1. Bảng công thức nguyên hàm
a) công thức cơ bản
Phần cơ bản này tất cả 12 công thức nguyên hàm được thu xếp thành bảng dưới đây:
b) Nguyên hàm mũ
Với nguyên hàm của hàm mũ được chia thành 8 phương pháp thuộc 2 nhà đề:
Hàm mũ eHàm mũ
c) Nguyên hàm lượng giác
Bảng bí quyết nguyên hàm vị giác này có 12 công thức liên tục gặp:
d) bí quyết nguyên hàm căn thức
Nguyên hàm của căn thức trước giờ vẫn xem là khó đề xuất trabzondanbak.com đã tuyển lựa chọn những phương pháp thường gặp, tiếp đến sắp xếp trường đoản cú căn bạn dạng tới nâng cao
2. Bài bác tập nguyên hàm
a) bài bác tập tất cả lời giải
Câu 1. Hãy search nguyên hàm $int frac – x^3 + 5x + 24 – x^2dx $
A.$fracx^22 – ln left| 2 – x
ight| + C$.
Bạn đang xem: Nguyên hàm của căn
B. $fracx^22 + ln left| 2 – x ight| + C$.
C. $fracx^33 – ln left| 2 – x ight| + C$.
D. $fracx^33 + ln left| x – 2 ight| + C$.
Lời giải
Chọn A
Vì $frac – x^3 + 5x + 24 – x^2$$ = fracx^3 – 5x – 2x^2 – 4$$ = fracleft( x + 2 ight)left( x^2 – 2x – 1 ight)left( x + 2 ight)left( x – 2 ight)$$ = x – frac1x – 2$
$ = int left( x – frac1x – 2 ight) extdx = fracx^22 – ln left| x – 2 ight| + C$. $ Rightarrow int frac – x^3 + 5x + 24 – x^2 extdx $$ = int left( x – frac1x – 2 ight) extdx $$ = fracx^22 – ln left| x – 2 ight| + C$
Câu 2. Tìm hàm số $f(x)$ biết rằng $f"(x) = ax + fracbx^2$ thỏa mãn nhu cầu $f’left( 1 ight) = 0; ext fleft( 1 ight) = 4; ext fleft( – 1 ight) = 2$
A. $fleft( x ight) = fracx^22 – frac1x – frac52$.
B. $fleft( x ight) = fracx^22 + frac1x + frac52$.
C. $fleft( x ight) = fracx^22 – frac1x + frac52$.
D. $fleft( x ight) = fracx^22 + frac1x – frac52$.
Lời giải
Chọn B
Vì $f’left( 1 ight) = 0 Rightarrow a + b = 0 ext left( 1 ight)$
Ta lại sở hữu $fleft( x ight) = int f’left( x ight) extdx $$ = int left( ax + fracbx^2 ight) extdx $$ = fracax^22 – fracbx + C$
Vì $fleft( 1 ight) = 4$$ Leftrightarrow fraca2 – b + C = 4$$ Leftrightarrow a – 2b + 2C = 8 ext left( 2 ight)$
và $fleft( – 1 ight) = 2 Leftrightarrow fraca2 + b + C = 2 Leftrightarrow a + 2b + 2C = 4 ext left( 3 ight)$
Giải hệ phương trình $left{ eginarrayl a + b = 0\ a – 2b + 2C = 8\ a + 2b + 2C = 4 endarray ight. Leftrightarrow left{ eginarrayl a = 1\ b = – 1\ c = frac52 endarray ight.$
Vậy $fleft( x ight) = fracx^22 + frac1x + frac52$
Câu 3. Quý giá $m,n$ để hàm số $Fleft( x ight) = left( 2m + n ight)x^3 + left( 3m – 2n ight)x^2 – 4x$ là một nguyên hàm của hàm số $fleft( x ight) = 3x^2 + 10x – 4$. Khi ấy $8m – 2n$ là:
A. $6$.
B. $12$.
C. $10$.
D. $ – 2$.
Lời giải
Chọn C
$int left( 3x^2 + 10x – 4 ight)dx = x^3 + 5x^2 – 4x + C $
Khi đó ta gồm $left{ eginarrayl 2m + n = 1\ 3m – 2n = 5\ C = 0 endarray ight. Leftrightarrow left{ eginarrayl m = 1\ n = – 1\ C = 0 endarray ight.$ buộc phải $8m – 2n = 10$.
Câu 4. Tìm kiếm nguyên hàm của hàm số $f(x) = frac2sin ^3x1 + cos x$.
A. $int f(x)dx = frac12cos ^2x – 2cos x + C $.
B. $int f(x)dx = cos ^2x – 2cos x + C $.
C. $int f(x)dx = cos ^2x + cos x + C$.
D. $int f(x)dx = frac12cos ^2x + 2cos x + C $.
Lời giải
Chọn B
$int left( frac2sin ^3x1 + cos x ight)dx $ $ = int left( frac2sin x.sin ^2x1 + cos x ight)dx $ $ = int left( frac2sin xleft( 1 – cos ^2x ight)1 + cos x ight) dx$ $ = 2int sin xleft( 1 – cos x ight)dx $ $ = int 2left( cos x – 1 ight)dleft( cos x ight) $$ = cos ^2x – 2cos x + C$
Câu 5. Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = fraccos ^3xsin ^5x$.
