracsqrt 7 4 = sin alpha $, lúc ấy ta được:$sin xcos fracpi 6 – cos xsin fracpi 6$ $ = sin 2xcos alpha + cos 2xsin alpha $ $ Leftrightarrow sin left( x – fracpi 6 ight) = sin (2x + alpha )$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20l2x + alpha = x – fracpi 6 + 2kpi \2x + alpha = pi – x + fracpi 6 + 2kpi endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = – fracpi 6 – alpha + 2kpi \x = frac7pi 18 – fracalpha 3 + frac2kpi 3endarray ight.$, $k in Z.$Vậy phương trình tất cả hai họ nghiệm.
Chú ý: lấy ví dụ như trên vẫn minh hoạ thế thể cách thức giải phương trình dạng: $asin (kx) + bcos (kx)$ $ = csin (lx) + dcos (lx)$ $(I)$, với đk $a^2 + b^2 = c^2 + d^2.$Và sự mở rộng khác đến dạng phương trình trên như sau: $asin (kx) + bcos (kx)$ $ = sqrt a^2 + b^2 sin (lx)$ $(II).$Để minh hoạ ta để ý ví dụ sau:
Ví dụ 8: Giải phương trình: $2sin x(cos x – 1) = sqrt 3 cos 2x.$
Biến đổi phương trình về dạng:$2sin xcos x – 2sin x = sqrt 3 cos 2x$ $ Leftrightarrow sin 2x – sqrt 3 cos 2x = 2sin x$ $(*).$$ Leftrightarrow frac12sin 2x – fracsqrt 3 2cos 2x = sin x$ $ Leftrightarrow sin 2xcos fracpi 3 – cos 2xsin fracpi 3 = sin x.$$ Leftrightarrow sin left( 2x – fracpi 3 ight) = sin x$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20l2x – fracpi 3 = x + 2kpi \2x – fracpi 3 = pi – x + 2kpi endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = fracpi 3 + 2kpi \x = frac4pi 9 + frac2kpi 3endarray ight.$, $k in Z.$Vậy phương trình bao gồm hai chúng ta nghiệm.
Nhận xét: Như vậy bởi một vài ba phép đổi khác lượng giác thường thì ta đã gửi phương trình thuở đầu về $(*)$ và đó đó là dạng $(II).$
ví dụ 9: Giải phương trình:$sqrt 2 (sin x + sqrt 3 cos x)$ $ = sqrt 3 cos 2x – sin 2x.$
Biến thay đổi phương trình về dạng:$sqrt 2 left( frac12sin x + fracsqrt 3 2cos x ight)$ $ = fracsqrt 3 2cos 2x – frac12sin 2x.$$ Leftrightarrow sqrt 2 left( sin xcos fracpi 3 + cos xsin fracpi 3 ight)$ $ = sin fracpi 3cos 2x – cos fracpi 3sin 2x.$$ Leftrightarrow sqrt 2 sin left( x + fracpi 3 ight)$ $ = sin left( fracpi 3 – 2x ight)$ $ = sin left( 2x + frac2pi 3 ight).$$ Leftrightarrow sqrt 2 sin left( x + fracpi 3 ight)$ $ = 2sin left( x + fracpi 3 ight)cos left( x + fracpi 3 ight).$$ Leftrightarrow left< sqrt 2 – 2cos left( x + fracpi 3 ight) ight>sin left( x + fracpi 3 ight) = 0.$$ Leftrightarrow left< eginarray*20lcos left( x + fracpi 3 ight) = fracsqrt 2 2\sin left( x + fracpi 3 ight) = 0endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx + fracpi 3 = pm fracpi 4 + 2kpi \x + fracpi 3 = kpi endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = fracpi 12 + 2kpi \x = – frac7pi 12 + 2kpi \x = – fracpi 3 + kpi endarray ight.$, $k in Z.$Vậy phương trình có tía họ nghiệm.
