NHÂN LIÊN HỢP LÀ GÌ

nhấn xét. Cùng với câu (b) của lấy ví dụ như này, ta thấy có xuất hiện thêm các đa thức đựng dấu trịtuyệt đối là |x − 1|, |x|. Tưởng chừng vấn đề này sẽ gây trở ngại hơn trong việc giải quyết, vìphương trình đựng dấu trị tuyệt vời nhất thì thường khó khăn phân tích thành nhân tử. Tuy vậy nhờ việcsử dụng cách thức nhân lượng liên hợp, vấn đề này đã làm được giải nhanh chóng và khá nhẹnhàng. Khi ấy, ta chỉ cần chuyển các lượng ấy về đúng vị trí với sử dụng cách thức nhânlượng liên hợp là đủ.Cách tiếp cận bởi nhân lượng liên hợp được cho phép ta dám biến hóa các biểu thức một cách tựdo hơn, dễ chịu và thoải mái hơn, không biến thành gò bó nhiều quá ở vấn đề lựa lựa chọn biểu thức thật phù hợp hayđánh giá chỉ như trong các cách khác

Bạn đang xem: Nhân liên hợp là gì


Bạn đã xem văn bản tài liệu Phương pháp nhân lượng liên hợp giải những bài toán về phương trình vô tỉ, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút tải về ở trên


Xem thêm: Xemesis Giàu Nhất Việt Nam, Cuộc Sống Của Streamer Giàu Nhất Việt Nam

http://onluyentoan.vnPHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢPGIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈLê Phúc Lữ12Phương pháp nhân lượng liên hợp là một cách giải không còn xa lạ được áp dụng không ít trongcác câu hỏi giải phương trình cùng hệ phương trình vô tỉ. Cách giải đơn giản dễ dàng và công dụng nàykhông đầy đủ giúp ta tiếp cận câu hỏi theo hướng thoải mái và tự nhiên hơn mà còn hỗ trợ ta tự tạo đượcnhiều bài toán mới mẻ và lạ mắt một phương pháp dễ dàng, thông qua đó có thể tự tập luyện thêm các kỹ năngcho mình. Trong bài viết này, bọn họ sẽ cùng tìm làm rõ hơn về phương thức nhân lượngliên hợp tương tự như những điều cần chăm chú khi áp dụng nó.1 kiến thức cần nhớ và một số bài toán mở đầu1.1 kỹ năng cần nhớỞ chương trình THCS, bọn họ đã khá thân quen với những câu hỏi về biến hóa biểu thứcvô tỉ bằng phương pháp dùng đại lượng cân xứng để khử căn nhằm mục đích làm lộ diện nhân tử. Điều đóđược tiến hành nhờ các hằng đẳng thức cơ bản sau3:• a2 − b2 = (a− b)(a+ b)⇔ a− b = a2 − b2a+ b.• a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab+ b2)⇔ a− b = a3 − b3a2 + ab+ b2.• a4 − b4 = (a− b)(a+ b)(a2 + b2)⇔ a− b = a4 − b4(a+ b)(a2 + b2).