A. $int f(x).dx = frac – cot ^4x4 + C$.
B. $int f(x).dx = fraccot ^4x4 + C$.
C. $int f(x).dx = fraccot ^2x2 + C$.
D. $int f(x).dx = frac an ^4x4 + C$.
Lời giải
Chọn A
$int fraccos ^3xdxsin ^5x $ $ = int cot ^3x.fracdxsin ^2x $ $ = – int cot ^3x.dleft( cot x ight) $ $ = frac – cot ^4x4 + C$
Câu 6. tra cứu nguyên hàm của hàm số: $f(x) = cos 2xleft( sin ^4x + cos ^4x ight)$.
A. $int f(x).dx = sin 2x – frac14sin ^32x + C$
B. $int f(x).dx = frac12sin 2x + frac112sin ^32x + C$.
C. $int f(x).dx = frac12sin 2x – frac112sin ^32x + C$.
D. $int f(x).dx = frac12sin 2x – frac14sin ^32x + C$.
Lời giải
Chọn C
$int cos 2xleft( sin ^4x + cos ^4x ight)dx $ $ = int cos 2xleft< left( sin ^2x + cos ^2x ight) – 2sin ^2x.cos ^2x ight>dx $
$ = int cos 2xleft( 1 – frac12sin ^22x ight)dx $ $ = int cos 2xdx – frac12int sin ^22x.cos 2xdx $ $ = int cos 2xdx – frac14int sin ^22x.dleft( sin 2x ight) $ $ = frac12sin 2x – frac112sin ^32x + C$
Câu 7. Tìm kiếm nguyên hàm của hàm số $f(x) = left( an x + e^2sin x ight)cos x$.
A. $int f(x)dx = – cos x + frac12e^2sin x + C$.
B. $int f(x)dx = cos x + frac12e^2sin x + C$.
C. $int f(x)dx = – cos x + e^2sin x + C$.
D. $int f(x)dx = – cos x – frac12e^2sin x + C$.
Lời giải
Chọn A
$int left( an x + e^2sin x ight)cos xdx $ $ = int sin xdx + int e^2sin xdleft( sin x ight) $ $ = – cos x + frac12e^2sin x + C$
b) bài tập trắc nghiệm nguyên hàm trường đoản cú luyện
Câu 1. Nguyên hàm của hàm số $fleft( x ight) = 2x^3 – 9.$
A. $frac12x^4 – 9x + C.$
B. $4x^4 – 9x + C.$
C. $frac14x^4 + C.$
D. $4x^3 + 9x + C.$
Câu 2. Nguyên hàm của hàm số $fleft( x
ight) = x^2 – frac5x + frac3x^2 – frac13$.
Xem thêm: Tiểu Sử Thúy Ngân Sinh Năm Bao Nhiêu, Tiểu Sử Diễn Viên Lê Huỳnh Thúy Ngân
A. $fracx^33 – 5ln left| x ight| – frac3x – frac13x + C$
B. $fracx^33 – 5ln left| x ight| + frac3x – frac13x + C$
C. $2x^3 – 5ln left| x ight| – frac3x – frac13x + C$
D. $2x – frac5x^2 + frac3xx^4 + C$
Câu 3. Nguyên hàm của hàm số $fleft( x ight) = frac1x^2 – x^2 – frac13$ là:
A. $ – fracx^4 + x^2 + 33x + C$
B. $ – fracx^33 + frac1x – fracx3 + C$
C. $frac – x^4 + x^2 + 33x + C$
D. $ – frac1x – fracx^33 + C$
Câu 4. Nguyên hàm của hàm số $fleft( x ight) = sqrt<3>x$
A. $Fleft( x ight) = frac3sqrt<3>x^24 + C$
B. $Fleft( x ight) = frac3xsqrt<3>x4 + C$
C. $Fleft( x ight) = frac4x3sqrt<3>x + C$
D. $Fleft( x ight) = frac4x3sqrt<3>x^2 + C$
Câu 5. Nguyên hàm của hàm số $fleft( x ight) = frac1xsqrt x $
A. $Fleft( x ight) = frac2sqrt x + C$
B. $Fleft( x ight) = – frac2sqrt x + C$
C. $Fleft( x ight) = fracsqrt x 2 + C$
D. $Fleft( x ight) = – fracsqrt x 2 + C$
Trên đây là các công thức nguyên hàm lớp 11 được biên soạn từ cơ bản tới nâng cao. ước ao làm tốt bài tập tuyệt rút gọn gàng biểu thức thì bài toán học thuộc lòng những cách làm trong bảng bên trên là buộc phải thiết. Khi nhớ đúng mực mỗi công thức, vận dụng nó một phương pháp thuần thục thì giải bài bác tập trở lên trên nhanh, cho công dụng chính xác. Nguyên hàm là loài kiến thức bước đầu học ngơi nghỉ lớp 12, còn bắt đầu lạ, những công thức, bài xích tập phức tạp. Nói là vậy nhưng nếu bạn chăm học, coi kĩ nội dung bài viết này và liên tiếp xem lại những công thức thì nó vẫn trở lên đối kháng giản.