Ví dụ 10: đến phương trình: $sqrt 3 sin 2x – mcos 2x = 1.$a. Giải phương trình với $m = 1.$b. Chứng minh rằng phương trình tất cả nghiệm với tất cả $m.$
Với $m = 1$, phương trình bao gồm dạng:$sqrt 3 sin 2x – mcos 2x = 1$ $ Leftrightarrow fracsqrt 3 2sin 2x – frac12cos 2x = frac12.$$ Leftrightarrow sin 2xcos fracpi 6 – cos 2xsin fracpi 6 = frac12$ $ Leftrightarrow sin left( 2x – fracpi 6 ight) = sin fracpi 6.$$ Leftrightarrow left< eginarray*20l2x – fracpi 6 = fracpi 6 + 2kpi \2x – fracpi 6 = pi – fracpi 6 + 2kpi endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = fracpi 6 + kpi \x = fracpi 2 + kpi endarray ight.$, $k in Z.$Vậy cùng với $m =1$ phương trình bao gồm hai họ nghiệm.b. Ta có: $a^2 + b^2 = 3 + m^2 > 1 = c^2$, $forall m.$Vậy phương trình có nghiệm với mọi $m.$
ví dụ 11: (ĐHKT – 2001): Giải và biện luận phương trình:$4m(sin x + cos x)$ $ = 4m^2 + 2(cos x – sin x) + 3.$
Biến đổi phương trình về dạng:$2(2m + 1)sin x + 2(2m – 1)cos x$ $ = 4m^2 + 3.$Xét hiệu:$a^2 + b^2 – c^2$ $ = 4(2m + 1)^2 + 4(2m – 1)^2 – left( 4m^2 + 3 ight)^2$ $ = – left( 16m^4 – 8m^2 + 1 ight)$ $ = – left( 4m^2 – 1 ight)^2 le 0.$Vậy phương trình chỉ có nghiệm $ Leftrightarrow a^2 + b^2 – c^2 = 0$ $ Leftrightarrow m = pm frac12.$+ cùng với $m = frac12$, phương trình gồm dạng:$sin x = 1$ $ Leftrightarrow x = fracpi 2 + 2kpi $, $k in Z.$+ cùng với $m = – frac12$, phương trình gồm dạng:$cos x = 1$ $ Leftrightarrow x = 2kpi $, $k in Z.$+ với $m e pm frac12$, phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 12: cho phương trình:$(m + 2)sin x – 2mcos x = 2m + 2$ $(1).$a. Giải phương trình với $m = -2.$b. Tìm $m$ để phương trình bao gồm nghiệm nằm trong $left< – fracpi 2,0 ight>.$
Xét nhì trường hợp:+ với $cos fracx2 = 0$ $ Leftrightarrow fracx2 = fracpi 2 + kpi $ $ Leftrightarrow x = pi + 2kpi $, núm vào phương trình ta được:$(m + 2)sin (pi + 2kpi ) – 2mcos (pi + 2kpi )$ $ = 2m + 2$ $ Leftrightarrow 2m = 2m + 2$ (Mâu thuẫn).Vậy $x = pi + 2kpi $, $k in Z$ không buộc phải là nghiệm của phương trình với tất cả $m.$+ cùng với $cos fracx2 e 0$ $ Leftrightarrow fracx2 e fracpi 2 + kpi $ $ Leftrightarrow x e pi + 2kpi $, $k in Z.$Đặt $t = an fracx2$, suy ra: $sin x = frac2t1 + t^2$ và $cos x = frac1 – t^21 + t^2.