Bài viết trình bày các dạng toán thường gặp gỡ và phương pháp tìm nguyên hàm của các hàm số chứa căn thức (hàm số vô tỉ), đấy là dạng toán rất thông dụng trong chương trình Giải tích 12 chương 3.
Bạn đang xem: Nguyên hàm của căn bậc 2
Để tìm kiếm nguyên hàm của các hàm số cất căn thức (hàm số vô tỉ) ta bắt buộc linh hoạt lựa lựa chọn một trong các cách thức cơ bản sau:1. Cách thức tam thức bậc hai.2. Cách thức phân tích.3. Phương thức đổi biến.4. Phương thức nguyên hàm từng phần.5. Sử dụng các cách thức khác nhau.Sau đây chúng ta cùng đi để ý từng dạng.
Dạng toán 1: tra cứu nguyên hàm những hàm số chứa căn thức (hàm số vô tỉ) dựa trên tam thức bậc hai.Trên đại lý đưa tam thức bậc hai về dạng thiết yếu tắc với dùng các công thức sau:1. $int fracxdxsqrt x^2 pm a = sqrt x^2 pm a + C.$2. $int fracdxsqrt x^2 pm a = ln left| x + sqrt x^2 pm a ight| + C.$3. $int sqrt x^2 pm a dx$ $ = fracx2sqrt x^2 pm a $ $ pm fraca2ln left| x + sqrt x^2 pm a ight|$ $ + C.$
Ví dụ 1: tìm nguyên hàm những hàm số cất căn thức sau:a) $int fracxdxsqrt x^2 + 1 .$b) $int frac(2x + 1)dxsqrt 2x^2 + 2x .$
a) Ta hoàn toàn có thể lựa chọn những cách trình bày sau:Cách 1: Ta biến đổi: $int fracxdxsqrt x^2 + 1 $ $ = int fracdleft( x^2 + 1 ight)2sqrt x^2 + 1 $ $ = sqrt x^2 + 1 + C.$Cách 2: Đặt $u = x^2 + 1$, suy ra: $du = 2xdx$ $ Leftrightarrow xdx = frac12du.$Từ đó: $int fracxdxsqrt x^2 + 1 $ $ = int fracdu2sqrt u $ $ = sqrt u + C$ $ = sqrt x^2 + 1 + C.$Cách 3: Đặt $u = sqrt x^2 + 1 $, suy ra: $u^2 = x^2 + 1$ $ Rightarrow 2udu = 2xdx$ $ Leftrightarrow xdx = udu.$Từ đó: $int fracxdxsqrt x^2 + 1 = int fracuduu $ $ = int du = u + C$ $ = sqrt x^2 + 1 + C.$b) Ta có thể lựa chọn các cách trình diễn sau:Cách 1: Ta trở thành đổi: $int frac(2x + 1)dxsqrt 2x^2 + 2x $ $ = int fracdleft( 2x^2 + 2x ight)2sqrt 2x^2 + 2x $ $ = sqrt 2x^2 + 2x + C.$Cách 2: Đặt $u = 2x^2 + 2x$, suy ra: $du = (4x + 2)dx$ $ = 2(2x + 1)dx$ $ Leftrightarrow (2x + 1)dx = frac12du.$Từ đó: $int frac(2x + 1)dxsqrt 2x^2 + 2x $ $ = int fracdu2sqrt u $ $ = sqrt u + C$ $ = sqrt 2x^2 + 2x + C.$Cách 3: Đặt: $u = sqrt 2x^2 + 2x $, suy ra: $u^2 = 2x^2 + 2x$ $ Rightarrow 2udu = (4x + 2)dx$ $ = 2(2x + 1)dx$ $ Leftrightarrow (2x + 1)dx = udu.$Từ đó: $int frac(2x + 1)dxsqrt 2x^2 + 2x $ $ = int fracuduu $ $ = int d u = u + C$ $ = sqrt 2x^2 + 2x + C.$
Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm những hàm số chứa căn thức sau:a) $f(x) = frac1sqrt x^2 – a .$b) $f(x) = frac1sqrt x^2 – x – 1 .$
a) Đặt $t = x + sqrt x^2 – a $, suy ra: $dt = left( 1 + fracxsqrt x^2 – a ight)dx$ $ = fracsqrt x^2 – a + xsqrt x^2 – a dx$ $ = fractdxsqrt x^2 – a $ $ Leftrightarrow fracdxsqrt x^2 – a = fracdtt.$Khi đó: $int f (x)dx$ $ = int fracdxsqrt x^2 – a $ $ = int fracdtt $ $ = ln |t| + C$ $ = ln left| x + sqrt x^2 – a ight| + C.$b) Ta có thể lựa chọn các cách trình bày sau:Cách 1: Ta có: $int f (x)dx$ $ = int fracdxsqrt x^2 – x – 1 $ $ = int fracdxsqrt left( x – frac12 ight)^2 – frac54 .$Đặt $t = x – frac12$ $ Rightarrow dt = dx.$Khi đó: $int f (x)dx$ $ = int fracdtsqrt t^2 – frac54 $ $ = ln left| t + sqrt t^2 – frac54 ight| + C$ $ = ln left| x – frac12 + sqrt x^2 – x – 1 ight| + C.$Cách 2: Ta có: $int f (x)dx$ $ = int fracdxsqrt x^2 – x – 1 $ $ = int fracdxsqrt left( x – frac12 ight)^2 – frac54 .$Đặt $t = x – frac12 + sqrt x^2 – x – 1 $, suy ra: $dt = left( 1 + frac2x – 12sqrt x^2 – x – 1 ight)dx$ $ = left( 1 + fracx – frac12sqrt x^2 – x – 1 ight)dx$ $ = fracleft( sqrt x^2 – x – 1 + x – frac12 ight)dxsqrt x^2 – x – 1 $ $ Leftrightarrow fracdxsqrt x^2 – x – 1 = fracdtt.$Khi đó: $int f (x)dx$ $ = int fracdxsqrt x^2 – x – 1 $ $ = int fracdtt $ $ = ln |t| + C$ $ = ln left| x – frac12 + sqrt x^2 – x – 1 ight| + C.$
Ví dụ 3: Biết rằng $int fracdxsqrt x^2 + 3 $ $ = ln left( x + sqrt x^2 + 3 ight) + C.$ tra cứu nguyên hàm: $I = int sqrt x^2 + 3 dx.$
Sử dụng phương thức nguyên hàm từng phần bằng phương pháp đặt:$left{ eginarray*20lu = sqrt x^2 + 3 \dv = dxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarray*20ldu = fracxsqrt x^2 + 3 dx\v = xendarray ight.$Khi đó: $I = xsqrt x^2 + 3 – int fracx^2dxsqrt x^2 + 3 $ $ = xsqrt x^2 + 3 – int fracleft( x^2 + 3 – 3 ight)dxsqrt x^2 + 3 $ $ = xsqrt x^2 + 3 $ $ – int sqrt x^2 + 3 dx$ $ + int frac3dxsqrt x^2 + 3 .$$ Leftrightarrow 2I = xsqrt x^2 + 3 $ $ + 3ln left( x + sqrt x^2 + 3 ight) + C.$$ Leftrightarrow I = frac12xsqrt x^2 + 3 $ $ + frac32ln left( x + sqrt x^2 + 3 ight) + C.