Cho nhị vectơ $overrightarrow a $ với $overrightarrow b $ hồ hết khác vectơ $overrightarrow 0$. Tích vô hướng của $overrightarrow a $ và $overrightarrow b $ là một trong số, kí hiệu là $overrightarrow a $.$overrightarrow b $, được xác minh bởi công thức sau:
$overrightarrow a .overrightarrow b = left| overrightarrow a ight|.left| overrightarrow b ight|cos left( overrightarrow a ,overrightarrow b ight)$
Trường vừa lòng ít nhất 1 trong hai vectơ $overrightarrow a $ cùng $overrightarrow b $ bởi vectơ $overrightarrow 0$ ta quy ước $overrightarrow a $.$overrightarrow b $= 0.
Bạn đang xem: Nhân vecto
Chú ý
Với $overrightarrow a $ cùng $overrightarrow b $ khác vectơ $overrightarrow 0$ ta có$overrightarrow a .overrightarrow b = 0 Leftrightarrow overrightarrow a ot overrightarrow b $.
Khi $overrightarrow a $ = $overrightarrow b $ tích vô phía $overrightarrow a $.$overrightarrow a $ được kí hiệu là $overrightarrow a ^2$ với số này được gọi là bình phương vô hướng của vectơ $overrightarrow a $.
Ta có $overrightarrow a ^2 = left| overrightarrow a ight|.left| overrightarrow a ight|cos 0^0 = left$.
2. Các đặc thù của tích vô hướng
Người ta chứng minh được những tính chất sau đây của tích vô hướng:
Với bố vectơ $overrightarrow a $, $overrightarrow b $, $overrightarrow c $ bất kỳ và đều số k ta có:
$overrightarrow a $.$overrightarrow b $ = $overrightarrow b $.$overrightarrow a $ (tính chất giao hoán);
$overrightarrow a .left( overrightarrow b + overrightarrow c ight) = overrightarrow a .overrightarrow b + overrightarrow a .overrightarrow c $(tính chất phân phối) ;
$egingathered left( koverrightarrow a ight)overrightarrow b = kleft( overrightarrow a .overrightarrow b ight) = overrightarrow a left( koverrightarrow b ight) hfill \ overrightarrow a ^2 geqslant 0,overrightarrow a ^2 = 0 Leftrightarrow overrightarrow a = overrightarrow 0 hfill \ endgathered$
Nhận xét
Từ các tính chất của tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra:
$egingathered left( overrightarrow a + overrightarrow b ight)^2 = overrightarrow a ^2 + 2overrightarrow a .overrightarrow b + overrightarrow b ^2; hfill \ left( overrightarrow a - overrightarrow b ight)^2 = overrightarrow a ^2 - 2overrightarrow a .overrightarrow b + overrightarrow b ^2; hfill \ left( overrightarrow a + overrightarrow b ight)left( overrightarrow a - overrightarrow b ight) = overrightarrow a ^2 - overrightarrow b ^2. hfill \ endgathered $
3. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng
Trên mặt phẳng toạ độ $left( O;overrightarrow i ;overrightarrow j ight)$, cho hai vectơ $overrightarrow a = left( a_1;a_2 ight);overrightarrow b = left( b_1;b_2 ight)$. Lúc ấy tích vô phía $overrightarrow a $.$overrightarrow b $ là:
$overrightarrow a .overrightarrow b = a_1b_1 + a_2b_2$
Nhận xét
Hai vectơ$overrightarrow a = left( a_1;a_2 ight);overrightarrow b = left( b_1;b_2 ight)$ gần như khác vectơ $overrightarrow 0$ vuông góc cùng nhau khi và chỉ còn khi:
$a_1b_1 + a_2b_2 = 0$.
4. Ứng dụng
a) Độ nhiều năm của vectơ
Độ dài của vectơ $overrightarrow a = left( a_1;a_2 ight)$ được tính theo công thức:
$left| overrightarrow a ight| = sqrt a_1^2 + a_2^2 $.
b) Góc giữa hai vectơ
Từ quan niệm tích vô vị trí hướng của hai vectơ ta suy ra nếu$overrightarrow a = left( a_1;a_2 ight);overrightarrow b = left( b_1;b_2 ight)$ phần nhiều khác $overrightarrow 0$ thì ta có:
$cos left( overrightarrow a ,overrightarrow b
ight) = fracoverrightarrow a .overrightarrow b overrightarrow b
ight = fraca_1b_1 + a_2b_2sqrt a_1^2 + a_2^2 sqrt b_1^2 + b_2^2 $.
Xem thêm: Đề Cương Ôn Tập Hình Học 7 Hk2 Có Đáp Án Chi Tiết, Các Bài Toán Hình Lớp 7 Hk2
c) khoảng cách giữa nhì điểm
Khoảng bí quyết giữa nhì điểm $Aleft( x_A;y_A ight)$ cùng $Bleft( x_B;y_B ight)$ được tính theo bí quyết sau:
$AB = sqrt left( x_B - x_A ight)^2 + left( y_B - y_A ight)^2 $.