$Khi đó phương trình $(1)$ có dạng:$frac(m + 2)t1 + t^2 – frac2mleft( 1 – t^2 ight)1 + t^2 = 2m + 2$ $ Leftrightarrow t^2 – (m + 2)t + 2m + 1 = 0$ $(2).$a. Với $m = -2$, phương trình $(2)$ có dạng:$t^2 – 3 = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lt = sqrt 3 \t = – sqrt 3 endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20l an fracx2 = sqrt 3 \ an fracx2 = – sqrt 3 endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lfracx2 = fracpi 3 + kpi \fracx2 = – fracpi 3 + kpi endarray ight.$ $ Leftrightarrow x = pm frac2pi 3 + 2kpi $, $k in Z.$Vậy với $m = -2$, phương trình tất cả hai chúng ta nghiệm.b. Bởi $x in left< – fracpi 2,0 ight>$ $ Leftrightarrow fracx2 in left< – fracpi 4,0 ight>$ suy ra $t in < – 1,0>.$Cách 1: Để $(1)$ gồm nghiệm thuộc $left< – fracpi 2,0 ight> Leftrightarrow (2)$ bao gồm nghiệm ở trong $< – 1,0>.$$ Leftrightarrow $ $left< eginarraylleft( 2 ight) m:có:1:nghiệm:thuộc:< – 1,0>\left( 2 ight) m:có:1:nghiệm:thuộc:< – 1,0>endarray ight..$$ Leftrightarrow left< {eginarray*20lf( – 1)f(0) le 0\left eginarray*20lDelta ge 0\af( – 1) ge 0\af(0) ge 0\ – 1 le fracS2 le 0endarray ight.endarray ight.$ $left< eginarrayl(3m + 4)(2m + 1) le 0\left{ eginarray*20lm^2 – 4m ge 0\3m + 4 ge 0\2m + 1 ge 0\ – 1 le fracm + 22 le 0endarray ight.endarray ight.$ $ Leftrightarrow – frac43 le m le – frac12.$Vậy cùng với $ – frac43 le m le – frac12$ phương trình bao gồm nghiệm.Cách 2: Viết lại phương trình dưới dạng:$fract^2 – 2t + 1t – 2 = m.$Phương trình $(1)$ tất cả nghiệm $ Leftrightarrow $ đường thẳng $y = m$ giảm đồ thị hàm số $y = fract^2 – 2t + 1t – 2$ bên trên đoạn $< – 1,0>.$Xét hàm số $(C):y = fract^2 – 2t + 1t – 2$ trên đoạn $< – 1,0>.$Đạo hàm:$y’ = fract^2 – 4t + 3(t – 2)^2 > 0$ với tất cả $t in < – 1,0>$ $ Leftrightarrow $ hàm số đồng biến chuyển trên $left< – 1,0 ight>.$Do đó con đường thẳng $y = m$ giảm đồ thị hàm số $(C)$ bên trên đoạn $< – 1,0>.$$ Leftrightarrow y( – 1) le m le y(0)$ $ Leftrightarrow – frac43 le m le – frac12.$Vậy với $ – frac43 le m le – frac12$ phương trình tất cả nghiệm.
Ví dụ 13: cho phương trình: $sqrt 3 sin x + cos x = m$ $(1).$a. Giải phương trình cùng với $m = -1.$b. Biện luận theo $m$ số nghiệm thuộc $left( – fracpi 6,2pi ight>$ của phương trình.