$Chú ý: Với các em học viên đã kinh nghiệm tay nghề trong vấn đề tính nguyên hàm có thể trình bày theo phong cách sau:$sqrt x^2 + 3 $ $ = frac12 cdot frac2x^2 + 6sqrt x^2 + 3 $ $ = frac12 cdot left( sqrt x^2 + 3 + fracx^2sqrt x^2 + 3 ight)$ $ + frac32 cdot frac1sqrt x^2 + 3 $ $ = frac12 cdot left( xsqrt x^2 + 3 ight)^prime + frac32 cdot frac1sqrt x^2 + 3 .$Khi đó: $I = frac12int left( xsqrt x^2 + 3 ight)^prime dx$ $ + frac32int fracdxsqrt x^2 + 3 $ $ = frac12xsqrt x^2 + 3 $ $ + frac32ln left( x + sqrt x^2 + 3 ight) + C.$
Ví dụ 4: search nguyên hàm của hàm số $f(x) = fracx^2sqrt x^2 + 1 .$
Ta có: $int f (x)dx$ $ = int fracx^2dxsqrt x^2 + 1 $ $ = int fracleft< left( x^2 + 1 ight) – 1 ight>dxsqrt x^2 + 1 $ $ = int left( sqrt x^2 + 1 – frac1sqrt x^2 + 1 ight)dx $ $ = int sqrt x^2 + 1 dx$ $ – int fracdxsqrt x^2 + 1 $ $ = fracx2sqrt x^2 + 1 $ $ + frac12ln left| x + sqrt x^2 + 1 ight|$ $ – ln left| x + sqrt x^2 + 1 ight| + C$ $ = fracx2sqrt x^2 + 1 $ $ – frac12ln left| x + sqrt x^2 + 1 ight| + C.$
Dạng 2: tra cứu nguyên hàm của hàm số $f(x) = sqrt fracx – ax + a $, với $a > 0.$ Ta rất có thể lựa lựa chọn 1 trong hai phương pháp sau:Cách 1: do điều kiện: $fracx – ax + a ge 0$ $ Leftrightarrow left< {eginarray*20lx ge a\x endarray ight.$ cần ta xét hai trường hợp:Trường hòa hợp 1: Với $x ge a$ thì:$int f (x)dx$ $ = int sqrt fracx – ax + a dx$ $ = int frac(x – a)dxsqrt x^2 – a^2 $ $ = int frac2xdx2sqrt x^2 – a^2 – aint fracdxsqrt x^2 – a^2 $ $ = sqrt x^2 – a^2 $ $ – ln left| x + sqrt x^2 – a^2 ight| + C.$Trường hòa hợp 2: Với $x $int f (x)dx$ $ = int sqrt fracx – ax + a dx$ $ = – int frac(x – a)dxsqrt x^2 – a^2 $ $ = – int frac2xdx2sqrt x^2 – a^2 $ $ + aint fracdxsqrt x^2 – a^2 $ $ = – sqrt x^2 – a^2 $ $ + ln left| x + sqrt x^2 – a^2 ight| + C.$Cách 2: Đặt: $t = sqrt fracx – ax + a $ $ Rightarrow t^2 = fracx – ax + a$ $ Rightarrow x = fracaleft( 1 + t^2 ight)1 – t^2$ $ Rightarrow dx = frac4atdtleft( 1 – t^2 ight)^2.$Khi đó: $int f (x)dx$ $ = int sqrt fracx – ax + a dx$ $ = int frac4at^2dtleft( 1 – t^2 ight)^2 $ $ = 4aint fracleft< left( t^2 – 1 ight) + 1 ight>dtleft( t^2 – 1 ight)^2 $ $ = 4aleft< underbrace int fracdtt^2 – 1 _I_1 + underbrace int fracdtleft( t^2 – 1 ight)^2 _1_2 ight>.$Các nguyên hàm $I_1$ cùng $I_2$ họ đã biết phương pháp giải.