• · · ·• an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b+ · · ·+ abn−2 + bn−1).Sử dụng phát minh này, trong những bài toán về phương trình cùng hệ phương trình, họ có thểnhóm hoặc thêm bớt các đại lượng cân xứng vào các biểu thức đựng căn rồi làm lộ diện cácđa thức. Nhờ việc phân tích những đa thức đó thành nhân tử làm xuất hiện ra vượt số chung, ta1Sinh viên trường Đại học tập FPT, thành phố Hồ Chí Minh. Nickname chienthan sinh hoạt Diễn bầy Cùng nhau vượtĐại dương 2Bài viết được trình bày lại bằng chương trình biên soạn thảo LaTeX vị can_hang2007. Đề nghị các bạn ghi rõnguồn của lúc đăng cài trên các trang web khác.3Ở trên đây ta tạm hiểu là các biểu thức đã thỏa mãn nhu cầu điều khiếu nại của phép chia.1http://onluyentoan.vn2 Lê Phúc Lữđưa việc đã mang đến về các phương trình tích thân thuộc và trường đoản cú đó giải pháp xử lý tiếp. Tất nhiên là cónhiều yếu tố không giống cần chăm chú nhưng với những bài toán thường thì thì phát minh tổng quát là:Giả sử trong phương trình, hệ phương trình đề xuất xét, chúng ta có biểu thức dạng√P (x) vớiP (x) là 1 trong đa thức nào đó. Bằng cách nhẩm nghiệm, ta tìm kiếm được x = a là 1 trong những nghiệm củanó. Khi đó, ta sẽ cung ứng biểu thức bên trên đại lượng −√P (a) để sở hữu được thay đổi sau√P (x)−√P (a) =P (x)− phường (a)√P (x) +√P (a).Đa thức phường (x) − p (a) nghỉ ngơi trên tử rõ ràng hoàn toàn có thể phân tích thành (x − a)G(x) nên sau khi làmcác quá trình thêm bớt giống như vào gần như đại lượng còn lại, chúng ta sẽ đạt được ngay nhântử đề nghị tìm.Như thế, tổng quát hơn, giả dụ ta tất cả phương trình dạng f(x) = 0 với f(x) xác định trên miền Dvà ta đang biết nó có nghiệm là x = a ∈ D thì ta tất cả thể đổi khác đưa nó về dạng (x− a)g(x) = 0và quy về xử trí phương trình new g(x) = 0.Trong những trường phù hợp thì g(x) đang vô nghiệm trên D, mặc dù một số trường đúng theo khác thìnó sẽ vẫn còn đấy nghiệm nữa và điều đó đòi hỏi vô số cách thức xử lý yêu thích hợp.1.2 các ví dụ minh họaVí dụ 1. Giải phương trình sau:√x+ 1 +√x+ 4 +√x+ 9 +√x+ 16 =√x+ 100.Lời giải. Điều kiện: x > −1. Ta thấy x = 0 là 1 nghiệm của phương trình nên hoàn toàn có thể tiếnhành thay đổi như sau(√x+ 1− 1)+ (√x+ 4− 2)+ (√x+ 9− 3)+ (√x+ 16− 4) = (√x+ 100− 10)⇔ (x+ 1)− 12√x+ 1 + 1+(x+ 4)− 22√x+ 4 + 2+(x+ 9)− 32√x+ 9 + 3+(x+ 16)− 42√x+ 16 + 4=(x+ 100)− 102√x+ 100 + 10⇔ x√x+ 1 + 1+x√x+ 4 + 2+x√x+ 9 + 3+x√x+ 16 + 4=x√x+ 100 + 10⇔x = 01√x+ 1 + 1+1√x+ 4 + 2+1√x+ 9 + 3+1√x+ 16 + 4=1√x+ 100 + 10Xét phương trình:1√x+ 1 + 1+1√x+ 4 + 2+1√x+ 9 + 3+1√x+ 16 + 4=1√x+ 100 + 10. (1)Ta có√x+ 100 + 10 >√x+ 1 + 1 > 0 nên1√x+ 1 + 1>1√x+ 100 + 10,suy ra1√x+ 1 + 1+1√x+ 4 + 2+1√x+ 9 + 3+1√x+ 16 + 4>1√x+ 100 + 10, ∀x > −1và cho nên vì thế phương trình (1) vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho bao gồm nghiệm tốt nhất x = 