a. Với $m = -1$, phương trình tất cả dạng:$sqrt 3 sin x + cos x = – 1$ $ Leftrightarrow fracsqrt 3 2sin x + frac12cos x = – frac12$ $ Leftrightarrow sin left( x + fracpi 6 ight) = sin left( – fracpi 6 ight).$$ Leftrightarrow left< eginarray*20cx + fracpi 6 = – fracpi 6 + 2kpi \x + fracpi 6 = pi + fracpi 6 + 2kpi endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = – fracpi 3 + 2kpi \x = pi + 2kpi endarray ight.$, $k in Z.$Vậy với $m = – 1$ phương trình gồm hai bọn họ nghiệm.b. Số nghiệm của phương trình thông qua số giao điểm của con đường thẳng $y = m$ với phần đồ vật thị hàm số $y = sqrt 3 sin x + cos x$ bên trên $D = left( – fracpi 6,2pi ight>.$Xét hàm số: $y = sqrt 3 sin x + cos x.$Miền xác định: $D = left( – fracpi 6,2pi ight>.$Đạo hàm:$y’ = sqrt 3 cos x – sin x.$$y’ = 0$ $ Leftrightarrow sqrt 3 cos x – sin x = 0$ $ Leftrightarrow cos left( x + fracpi 6 ight) = 0$ $mathop Leftrightarrow limits^x in D left< eginarray*20lx = pi /3\x = 4pi /3endarray ight..$Bảng phát triển thành thiên:
Kết luận:+ với $|m|>2$, phương trình vô nghiệm.+ với $m = pm 2$, phương trình tất cả $1$ nghiệm nằm trong $D.$+ với $ – 2 + với $0 lấy một ví dụ 14: Biện luận theo $m$ số nghiệm ở trong $left< 0,frac3pi 2 ight>$ của phương trình: $msin x + cos x = 2m$ $(1).$
Biến thay đổi phương trình về dạng:$cos x = m(2 – sin x)$ $ Leftrightarrow fraccos x2 – sin x = m.$Số nghiệm của phương trình ngay số giao điểm của con đường thẳng $y = m$ với vật thị hàm số $y = fraccos x2 – sin x$ bên trên $D = left< 0,frac3pi 2 ight>.$Xét hàm số: $y = fraccos x2 – sin x.$Miền xác định: $D = left< 0,frac3pi 2 ight>.$Đạo hàm:$y’ = frac – sin x(2 – sin x) + cos xcos x(2 – sin x)^2$ $ = frac1 – 2sin x(2 – sin x)^2.$$y’ = 0$ $ Leftrightarrow 1 – 2sin x = 0$ $ Leftrightarrow sin x = frac12$ $mathop Leftrightarrow limits^x in D left< eginarray*20lx = pi /6\x = 5pi /6endarray ight..$Bảng vươn lên là thiên:
Kết luận:+ cùng với $|m| > frac1sqrt 3 $, phương trình vô nghiệm.+ với $m = pm frac1sqrt 3 $ hoặc $0 + với $ – frac1sqrt 3 ví dụ 15: cho phương trình: $sqrt 3 sin x + mcos x = 1.$Tìm $m$ để phương trình bao gồm hai nghiệm $x_1,x_2 in <0,2pi )$ làm thế nào để cho $x_1 + x_2 = frac2pi 3.$
Điều kiện cần: giả sử phương trình có nghiệm $x = alpha in left< 0,frac2pi 3 ight>$, lúc ấy $x = frac2pi 3 – alpha $ cũng là nghiệm, như vậy:$left{ eginarray*20lsqrt 3 sin alpha + mcos alpha = 1\sqrt 3 sin left( frac2pi 3 – alpha ight) + mcos left( frac2pi 3 – alpha ight) = 1endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20lmcos alpha = 1 – sqrt 3 sin alpha \mleft( – frac12cos alpha + fracsqrt 3 2sin alpha ight) = 1 – sqrt 3 left( fracsqrt 3 2cos alpha + frac12sin alpha ight)endarray ight..