Ví dụ: kiếm tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = sqrt fracx – 1x + 1 .$
Vì điều kiện $fracx – 1x + 1 ge 0$ $ Leftrightarrow left< {eginarray*20lx ge 1\x endarray ight.$, ta xét nhì trường hợp:Trường hòa hợp 1: Với $x ge 1$ thì:$int f (x)dx$ $ = int sqrt fracx – 1x + 1 dx$ $ = int frac(x – 1)dxsqrt x^2 – 1 $ $ = int frac2xdx2sqrt x^2 – 1 – int fracdxsqrt x^2 – 1 $ $ = sqrt x^2 – 1 $ $ – ln left| x + sqrt x^2 – 1 ight| + C.$Trường phù hợp 2: Với $x $int f (x)dx$ $ = int sqrt fracx – 1x + 1 dx$ $ = – int frac(x – 1)dxsqrt x^2 – 1 $ $ = – int frac2xdx2sqrt x^2 – 1 + int fracdxsqrt x^2 – 1 $ $ = – sqrt x^2 – 1 $ $ + ln left| x + sqrt x^2 – 1 ight| + C.$
Dạng 3: kiếm tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = fracdxsqrt ax + b + sqrt ax + c $, với $a e 0$ và $b – c e 0.$ Khử tính vô tỉ ở mẫu số bằng cách trục căn thức, ta được:$I = frac1b – cint (sqrt ax + b + sqrt ax + c ) dx$ $ = frac1a(b – c)left< int (ax + b)^1/2 d(ax + b) + int (ax + c)^1/2 d(ax + c) ight>$ $ = frac23a(b – c)left< sqrt (ax + b)^3 + sqrt (ax + c)^3 ight> + C.$
Ví dụ 1: kiếm tìm nguyên hàm của hàm số: $f(x) = an x + frac1sqrt 2x + 1 + sqrt 2x – 1 .$
Ta có: $int f (x)dx$ $ = int left( an x + frac1sqrt 2x + 1 + sqrt 2x – 1 ight) dx$ $ = int fracsin xdxcos x $ $ + int fracsqrt 2x + 1 – sqrt 2x – 1 2 dx$ $ = – ln |cos x|$ $ + frac13left< (2x + 1)^3/2 – (2x – 1)^3/2 ight> + C.$
Ví dụ 2: tìm kiếm nguyên hàm của hàm số: $f(x) = frac2xx + sqrt x^2 – 1 .$
Ta rất có thể lựa chọn một trong hai cách giải sau:Cách 1: (Sử dụng cách thức biến đổi): Ta có:$int f (x)dx$ $ = int frac2xx + sqrt x^2 – 1 dx$ $ = int frac2xleft( x – sqrt x^2 – 1 ight)x^2 – x^2 + 1 dx$ $ = int 2 x^2dx – int 2 xsqrt x^2 – 1 dx$ $ = frac23x^3 – int sqrt x^2 – 1 dleft( x^2 – 1 ight) + C$ $ = frac23x^3 – frac23sqrt left( x^2 – 1 ight)^3 + C.$Cách 2: (Sử dụng phương pháp đổi đổi mới số): Đặt $t = x + sqrt x^2 – 1 $ ta có:$t – x = sqrt x^2 – 1 $ $ Rightarrow x = fract^2 + 12t$ $ Rightarrow dx = fract^2 – 12t^2dt.$Khi đó: $int f (x)dx$ $ = int frac2xdxx + sqrt x^2 – 1 $ $ = int frac2 cdot fract^2 + 12t cdot fract^2 – 12t^2dtt $ $ = int fracleft( t^4 – 1 ight)dt2t^4 $ $ = frac12int left( 1 – frac1t^4 ight) dt$ $ = frac12left( t + frac13t^3 ight) + C$ $ = frac12left( x + sqrt x^2 – 1 ight)$ $ + frac16left( x + sqrt x^2 – 1 ight)^3 + C.$
Dạng 4: search nguyên hàm của hàm số đựng căn thức (hàm số vô tỉ) bằng phương pháp sử dụng các đồng hóa thức.Ví dụ: kiếm tìm nguyên hàm của hàm số: $f(x) = fracxsqrt<10>x + 1.$
