Phương pháp giải giới hạn hàm số toán cao cấp

BÀI 1: HÀM SỐ, GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤCThời lượng Mục tiêuTrên cơ sở những kiến thức của chương trình phổ thông, mục tiêu của bài này là ôn tập, hệ thống hóa và cải thiện các kiến thức và kỹ năng về hàm số một đổi thay số: Giới hạn, tính thường xuyên của hàm số. Giải đáp học • Đây là bài xích học nhằm mục tiêu ôn tập và hệ thống hóa lại những kiến thức toán học đã học vào chương trình nhiều nên bạn cần đọc kỹ lại các triết lý về hàm số….

Đang xem: các công thức tính giới hạn trong toán cao cấp

bài 1: Hàm số, giới hạn và tiếp tục BÀI 1: HÀM SỐ, GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤCThời lượng phương châm • gọi được định nghĩa hàm số, giới hạn, sựBạn đề xuất học với làm bài xích tập của bài nàytrong nhị tuần, từng tuần khoảng tầm 3 cho 4 liên tụcgiờ đồng hồ. • Giải được các bài tập về hàm số, giới hạn, tính tiếp tục • Áp dụng phần mềm toán để giám sát và đo lường với hàm số, giới hạnNội dungTrên cơ sở các kiến thức của công tác phổ thông, mục tiêu của bài xích này là ôn tập, hệ thốnghóa và nâng cao các kỹ năng về hàm số một trở nên số: Giới hạn, tính thường xuyên củahàm số.Hướng dẫn học• Đây là bài học nhằm mục tiêu ôn tập và khối hệ thống hóa lại các kiến thức toán học vẫn học vào chương trình nhiều nên bạn cần đọc kỹ lại các định hướng về hàm số, giới hạn.• sau khi đọc kỹ định hướng bạn bắt buộc làm bài xích tập càng các càng xuất sắc để củng cố kỉnh và nâng cao kiến thức. 1 bài 1: Hàm số, số lượng giới hạn và liên tục1.1. Hàm số một biến số1.1.1. Định nghĩa hàm số một đổi mới số mang đến X là tập vừa lòng khác rỗng của R . Ta điện thoại tư vấn ánh xạ f :X → R y = f (x) x là hàm số một thay đổi số bên trên tập hòa hợp X , trong số ấy x là vươn lên là số độc lập, y là đại lượng nhờ vào hay hàm số của x . Tập vừa lòng X gọi là miền xác minh của hàm số f . Tập hợp f (X) = y ∈ , y = f (x) : x ∈ X call là miền quý giá của f giả dụ hàm số một vươn lên là số cho trong dạng biểu thức: y = f (x) nhưng mà không nói gì thêm thì ta hiểu miền xác định của hàm số là tập hợp phần đông giá trị thực của vươn lên là số x tạo nên biểu thức có nghĩa. Ví dụ như 1: Biểu thức y = 1 − x 2 xác định khi : 1 − x 2 ≥ 0 ⇔ x ≤ 1 ⇔ −1 ≤ x ≤ 1. Cho nên vì thế miền xác định của hàm số y = 1 − x 2 là . Tiện lợi thấy rằng miền giá trị của hàm y là . Miền khẳng định của một hàm số rất có thể gồm các tập nhỏ rời nhau, trên mỗi tập con này lại có một nguyên tắc riêng để xác định giá trị của hàm số. Hàm số có thể được xác định bởi các công thức không giống nhau tùy thuộc