$$ Rightarrow fraccos alpha – cos alpha + sqrt 3 sin alpha $ $ = frac1 – sqrt 3 sin alpha 2 – 3cos alpha – sqrt 3 sin alpha .$$ Leftrightarrow (2 – 3cos alpha – sqrt 3 sin alpha )cos alpha $ $ = ( – cos alpha + sqrt 3 sin alpha )(1 – sqrt 3 sin alpha ).$$ Leftrightarrow 3cos 2alpha + sqrt 3 sin 2alpha $ $ = 3cos alpha – sqrt 3 sin alpha .$$ Leftrightarrow fracsqrt 3 2cos 2alpha + frac12sin 2alpha $ $ = fracsqrt 3 2cos alpha – frac12sin alpha .$$ Leftrightarrow cos 2alpha cos fracpi 6 + sin 2alpha sin fracpi 6$ $ = cos alpha cos fracpi 6 – sin alpha cos fracpi 6.$$ Leftrightarrow cos left( 2alpha – fracpi 6 ight) = cos left( alpha + fracpi 6 ight).$$ Leftrightarrow left< eginarray*20l2alpha – fracpi 6 = alpha + fracpi 6 + 2kpi \2alpha – fracpi 6 = – alpha – fracpi 6 + 2kpi endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lalpha = fracpi 3 + 2kpi \alpha = frac2kpi 3endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lalpha = fracpi 3\alpha = 0\alpha = frac2pi 3endarray ight..$+ với $alpha = fracpi 3$, thay vào phương trình ta được:$sqrt 3 sin fracpi 3 + mcos fracpi 3 = 1$ $ Leftrightarrow m = – 1.$+ cùng với $alpha = 0$, thay vào phương trình ta được:$sqrt 3 sin 0 + mcos 0 = 1$ $ Leftrightarrow m = 1.$+ cùng với $alpha = frac2pi 3$, thế vào phương trình ta được:$sqrt 3 sin frac2pi 3 + mcos frac2pi 3 = 1$ $ Leftrightarrow m = 1.$Vậy cùng với $m = pm 1$ là điều kiện cần.Điều khiếu nại đủ:+ với $m = 1$, vậy vào phương trình ta được:$sqrt 3 sin x + cos x = 1$ $ Leftrightarrow fracsqrt 3 2sin x + frac12cos x = frac12$ $ Leftrightarrow sin left( x + fracpi 6 ight) = sin fracpi 6.$$ Leftrightarrow left< eginarray*20lx + fracpi 6 = fracpi 6 + 2kpi \x + fracpi 6 = pi – fracpi 6 + 2kpi endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 2kpi \x = frac2pi 3 + 2kpi endarray ight.$ $mathop Leftrightarrow limits^x in left< 0,2pi ight) left< eginarray*20lx_1 = 0\x_2 = frac2pi 3endarray ight..$Nhận xét rằng lúc ấy $x_1 + x_2 = frac2pi 3$, cho nên vì thế $m = 1$ thoả mãn.+ cùng với $m = -1$: độc giả tự làm cho tương tự.
II. CÁC BÀI TOÁN THIBài 1: (ĐHMĐC – 1995): Giải phương trình: $3sin 3x – sqrt 3 cos 9x = 1 + 4sin ^33x.$
Biến thay đổi phương trình về dạng:$3sin 3x – 4sin ^33x – sqrt 3 cos 9x = 1$ $ Leftrightarrow sin 9x – sqrt 3 cos 9x = 1.$Bạn phát âm tự giải tiếp.
Bài 2. (ĐHMTCN – 1996): Giải phương trình:$cos 7xcos 5x – sqrt 3 sin 2x$ $ = 1 – sin 7xsin 5x.$
Biến thay đổi phương trình về dạng:$cos 7xcos 5x + sin 7xsin 5x$ $ – sqrt 3 sin 2x = 1$ $ Leftrightarrow cos 2x – sqrt 3 sin 2x = 1.$Bạn gọi tự giải tiếp.