0.http://onluyentoan.vnPhương pháp nhân lượng phối hợp giải các bài toán về phương trình vô tỉ 3Ví dụ 2. Giải những phương trình sau:(a) 3√x+√x+ 3 = 3; (b) 3√2x+ 1 + 3√x = 1.Lời giải. (a) Điều kiện xác định: x > −3. Phương trình vẫn cho tương đương với(3√x− 1)+ (√x+ 3− 2) = 0⇔ x− 13√x2 + 3√x+ 1+x− 1√x+ 3 + 2= 0⇔ (x− 1)(13√x2 + 3√x+ 1+1√x+ 3 + 2)= 0⇔x− 1 = 013√x2 + 3√x+ 1+1√x+ 3 + 2= 0Từ đây, ta thấy x = một là một nghiệm của phương trình. Xét x 6= 1, lúc ấy theo các chuyển đổi ởtrên, ta có13√x2 + 3√x+ 1+1√x+ 3 + 2= 0.Tuy nhiên, vấn đề đó không thể xẩy ra do√x+ 3 + 2 > 0 và3√x2 + 3√x+ 1 =(3√x+12)2+34> 0.Vậy phương trình đang cho tất cả một nghiệm độc nhất x = 1.(b) Phương trình đang cho tương đương với(3√2x+ 1− 1)+ 3√x = 0⇔ (2x+ 1)− 13√(2x+ 1)2 + 3√2x+ 1 + 1+ 3√x = 0⇔ 2x3√(2x+ 1)2 + 3√2x+ 1 + 1+ 3√x = 0⇔ 3√x 2 3√x23√(2x+ 1)2 + 3√2x+ 1 + 1+ 1 = 0⇔x = 023√x23√(2x+ 1)2 + 3√2x+ 1 + 1+ 1 = 0Dễ thấy23√x23√(2x+ 1)2 + 3√2x+ 1 + 1+ 1 > 0, ∀x ∈ Rnên trường đoản cú trên, ta suy ra x = 0 là nghiệm độc nhất vô nhị của phương trình đã cho.Ví dụ 3. Tìm toàn bộ các nghiệm thực của phương trình sau:√x2 + 15 = 33√x2 +√x2 + 8− 2.Lời giải. Phương trình đang cho tương tự với(√x2 + 15− 4) = 3( 3√x2 − 1)+ (√x2 + 8− 3)⇔ x2 − 1√x2 + 15 + 4=3(x2 − 1)3√x4 +3√x2 + 1+x2 − 1√x2 + 8 + 3.http://onluyentoan.vn4 Lê Phúc LữNhư vậy, ta gồm x2 = 1 hoặc1√x2 + 15 + 4=33√x4 +3√x2 + 1+1√x2 + 8 + 3.Tuy nhiên, do√x2 + 8 + 3 3√2. Phương trình đã cho tương tự với(3√x2 − 1− 2)+ (x− 3) = (√x3 − 2− 5)⇔ (x− 3)<1 +x+ 33√(x2 − 1)2 + 2 3√x2 − 1 + 4>=(x− 3)(x2 + 3x+ 9)√x3 − 2 + 5⇔x = 31 +x+ 33√(x2 − 1)2 + 2 3√x2 − 1 + 4 =x2 + 3x+ 9√x3 − 2 + 5Xét phương trình:1 +x+ 33√(x2 − 1)2 + 2 3√x2 − 1 + 4 =x2 + 3x+ 9√x3 − 2 + 5 . (1)Ta có các đánh giá sau:• V p = x2 + 3x+ 9√x3 − 2 + 5 >x2 + 3x+ 9√x3 + 5> x2 + 3x+ 9x2+x2+ 5= 2 +2(2x− 1)x2 + x+ 10> 2.• V T 3√2, ta tất cả V T 9.Thật vậy, ta có(x2 + 4x+ 7)<4 + 2 3√3x+ 5 +3√(3x+ 5)2>=<(x+ 2)2 + 3> <(3√3x+ 5 + 1)2+ 3>> 9và đẳng thức xảy ra khi và chỉ còn khi{x+ 2 = 03√3x+ 5 + 1 = 0⇔ x = −2.Từ phía trên ta suy ra (1) gồm nghiệm tuyệt nhất x = −2. Vậy phương trình đã đến có toàn bộ hainghiệm là x = 1 và x = −2.Cách 2. Ta sẽ biến hóa phương trình đã mang lại theo cách khác như sau:x3 + 3x2 − 3 3√3x+ 5 = 1− 3x⇔ (x3 + 3x2 − 4) + 3 (x+ 1− 3√3x+ 5) = 0⇔ (x− 1)(x+ 2)2 + 3<(x+ 1)3 − 3x− 5>(x+ 1)2 + (x+ 1) 3√3x+ 5 + 3√(3x+ 5)2= 0⇔ (x− 1)(x+ 2)2 + 3(x3 + 3x2 − 4)(x+ 1)2 + (x+ 1) 3√3x+ 5 + 3√(3x+ 5)2= 0⇔ (x− 1)(x+ 2)21 + 3(x+ 1)2 + (x+ 1) 3√3x+ 5 + 3√(3x+ 5)2 = 0.Biểu thức trong ngoặc vuông luôn dương với đa số x ∈ R