vào cực hiếm của biến. Ví dụ 2: ⎧ x 2 + 1 khi x ≥ 0 f (x) = ⎨ ⎩1 − 2x lúc x bài 1: Hàm số, giới hạn và tiếp tục CHÚ Ý: Đồ thị của hàm số hoàn toàn có thể là tập hợp các điểm tránh rạc, cũng có thể gồm một trong những cung tức khắc Ví dụ 3: ⎧ ⎪x 2 khi x ≤ 0 ⎪ Đồ thị của hàm số y = ⎨ x khi 0 1 ⎩2 Hình 1.1 việc vẽ phác họa đồ thị của hàm số f với miền khẳng định là một khoảng tầm số thực thường được khẳng định theo trình từ như sau: Lấy những số x1 , x 2 ,…, x n tự miền xác định của hàm số (càng những điểm và những điểm càng sát nhau càng tốt). • Tính các giá trị khớp ứng của hàm số y1 = f (x1 ),…, y n = f (x n ) • khẳng định các điểm • M1 = (x1 , y1 ),…, M n = (x n , y n ) • Nối những điểm đã xác minh nói trên ta có hình ảnh phác họa của vật dụng thị hàm số. Biện pháp vẽ như trên không trả toàn đúng đắn mà chỉ cho hình dáng của vật dụng thị hàm số. Đồ thị của hàm số được dùng làm minh họa Hình 1.2 những đặc trưng cơ bản, sự dựa vào của cực hiếm của hàm số và biến đổi số. Nhìn vào đồ gia dụng thị hoàn toàn có thể dễ dàng quan ngay cạnh xu hướng biến hóa của quý giá hàm số khi biến tự do thay đổi.1.1.3. Hàm số đơn điệu. Hàm số chẵn, lẻ, tuần hoàn1.1.3.1. Hàm số đối kháng điệu Hàm số f (x) xác minh trong khoảng chừng (a, b) • Được hotline là 1-1 điệu tăng trong khoảng (a, b) nếu với mọi x1 , x 2 ∈ (a, b), x1 bài xích 1: Hàm số, số lượng giới hạn và liên tục (Nếu điều kiện trên vẫn đúng vào lúc bỏ vệt đẳng thức, tức là: ∀x1 , x 2 ∈ (a, b), x1 f (x 2 ) thì ta nói hàm f sút ngặt (hay nghịch biến) bên trên (a, b) ). Hàm số f được điện thoại tư vấn là solo điệu bên trên (a, b) ví như nó chỉ 1-1 điệu tăng hoặc chỉ đối kháng điệu giảm trong khoảng này. Đồ thị của hàm số tăng là một trong đường “đi lên”, ngược lại đồ thị hàm số giảm là con đường “đi xuống” nếu chú ý từ trái lịch sự phải. Hình 1.31.1.3.2. Hàm số chẵn, hàm số lẻ Hàm số f khẳng định trên một tập hợp D đối xứng ( x ∈ D ⇔ − x ∈ D ) , chẳng hạn khoảng (−l, l) , đoạn , tập (−b, −a) ∪ (a, b)(0 bài 1: Hàm số, số lượng giới hạn và thường xuyên còn hàm số h(x) = x 3 , k(x) = sin x là những hàm lẻ bên trên R vì: ⎫ h(− x) = ( − x)3 = ( − x)3 = −h(x) ⎬ ∀x ∈ R k(− x) = sin( − x) = − sin x = −k(x) ⎭ Đồ thị của hàm chẵn dìm trục Oy làm trục đối xứng, còn đồ thị hàm lẻ nhận cội tọa độ O làm tâm đối xứng (hình 1.4) Hàm chẵn: Hàm lẻ:1.1.3.3. Hàm số tuần trả Định nghĩa: Hàm số f được hotline là tuần hoàn trên miền xác minh D (thông thường xét D ≡ R ) giả dụ tồn tại số thực p. ≠ 0 sao cho: ∀x ∈ D thì x ± p. ∈ D và f (x + p) = f (x). Số p gọi là chu kỳ luân hồi của hàm f . 