Bài 3: (ĐHKTQD – 1997): Tìm những nghiệm thuộc khoảng chừng $left( frac2pi 5,frac6pi 7 ight)$ của phương trình: $sqrt 3 sin 7x – cos 7x = sqrt 2 .$
Biến đổi phương trình về dạng:$ Leftrightarrow fracsqrt 3 2sin 7x – frac12cos 7x = fracsqrt 2 2$ $ Leftrightarrow sin 7xcos fracpi 6 – cos 7xsin fracpi 6 = fracsqrt 2 2.$$ Leftrightarrow sin left( 7x – fracpi 6 ight) = sin fracpi 4$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20l7x – fracpi 6 = fracpi 4 + 2kpi \7x – fracpi 6 = pi – fracpi 4 + 2kpi endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = frac5pi 84 + frac2kpi 7\x = frac11pi 84 + frac2kpi 7endarray ight.$, $k in Z.$+ Với họ nghiệm $x = frac5pi 84 + frac2kpi 7$, ta được:$frac2pi 5 khi ấy ta được nghiệm: $x_1 = frac5pi 84 + frac4pi 7 = frac53pi 84.$+ Với bọn họ nghiệm $x = frac11pi 84 + frac2kpi 7$, ta được:$frac2pi 5 khi ấy ta được nghiệm: $x_2 = frac11pi 84 + frac2pi 7 = frac35pi 84$ với $x_3 = frac11pi 84 + frac4pi 7 = frac59pi 84.$
Bài 4: cho phương trình:a. Giải phương trình cùng với $m = sqrt 3 .$b. Tìm kiếm $m$ để phương trình có $4$ nghiệm rành mạch thuộc $left( – pi ,frac7pi 3 ight).$
a. Bạn đọc tự giải.b. Chuyển đổi phương trình về dạng:$sin x = m(1 – cos x)$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20ccos x = 1\fracsin x1 – cos x = mendarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 0 vee x = 2pi \fracsin x1 – cos x = m:(*)endarray ight..$Vậy để phương trình lúc đầu có $4$ nghiệm rành mạch thuộc $left( – pi ,frac7pi 3 ight)$ đk là phương trình $(*)$ gồm $2$ nghiệm minh bạch thuộc $left( – pi ,frac7pi 3 ight).$Số nghiệm của phương trình $(*)$ bằng số giao điểm của mặt đường thẳng $y = m$ với trang bị thị hàm số $y = fracsin x1 – cos x$ bên trên $D = left( – pi ,frac7pi 3 ight).$Xét hàm số $y = fracsin x1 – cos x.$Miền xác định $D = left( – pi ,frac7pi 3 ight).$Đạo hàm $y’ = fraccos x – 1(1 – cos x)^2 le 0$, $forall x in D.$Bảng biến thiên:
Khi kia với $m le 0 vee m ge sqrt 3 $ phương trình $(*)$ gồm $2$ nghiệm khác nhau thuộc khoảng chừng $left( – pi ,frac7pi 3 ight).$
Bài 5: (ĐHTCKT thành phố hcm – 1995): đến phương trình: $msin x + (m + 1)cos x + 1 = 0.$Tìm $m$ nhằm phương trình bao gồm hai nghiệm $x_1,x_2 in <0,2pi >$ với hai nghiệm này biện pháp nhau $fracpi 2.$
Điều kiện cần: trả sử phương trình tất cả nghiệm $x = alpha in left< 0,frac3pi 2
ight>$, khi ấy $x = alpha + fracpi 2$ cũng là nghiệm, như vậy:$left{ eginarray*20lmsin alpha + (m + 1)cos alpha + 1 = 0\msin left( alpha + fracpi 2
ight) + (m + 1)cos left( alpha + fracpi 2
ight) + 1 = 0endarray
ight..$$ Leftrightarrow left{ eginarray*20lmsin alpha + (m + 1)cos alpha + 1 = 0\mcos alpha – (m + 1)sin alpha + 1 = 0endarray
ight..$$ Leftrightarrow left{ eginarray*20lm(sin alpha + cos alpha ) = – 1 – cos alpha \m(cos alpha – sin alpha ) = sin alpha – 1endarray
ight..$$ Rightarrow fracsin alpha + cos alpha cos alpha – sin alpha = frac1 + cos alpha 1 – sin alpha .$$ Leftrightarrow (sin alpha + cos alpha )(1 – sin alpha )$ $ = (cos alpha – sin alpha )(1 + cos alpha )$ $ Leftrightarrow sin alpha = frac12$ $ Leftrightarrow alpha = fracpi 6$ hoặc $alpha = frac5pi 6.$+ cùng với $alpha = fracpi 6$, cố vào phương trình ta được:$msin fracpi 6 + (m + 1)cos fracpi 6 + 1 = 0$ $ Leftrightarrow m = – frac1 + sqrt 3 2.$+ cùng với $alpha = frac5pi 6$, ráng vào phương trình ta được:$msin frac5pi 6 + (m + 1)cos frac5pi 6 + 1 = 0$ $ Leftrightarrow m = – frac1 – sqrt 3 2.$Vậy cùng với $m = – frac1 pm sqrt 3 2$ là điều kiện cần.Điều kiện đủ: độc giả tự giải.