Sử dụng đồng điệu thức $x = x + 1 – 1$, ta được: $f(x) = fracx + 1 – 1sqrt<10>x + 1$ $ = (x + 1)^9/10 – (x + 1)^ – 1/10.$Do đó: $int f (x)dx$ $ = int left< (x + 1)^9/10 – (x + 1)^ – 1/10 ight> dx$ $ = frac1019(x + 1)^19/10$ $ – frac109(x + 1)^9/10 + C.$
Dạng 5: tra cứu nguyên hàm của hàm số: $f(x) = fracv(x)dxsqrt u^2(x) pm alpha .$Ta tiến hành theo công việc sau:Bước 1: Phân tích: $fracv(x)sqrt u^2(x) + alpha $ $ = fracaleft< u^2(x) + alpha ight>sqrt u^2(x) + alpha $ $ + fracbu(x)sqrt u^2(x) + alpha $ $ + fraccsqrt u^2(x) + alpha .$Sử dụng cách thức hằng số bất định ta khẳng định được $a,b,c.$Bước 2: Áp dụng các công thức:1. $int fracxdxsqrt x^2 pm a $ $ = sqrt x^2 pm a + C.$2. $int fracdxsqrt x^2 pm a $ $ = ln left| x + sqrt x^2 pm a ight| + C.$3. $int sqrt x^2 pm a dx$ $ = fracx2sqrt x^2 pm a $ $ pm fraca2ln left| x + sqrt x^2 pm a ight| + C.$
Ví dụ: kiếm tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = frac2x^2 + 1sqrt x^2 + 2x .$
Ta có: $frac2x^2 + 1sqrt x^2 + 2x $ $ = frac2x^2 + 1sqrt (x + 1)^2 – 1 $ $ = fracaleft< (x + 1)^2 – 1 ight>sqrt (x + 1)^2 – 1 $ $ + fracb(x + 1)sqrt (x + 1)^2 – 1 $ $ + fraccsqrt (x + 1)^2 – 1 $ $ = fracax^2 + (2a + b)x + b + csqrt x^2 + 2x .$Đồng duy nhất đẳng thức, ta được:$left{ eginarray*20la = 2\2a + b = 0\b + c = 1endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20la = 2\b = – 4\c = 5endarray ight.$Khi đó: $frac2x^2 + 1sqrt x^2 + 2x $ $ = 2sqrt (x + 1)^2 – 1 $ $ – frac4(x + 1)sqrt (x + 1)^2 – 1 $ $ + frac5sqrt (x + 1)^2 – 1 .$Do đó: $int f (x)dx$ $ = int left< 2sqrt (x + 1)^2 – 1 – frac4(x + 1)sqrt (x + 1)^2 – 1 + frac5sqrt (x + 1)^2 – 1 ight> dx$ $ = (x + 1)sqrt x^2 + 2x $ $ – ln left| x + 1 + sqrt x^2 + 2x ight|$ $ – 4sqrt x^2 + 2x $ $ + 5ln left| x + 1 + sqrt x^2 + 2x ight| + C$ $ = (x + 1)sqrt x^2 + 2x $ $ + 4ln left| x + 1 + sqrt x^2 + 2x ight|$ $ – 4sqrt x^2 + 2x + C.$
Dạng 6: (Phương pháp đổi biến) tra cứu nguyên hàm của hàm số: $f(x) = frac1sqrt (x + a)(x + b) .$ Ta xét nhì trường hợp:Trường thích hợp 1: Với: $left{ eginarray*20lx + a > 0\x + b > 0endarray
ight.$Đặt $t = sqrt x + a + sqrt x + b $, suy ra: $dt = left( frac12sqrt x + a + frac12sqrt x + b
ight)dx$ $ = frac(sqrt x + a + sqrt x + b )dx2sqrt (x + a)(x + b) .$$ Leftrightarrow fracdxsqrt (x + a)(x + b) = frac2dtt.$Khi đó: $int f (x)dx$ $ = 2int fracdtt $ $ = 2ln |t| + C$ $ = 2ln |sqrt x + a + sqrt x + b | + C.$Trường phù hợp 2: Với: $left{ {eginarray*20l{x + a x + b endarray
ight.$Đặt $t = sqrt – (x + a) + sqrt – (x + b) $, suy ra: $dt = left< – frac12sqrt – (x + a) – frac12sqrt – (x + b)
ight>dx$ $ = – frac