phải ta suy ra phương trình đã mang đến cóhai nghiệm là x = 1 với x = −2.http://onluyentoan.vn6 Lê Phúc LữNhận xét. Ở cách thứ nhất của câu (b), bởi chỉ tìm được một nghiệm của phương trình làx = 1 nên lời giải dẫn đến một phương trình khác mà lại ta buộc phải dùng bất đẳng thức reviews đểtìm nghiệm còn lại. Trong lúc đó, ở bí quyết 2, vị đã kiếm được cả hai nghiệm của phương trình đãcho nên rất có thể chủ cồn nhóm các hạng tử để làm cho nhân tử chung là (x− 1)(x+2), còn lạibiểu thức vào ngoặc đã luôn luôn dương với mọi x nên việc giải phương trình coi như hoàn tất.Các bước phân tích để có được bí quyết nhóm trên sẽ được trình làng rõ ở những bài sau. Sau đây làcách thông dụng khi giải bài toán này, đó chính là đưa về hệ phương trình đối xứng, một cáchgiải đặc trưng dùng để xử lý những bài phương trình tất cả bậc nhị vế là nghịch đảo của nhau.Cách 3. Phương trình đang cho rất có thể được viết dưới dạng(x+ 1)3 − 2 = 3 3√3x+ 5.Đặt 3√3x+ 5 = y + 1 thì ta có (y + 1)3 = 3x+ 5. Từ bỏ đây với từ phương trình ở trên, ta có hệ{(x+ 1)3 = 3y + 5(y + 1)3 = 3x+ 5Trừ vế theo vế những phương trình, ta được(x− y) <(x+ 1)2 + (x+ 1)(y + 1) + (y + 1)2 + 3> = 0⇔ x = y(Do biểu thức trong ngoặc vuông luôn luôn dương với mọi x, y ∈ R). Vậy y = x ngược quay trở về vàohệ, ta được phương trình tương xứng là(x+ 1)3 = 3x+ 5.Giải ra và thử lại, ta cũng được các nghiệm x = 1 cùng x = −2.Ví dụ 5. Giải các phương trình sau:(a) (x+ 3)√2x2 + 1 = x2 + x+ 3; (b) (x+ 3)√x2 + 5 = 2x2 + 3x+ 1.Lời giải. (a) hay thấy x = −3 ko là nghiệm của phương trình đề nghị ta chỉ cần xét x 6= −3là đủ. Lúc đó, phương trình đã cho rất có thể được viết lại dưới dạng√2x2 + 1 =x2 + x+ 3x+ 3⇔√2x2 + 1− 1 = x2x+ 3⇔ 2x2√2x2 + 1 + 1=x2x+ 3⇔x = 0 2√2x2 + 1 + 1=1x+ 3Từ đây ta suy ra x = 0 là một nghiệm của phương trình đang cho. Xét phương trình còn lại, tathấy phương trình này tương tự với√2x2 + 1 + 1 = 2x+ 6⇔ √2x2 + 1 = 2x+ 5⇔x > −522x2 + 1 = 4x2 + 25 + 20x⇔x > −52x2 + 10x+ 12 = 0⇔x > −52x = −5 +√13 ∨ x = −5−√13⇔ x = −5 +√13.Vậy phương trình đang cho có hai nghiệm là x = 0 và x = −5 +√13.http://onluyentoan.vnPhương pháp nhân lượng phối hợp giải những bài toán về phương trình vô tỉ 7(b) tương tự bài trên, ta thấy x = −3 ko là nghiệm của phương trình. Xét x 6= −3, ta cóphương trình tương đương√x2 + 5 =2x2 + 3x+ 1x+ 3⇔√x2 + 5− 3 = 2x2 + 3x+ 1x+ 3− 3⇔ x2 − 4√x2 + 5 + 3=2(x2 − 4)x+ 3⇔x2 − 4 = 01√x2 + 5 + 3=2x+ 3Nếu x2 − 4 = 0 thì ta tất cả x = ±2 cùng hai quý hiếm này vừa lòng phương trình đã cho. Còn vớix2 − 4 6= 0 thì từ chuyển đổi trên, ta có1√x2 + 5 + 3=2x+ 3⇔ x+ 3 = 2√x2 + 5 + 6⇔ x− 3 = 2√x2 + 5⇔{x > 3x2 + 9− 6x = 4(x2 + 5) ⇔{x > 33x2 + 6x+ 11 = 0Rõ ràng không tồn tại giá trị làm sao của x vừa lòng hệ này. Và như thế, ta đi đến kết luận phươngtrình vẫn cho tất cả hai nghiệm là x = −2 và x = 2.Ví dụ 6. Giải những phương trình sau:(a)√x− 1 +√x+ 3 + 2√(x− 1)(x2 − 3x+ 5) = 4− 2x;(b)√x− 1−√x+ 3 + 2√(x− 1)(x2 − 3x+ 5) = −2x;(c)√x− 1 +√x+ 3 + 2√(x− 1)(x2 − 3x+ 5) = 2x.Lời giải. (a) Điều kiện: x > 1. Với đk này, ta dễ dàng thấy:• V T > √x+ 3 > 2 và đẳng thức xẩy ra khi còn chỉ khi x = 1.• V phường 6 2 với đẳng thức cũng xẩy ra khi và chỉ còn khi x = 1.Do vậy, để hoàn toàn có thể xảy ra trường vừa lòng V T = V phường như đã nêu ngơi nghỉ đề bài xích thì ta phải gồm V T = V p. = 2,tức x = 1. Vậy phương trình sẽ cho bao gồm nghiệm tốt nhất x = 1.(b) Điều kiện: x > 1. Ta nhẩm được x = một là nghiệm của phương trình và điều này gợi cho tanghĩ mang đến việc biến đổi phương trình như sau√x− 1−√x+ 3 + 2√(x− 1)(x2 − 3x+ 5) = −2x⇔ √x− 1 + 2√(x− 1)(x2 − 3x+ 5) = √x+ 3− 2x⇔ √x− 1 + 2√(x− 1)(x2 − 3x+ 5) = −(x− 1)(4x+ 3)√x+ 3 + 2x.Ta thấy rằng với x > 1 thì vế trái của phương trình trên là một trong đại lượng ko âm, trongkhi kia vế phải luôn luôn mang quý hiếm 6 0. Do đó, để rất có thể xảy ra được dấu đẳng thức như trênthì cả nhị đại lượng này cần đồng thời bởi 0, tức là x = 1. Vậy x = một là nghiệm duy nhấtcủa phương trình sẽ cho.http://onluyentoan.vn8 Lê Phúc Lữ(c) Điều kiện: x > 1. Biến hóa tương từ như trên, ta được√x− 1 + 2√(x− 1)(x2 − 3x+ 5) = (x− 1)(4x+ 3)√x+ 3 + 2x⇔ √x− 1<1 + 2√x2 − 3x+ 5−√x− 1(4x+ 3)√x+ 3 + 2x>= 0⇔√x− 1 = 01 + 2√x2 − 3x+ 5 =√x− 1(4x+ 3)√x+ 3 + 2xĐến đây, bằng cách giải phương trình đồ vật nhất, ta tìm kiếm được một nghiệm là x = 1. Xét tiếpphương trình thiết bị hai, ta thấy1 + 2√x2 − 3x+ 5 = 1 +√2 > 1 +√2x2 > 1 + x.Mặt khác, theo bất đẳng thức AM-GM thì x = (x− 1) + 1 > 2√x− 1. Bởi vậy, ta có√x− 1(4x+ 3)√x+ 3 + 2x6√x− 1(4x+ 3)2x6x2· (4x+ 3)2x=4x+ 34 2. Ta tất cả phương trình đã cho tương đương với2(x− 3) +(√x+ 6− 3√x− 2)= 0⇔ 2(x− 3) + (x+ 6)− 9(x− 2)√x+ 6 + 3√x− 2 = 0⇔ (x− 3)<1− 4√x+ 6 + 3√x− 2>= 0⇔ 0, ∀x ∈<−13, 6>nên trường hợp thiết bị hai quan trọng xảy ra. Từ đây ta suy ra phương trình đã mang lại chỉ bao gồm mộtnghiệm độc nhất là x = 5.Ví dụ 8. Giải những phương trình và bất phương trình sau:(a) 3√2x+ 2 + 3√2x+ 1 =3√2x2 + 3√2x2 + 1;(b)√3− x+√2 + x = x3 + x2 − 4x− 4 + |x|+ |x− 1|;(c) 2√x2 + x+ 1x+ 4+ x2 − 4 6 2√x2 + 1.Lời giải. (a) Ta thấy rằng ở nhì vế đều có dạng hàm số f(t) = 3√t+ 3√t+ 1 nên hoàn toàn có