5 bài 1: Hàm số, giới hạn và tiếp tục Nếu trong số số p nói trên, tồn tại một số dương bé dại nhất – ký hiệu vì T – thì T được hotline là chu kỳ luân hồi cơ bạn dạng của f . Ví dụ như 5: những hàm sin x, cos x các tuần trả với chu kỳ luân hồi 2π vì: sin(x + 2π) = sin x, cos(x + 2π) = cos x ∀x ∈ R những hàm tgx,cotgx phần đa tuần trả với chu kỳ luân hồi π vì: π tg ( x + π ) = tgx,∀x ≠ + kπ;cotg(x + π) = cotg,∀x ≠ kπ 2 không chỉ có thế các chu kỳ luân hồi nói trên gần như là những chu kỳ cơ bản. Thiệt vậy, ví dụ điển hình xem xét hàm y = sin x , đưa sử trường tồn số dương T bài xích 1: Hàm số, giới hạn và liên tiếp Hàm số g trở thành x thành y theo nguyên tắc trên call là (hàm số) hòa hợp của nhì hàm f và ϕ . Cam kết hiệu: g = f (ϕ(x)) . (Nhớ rằng trong cách ký hiệu trên, hàm nào thua cuộc lại có ảnh hưởng tác động trước đến biến chuyển x ). Ví dụ 6: Hàm số y = sin 5 x là hàm vừa lòng của hai hàm y = u 5 cùng u = sin x . Biện pháp nói sau cũng rất được chấp nhận: “Hàm số g(x) = sin 5 x là hàm vừa lòng của nhị hàm f (x) = x 5 cùng ϕ(x) = sin x ”.1.1.5. Hàm số ngược Xét hàm số y = f (x) gồm miền khẳng định X , miền quý hiếm Y = f (X) . So với mỗi y 0 ∈ Y tồn tại nhất x 0 ∈ X nhằm f (x 0 ) = y0 (hay phương trình f (x) = y0 tất cả nghiệm tốt nhất trong X ) thì quy tắc biến chuyển mỗi số y ∈ Y thành nghiệm nhất của phương trình f (x) = y là 1 trong hàm số đi tự Y cho X hotline là hàm ngược của hàm f , ký hiệu f −1 f −1 (y) = x ⇔ f (x) = y. Khi đó, dễ dãi thấy rằng f là hàm ngược của f −1 . Lấy một ví dụ 7: Hàm số y = x 3 ( R → R ) có hàm ngược là hàm số x = 3 y ( R → R ) vì: • y = x3 ⇔ x = 3 y Hàm số y = a x ( a > 0, a ≠ 1) ( R → R* ) bao gồm hàm ngược là hàm số x = log a y + • ( R* → R ) vì: + y = a x ⇔ x = log a x. • các hàm lượng giác quen thuộc đều phải có hàm ngược với cùng 1 cách ký kết hiệu: ⎛ ⎡ π π⎤ ⎞ Hàm số y = sin x ⎜ ⎢ − , ⎥ → ⎟ gồm hàm ngược, ta cam kết hiệu hàm ngược o ⎝⎣ 2 2⎦ ⎠ đó là: ⎛ ⎡ π π⎤⎞ x = arcsin y ⎜ → ⎢ − , ⎥ ⎟ . ⎣ 2 2⎦⎠ ⎝ ( → ) Hàm số y = cos x gồm hàm ngược, ta ký kết hiệu hàm ngược o đó là: x = arccos y ( → ) . ⎛⎛ π π ⎞ ⎞ Hàm số y = tgx ⎜ ⎜ − , ⎟ → R ⎟ tất cả hàm ngược, ta ký kết hiệu hàm ngược đó là: o ⎝⎝ 2 2 ⎠ ⎠ ⎛ ⎛ π π ⎞⎞ x = arctgy ⎜ → ⎜ − , ⎟ ⎟. ⎝ 2 2 ⎠⎠ ⎝ 7 bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục ( ( 0, π ) → R ) bao gồm hàm ngược, ta ký kết hiệu hàm ngược kia là: Hàm số y =cotgx o x = arccotgy ( → ( 0.