Ví dụ: tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = frac1sqrt x^2 – 5x + 6 .$
Biến thay đổi $I$ về dạng: $int f (x)dx$ $ = int fracdxsqrt (x – 2)(x – 3) .$Ta xét nhị trường hợp:Trường hợp 1: Với: $left{ eginarray*20lx – 2 > 0\x – 3 > 0endarray
ight.$ $ Leftrightarrow x > 3.$Đặt $t = sqrt x – 2 + sqrt x – 3 $, suy ra: $dt = left( frac12sqrt x – 2 + frac12sqrt x – 3
ight)dx$ $ = frac(sqrt x – 2 + sqrt x – 3 )dx2sqrt (x – 2)(x – 3) .$$ Leftrightarrow fracdxsqrt (x – 2)(x – 3) = frac2dtt.$Khi đó: $int f (x)dx$ $ = 2int fracdtt $ $ = 2ln |t| + C$ $ = 2ln |sqrt x – 2 + sqrt x – 3 | + C.$Trường đúng theo 2: Với $left{ {eginarray*20l{x – 2 x – 3 endarray
ight.$ $ Leftrightarrow x Đặt $t = sqrt 2 – x + sqrt 3 – x $, suy ra: $dt = left< – frac12sqrt 2 – x – frac12sqrt 3 – x
ight>dx$ $ = – frac
Dạng 7: (Phương pháp thay đổi biến): tra cứu nguyên hàm của hàm số: $I = int R left( x,sqrt a^2 – x^2 ight)dx$ với $a > 0.$Ta triển khai theo công việc sau:Bước 1: Đặt $left< eginarray*20lx = \aendarray ight.$ (hoặc bao gồm thể $t = x + sqrt a^2 – x^2 $).Bước 2: bài toán được đưa về $I = int S (sin t,cos t)dt.$
Ví dụ: tìm kiếm nguyên hàm của hàm số $f(x) = fracx^3sqrt 1 – x^2 .$
Ta có thể trình bày theo hai cách sau:Cách 1: Đặt $x = sin t$, $ – fracpi 2 lúc đó: $int f (x)dx$ $ = frac14int (3sin t – sin 3t) dt$ $ = – frac34cos t + frac112cos 3t + C$ $ = – frac34cos t + frac112left( 4cos ^3t – 3cos t ight) + C$ $ = frac13cos ^3t – cos t + C$ $ = left( frac13cos ^2t – 1 ight)cos t + C$ $ = left< frac13left( 1 – sin ^2t ight) – 1 ight>cos t + C$ $ = left< frac13left( 1 – x^2 ight) – 1 ight>sqrt 1 – x^2 + C$ $ = – frac13left( x^2 + 2 ight)sqrt 1 – x^2 + C.$Chú ý: trong số giải trên ta có: $ – fracpi 2 0$ $ Rightarrow left{ eginarray*20lsqrt cos ^2t = cos t\cos t = sqrt 1 – sin ^2t = sqrt 1 – x^2 endarray ight.$Cách 2: Đặt $t = sqrt 1 – x^2 $, suy ra: $x^2 = 1 – t^2$, từ bỏ đó: $2xdx = – 2tdt$ và $fracx^3dxsqrt 1 – x^2 $ $ = fracx^2xdxsqrt 1 – x^2 $ $ = fracleft( 1 – t^2 ight)( – tdt)t$ $ = left( t^2 – 1 ight)dt.$Khi đó: $int f (x)dx$ $ = int left( t^2 – 1 ight) dt$ $ = frac13t^3 – t + C$ $ = frac13left( t^2 – 3 ight)t + C$ $ = – frac13left( x^2 + 2 ight)sqrt 1 – x^2 + C.$
Dạng 8: (Phương pháp đổi biến) search nguyên hàm của hàm số: $I = int R left( x,sqrt a^2 + x^2 ight)dx$, với $a > 0.$Ta tiến hành theo công việc sau:Bước 1: Đặt $left< {eginarray*20l{x = |a| an t: mvới: – fracpi 2 cot t: mvới:0 endarray ight.$ (hoặc bao gồm thể $t = x + sqrt a^2 + x^2 $).Bước 2: việc được đưa về $I = int S (sin t,cos t)dt.$