thể dùngtính đối chọi điệu của hàm số nhằm giải dễ dàng. Ở đây, ta dùng cách thức nhân liên hợp nhằmlàm lộ diện nhân tử tầm thường ở nhì vế. Trước hết, ta viết lại phương trình dưới dạng(3√2x2 + 1− 3√2x+ 2)+(3√2x2 − 3√2x+ 1)= 0.Bằng giải pháp nhân các lượng phối hợp tương ứng, ta có3√2x2 + 1− 3√2x+ 2 = 2x2 − 2x− 13√(2x2 + 1)2 + 3√(2x2 + 1)(2x+ 2) + 3√(2x+ 2)2=2x2 − 2x− 1Avà3√2x2 − 3√2x+ 1 = 2x2 − 2x− 13√(2x2)2 + 3√2x2(2x+ 1) + 3√(2x+ 1)2=2x2 − 2x− 1B.Do đó, phương trình đã cho tương đương với(2x2 − 2x− 1)(1A+1B)= 0.Tuy nhiên, bởi A, B > 0 phải từ đây ta có2x2 − 2x− 1 = 0⇔ x = 1−√32∨ x = 1 +√32.Vậy phương trình sẽ cho có hai nghiệm là x = 1−√32và x = 1+√32.http://onluyentoan.vn10 Lê Phúc Lữ(b) Điều kiện: −2 6 x 6 3. Phương trình đang cho tương đương với(√3− x− |x− 1|)+ (√2 + x− |x|) = x3 + x2 − 4x− 4⇔ −x2 + x+ 2√3− x+ |x− 1| +−x2 + x+ 2√2 + x+ |x| = (x+ 2)(x+ 1)(x− 2)⇔ (2− x)(x+ 1)√3− x+ |x− 1| +(2− x)(x+ 1)√2 + x+ |x| + (x+ 2)(x+ 1)(2− x) = 0⇔ (2− x)(x+ 1)<1√3− x+ |x− 1| +1√2 + x+ |x| + (x+ 2)>= 0.Do 1√3−x+|x−1| +1√2+x+|x| + (x+ 2) > 0, ∀x ∈ <−2, 3> buộc phải từ trên, ta có(2− x)(x+ 1) = 0⇔ x = −1 ∨ x = 2.Vậy phương trình vẫn cho bao gồm hai nghiệm là x = −1 và x = 2.(c) Điều kiện: x > −4. Bất phương trình đang cho tương đương với2(√x2 + x+ 1x+ 4− 1)+ x2 − 3 6 2√x2 + 1− 1⇔ 2 ·x2+x+1x+4− 1√x2+x+1x+4+ 1+ x2 − 3 64x2+1− 12√x2+1+ 1⇔ 2 (x2 − 3)√(x+ 4)(x2 + x+ 1) + x+ 4+ (x2 − 3) + x2 − 3(2 +√x2 + 1)√x2 + 16 0.Và như thế, ta thu được(x2 − 3)<2√(x+ 4)(x2 + x+ 1) + x+ 4+ 1 +1(2 +√x2 + 1)√x2 + 1>6 0.Dễ thấy biểu thức trong lốt ngoặc đồ vật hai luôn dương với đa số x > −4, vì vậy ta rất có thể viếtlại bất phương trình trên thànhx2 − 3 6 0⇔ −√3 6 x 6√3.Kết hợp với điều kiện khẳng định x > −4, ta chiếm được T = <−√3, √3> là tập nghiệm của bấtphương trình đang cho.Nhận xét. Cùng với câu (b) của lấy ví dụ này, ta thấy có xuất hiện thêm thêm những đa thức cất dấu trịtuyệt đối là |x − 1|, |x|. Tưởng chừng vấn đề này sẽ gây trở ngại hơn trong câu hỏi giải quyết, vìphương trình đựng dấu trị hoàn hảo nhất thì thường khó khăn phân tích thành nhân tử. Tuy nhiên nhờ việcsử dụng phương thức nhân lượng liên hợp, bài toán này đã có giải nhanh lẹ và hơi nhẹnhàng. Lúc ấy, ta chỉ việc chuyển các lượng ấy về đúng vị trí cùng sử dụng cách thức nhânlượng phối hợp là đủ.Cách tiếp cận bằng nhân lượng liên hợp chất nhận được ta dám thay đổi các biểu thức một cách tựdo hơn, dễ chịu và thoải mái hơn, không trở nên gò bó những quá ở vấn đề lựa lựa chọn biểu thức thật phù hợp hayđánh giá chỉ như trong số cách khác.