π ) ) ( R → ( 0, π ) ) CHÚ Ý : • do thường cam kết hiệu x nhằm chỉ biến độc lập và y nhằm chỉ biến dựa vào nên khi trình diễn hàm ngược thay vày x = f −1 (y) gồm viết y = f −1 (x) . Ví dụ điển hình y = log a x là hàm ngược của hàm: y = a x • Đồ thị của nhị hàm ngược nhau không biến đổi như khi thay đổi vai trò x,y lẫn nhau thì nó đối xứng nhau qua con đường phân giác sản phẩm nhất. Thật vậy, call (C) và (C’) thứu tự là vật dụng thị của nhị hàm f (x) cùng f −1 (x) thì theo định nghĩa: M = (x, y) ∈ (C) ⇔ M ” = (y, x) ∈ (C “) Hình 1.6: Hàm mũ, hàm logarit1.1.6. Những hàm số sơ cấp1.1.6.1. Những hàm số sơ cấp cơ phiên bản • Hàm lũy vượt y = x α (α ∈ R) Miền xác định (MXĐ) của hàm nhờ vào vào số α . O nếu α ≥ 0 , MXĐ là R . O nếu α nguyên âm. MXĐ là R 0 . 1 giả dụ α = , p. ∈ R* thì MXĐ là R + nếu như o p p chẵn với R nếu p lẻ. Hình 1.7: Đồ thị hàm số y = x 3 nếu như α vô tỷ, MXĐ được quy cầu là R + . O • Hàm mũ: f (x) = a x (0 1 với nghịch thay đổi nếu 0 1 và nghịch biến hóa nếu o 0 bài bác 1: Hàm số, giới hạn và liên tục y = cos x : tất cả MXĐ là R ,o MGT ; cho khớp ứng mỗi số thực x với hoành độ điểm biểu diễn cung x radian trên đường tròn lượng giác. Hàm cos là hàm chẵn, tuần trả với chu kỳ luân hồi cơ phiên bản 2π . Y = tgx : tất cả MXĐ lào π ⎧ ⎫ R ⎨(2k+1) , k ∈ Z ⎬ , ⎩ 2 ⎭ MGT R ; cho tương xứng mỗi số thực x cùng với tung độ của giao Hình 1.8: Quy tắc khẳng định các lượng chất giác điểm tia OM ( M là điểm biểu diễn cung x radian trên tuyến đường tròn lượng giác) với trục tan là đường thẳng gồm phương trình: x = 1 . Hàm tgx là hàm lẻ, tuần trả với chu kỳ luân hồi cơ phiên bản π . Y = cotgx: gồm MXĐ là R kπ, k ∈ Z , MGT R ; cho tương ứng mỗi số thực xo với hoành độ của giao điểm tia OM ( M là điểm biểu diễn cung x radian trê tuyến phố tròn lượng giác) cùng với trục cotg là con đường thẳng gồm phương trình y = 1 . Hàm cotgx là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ luân hồi cơ bạn dạng π . Hình 1.9: Đồ thị những hàm con số giác 9 bài bác 1: Hàm số, giới hạn và liên tiếp • các chất giác ngược ⎡ π π⎤ y = arcsin x : tất cả MXĐ là , MGT ⎢ − , ⎥ là hàm ngược của hàm sin. O ⎣ 2 2⎦ Hàm y = arcsin x là hàm lẻ, đồng biến. Y = arccos x : bao gồm MXĐ là , MGT là hàm ngược của hàm cos. O Hàm y = arccos x là hàm nghịch biến. O ⎛ π π⎞ y = arctgx : tất cả MXĐ là R , MGT ⎜ − , ⎟ là hàm ngược của hàm tg. O ⎝ 2 2⎠ Hàm y = arctgx là hàm lẻ, đồng biến. ⎛ π π⎞ y = arccotgx : bao gồm MXĐ là R , MGT ⎜ − , ⎟ là hàm ngược của hàm cotgx. O ⎝ 2 2⎠ Hàm y = arccotgx là hàm lẻ, nghịch biến. Hình 1.10: Đồ thị những hàm lượng giác ngược1.1.6.2. Định nghĩa Hàm số sơ cấp là 1 hàm số được thành lập từ những hàm số sơ cung cấp cơ phiên bản và hàm hằng thuộc với một số trong những hữu hạn những phép toán số học (cộng, trừ, nhân chia) và các phép toán lấy hàm hợp. Lấy ví dụ 8: các hàm số sau rất nhiều là các hàm sơ cấp: • Hàm bậc nhất: y = ax + b .10 bài xích 1: Hàm số, số lượng giới hạn và liên tục • Hàm bậc hai: y = ax 2 + bx + c . ) ( • Hàm lôgarit: log a x + x 2 + 1 . 