Xem thêm: Bộ Đề Đọc Hiểu Điều Kỳ Diệu Của Thái Độ Sống, Điều Kỳ Diệu Của Thái Độ Sống
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊBài tập 1: Giải các phương trình sau:a. $cos ^2x – sqrt 3 sin 2x = sin ^3x + 1.$b. $3sin x – sqrt 3 cos 3x = 4sin ^3x – 1.$
Bài tập 2: Giải những phương trình sau:a. $2cos x(sin x – 1) = sqrt 3 cos 2x.$b. $2sin 3x – sin 2x + sqrt 3 cos 2x = 0.$
Bài tập 3: Giải những phương trình sau:a. $3sin 2x + 4cos 2x + 5cos 2003x = 0.$b. $sqrt 3 sin 4x – cos 4x = sin x – sqrt 3 cos x.$
Bài tập 4: Giải các phương trình sau:a. $sqrt 3 sin left( x – fracpi 3 ight) + sin left( x + fracpi 6 ight)$ $ – 2sin 1972x = 0.$b. $sin x = frac13(3 – sqrt 3 cos x).$
Bài tập 5: Giải các phương trình sau:a. $sin 2x + (sqrt 3 – 2)cos 2x = 1.$b. $(1 – sqrt 3 )sin x + (1 + sqrt 3 )cos x = 2.$
Bài tập 6: Giải các phương trình sau:a. $3cos x – sin 2x = sqrt 3 (cos 2x + sin x).$b. $sqrt 2 cos left( fracx5 – fracpi 12 ight) – sqrt 6 sin left( fracx5 – fracpi 12 ight)$ $ = 2sin left( fracx5 + frac2pi 3 ight) – 2sin left( frac3x5 + fracpi 6 ight).$
Bài tập 7: mang đến phương trình: $(m – 1)sin x – cos x = 1.$a. Giải phương trình với $m = 1.$b. Tra cứu $m$ để phương trình bao gồm nghiệm ở trong $left<-fracpi2, fracpi2 ight>$
Bài tập 8: mang đến phương trình: $msin x + 2cos x = 1 – m.$a. Giải phương trình cùng với $m = 2sqrt 3 .$b. Kiếm tìm $m$ để phương trình bao gồm nghiệm ở trong $left< – fracpi 2,fracpi 2 ight>.$
Bài tập 9: đến phương trình: $sqrt 3 sin x – cos x = m.$a. Giải phương trình với $m = 1.$b. Biện luận theo $m$ số nghiệm thuộc $left( – frac5pi 6,3pi ight>$ của phương trình.
Bài tập 10: tìm kiếm $m$ để phương trình sau có hai nghiệm $x_1,x_2 in <0,2pi >$ và nhì nghiệm này giải pháp nhau $fracpi 2.$
Bài tập 11: Giải cùng biện luận theo $m$ phương trình:$fraca – bcos xsin x = frac2sqrt a^2 – b^2 an y1 + an ^2y.$
bài xích tập 12: Giải và biện luận theo $m$ phương trình: $msin x + (2m – 1)cos x = 3m – 1$ với $0