1 + sin x • các chất giác: y = + arctg(2x + 3) . 1− x2 x • Hàm phân thức hũu tỷ: y = . 1− x21.2. Dãy số và giới hạn của dãy số1.2.1. Khái niệm1.2.1.1. Hàng số Ta hotline dãy số là một trong tập hợp những số (gọi là những số hạng) được viết theo một lắp thêm tự, tuyệt được đặt số bằng những số từ bỏ nhiên. Để cho một dãy số, tín đồ ta có thể dùng các phương pháp như liệt kê, công thức bao quát và công thức truy hồi. • Liệt kê: Viết toàn bộ các số hạng theo như đúng thứ từ (nếu ko viết được hết thì dùng dấu “…” để biểu thị dãy còn thêm tục). • công thức tổng quát: chứng thật cách khẳng định một số hạng bất kỳ chỉ nên biết thứ tự của số hạng kia trong dãy. • công thức truy hồi: chỉ rõ cách xác minh một số hạng lúc biết những số hạng ngay thức thì trước nó trong dãy. • Liệt kê chỉ có ý nghĩa mô tả và thích hợp nhất với dãy hữu hạn, rất có thể xem là cách trình diễn bằng quy hấp thụ không trả toàn. Còn hai cách kia bảo đảm an toàn có thể kiếm được số hạng với thứ tự ngẫu nhiên trong dãy. Ví dụ như 9: dãy Fibonacci với 3 cách trình diễn nêu trên • Liệt kê: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … • bí quyết tổng quát: Số hạng đồ vật n là: n n ⎛ 1− 5 ⎞ ⎛ 1+ 5 ⎞ ⎜ 2 ⎟ +⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ • công thức truy hồi: nhị số hạng thứ nhất đề bởi 1, tiếp đó, số hạng sau được xem bằng tổng nhì số hạng ngay lập tức trước. Công thức tổng thể của hàng số là biện pháp biểu diễn tốt nhất có thể để có thể định nghĩa dãy số. Dựa vào nó, dãy số được có mang một giải pháp hết sức dễ dàng mà chặt chẽ. Định nghĩa: hàng số là một ánh xạ (hàm số) bao gồm miền khẳng định là (hoặc một tập con các số trường đoản cú nhiên thường xuyên của ) với lấy quý giá trong tập các số thực R . Ta thường ký kết hiệu dãy số vì chưng x n n =1 tốt gọn hơn x n .


Bạn đang xem: Phương pháp giải giới hạn hàm số toán cao cấp


Xem thêm: Thầy Cô Hãy Cho Biết Câu Hỏi Tự Luận Có Những Dạng Nào? Đặc Điểm Của Mỗi Dạng Đó?

∞ 11 bài 1: Hàm số, số lượng giới hạn và liên tục Ví dụ 10: ∞ ⎧1⎫ ⎧11 1⎫ ⎨ ⎬ = ⎨1, , ,…, ,…⎬ (A) ⎩ n ⎭n =1 ⎩ 2 3 n⎭ (−1) = −1,1, −1,…, (−1) n ,… n∞ (B) n =1 n = 1, 4,9,…, n 2 ,… 2∞ (C) n =1 ∞ ⎧n⎫ ⎧1 2 3 ⎫ n ⎬ = ⎨ , , ,…, (D) ,…⎬ ⎨ ⎩ n + 1 ⎭n =1 ⎩ 2 3 4 n +1 ⎭1.2.1.2. Hàng tăng, hàng giảm, dãy bị ngăn Dãy x n hotline là • dãy tăng ví như x n x n +1 ∀n ∈ • Dãy solo điệu ví như nó là hàng tăng hoặc hàng giảm.