Ví dụ: tìm kiếm nguyên hàm của hàm số $f(x) = sqrt 1 + x^2 .$
Ta có thể trình bày theo hai bí quyết sau:Cách 1: Đặt $x = an t$, $ – fracpi 2 khi đó: $int f (x)dx$ $ = int fracdtcos ^3t $ $ = int fraccos tdtcos ^4t $ $ = int fraccos tdtleft( 1 – sin ^2t ight)^2 .$Đặt $u = sin t$, suy ra: $du = cos tdt$ và $frac m cos tdt m left( 1 – sin ^2t ight)^2$ $ = fracdu(u + 1)^2(u – 1)^2.$Khi đó: $int f (x)dx$ $ = int fracdu(u + 1)^2(u – 1)^2 $ $ = frac14left< ln left ight> + C$ $ = frac14left< fracsin t + 1sin t – 1 ight ight> + C$ $ = frac14left< – frac2fracxsqrt 1 + x^2 left( fracxsqrt 1 + x^2 + 1 ight)left( fracxsqrt 1 + x^2 – 1 ight) ight> + C$ $ = frac14left( + 2xsqrt 1 + x^2 ight) + C$ $ = frac14left( x + sqrt 1 + x^2 ight ight) + C$ $ = frac12left( x + sqrt 1 + x^2 ight ight) + C.$Cách 2: Đặt $t = x + sqrt 1 + x^2 $, suy ra: $t – x = sqrt 1 + x^2 $ $ Rightarrow (t – x)^2 = 1 + x^2$ $ Rightarrow x = fract^2 – 12t.$$ Rightarrow sqrt 1 + x^2 $ $ = t – fract^2 – 12t$ $ = fract^2 + 12t.$$ Rightarrow dt = left( 1 + fracxsqrt 1 + x^2 ight)dx$ $ = fracx + sqrt 1 + x^2 sqrt 1 + x^2 dx$ $ = frac2t^2t^2 + 1dx$ $ Leftrightarrow dx = fract^2 + 12t^2dt$, $sqrt 1 + x^2 dx$ $ = fract^2 + 12t cdot fract^2 + 12t^2dt$ $ = frac14fracleft( t^2 + 1 ight)^2t^3dt$ $ = frac14left( t + frac2t + frac1t^3 ight)dt.$Khi đó: $int f (x)dx$ $ = frac14int left( t + frac2t + frac1t^3 ight) dt$ $ = frac14left( – frac12t^2 ight) + C$ $ = frac18left< ight> + C$ $ = frac18left< ight> + C$ $ = frac12left( + xsqrt 1 + x^2 ight) + C.$Cách 3: (Sử dụng phương pháp tích phân từng phần).Đặt $left{ eginarray*20lu = sqrt x^2 + 1 \dv = dxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarray*20ldu = fracxdxsqrt x^2 + 1 \v = xendarray ight.$Khi đó: $I = int f (x)dx$ $ = xsqrt x^2 + 1 – int fracx^2dxsqrt x^2 + 1 .$Trong đó: $int fracx^2dxsqrt x^2 + 1 $ $ = int fracleft< left( x^2 + 1 ight) – 1 ight>dxsqrt x^2 + 1 $ $ = int sqrt x^2 + 1 dx – int fracdxsqrt x^2 + 1 $ $ = I – ln left| x + sqrt x^2 + 1 ight| + C.$Vậy: $I = xsqrt x^2 + 1 $ $ – left( I – aln left ight).$$ Leftrightarrow 2I = xsqrt x^2 + 1 + ln left| x + sqrt x^2 + 1 ight| + C.$$ Leftrightarrow I = fracx2sqrt x^2 + 1 + frac12ln left| x + sqrt x^2 + 1 ight| + C.$Chú ý:1. Trong cách giải thứ nhất sở dĩ ta có: $sqrt 1 + x^2 = frac1cos t$ và $sin t = fracxsqrt 1 + x^2 $ là bởi $ – fracpi 2 0$ $ Rightarrow left{ eginarray*20lsqrt cos ^2t = cos t\sin t = an t.cos t = fracxsqrt 1 + x^2 endarray ight.$2. Cả ba phương pháp trên (tốt độc nhất là phương pháp 2) được áp dụng để tìm các nguyên hàm:$int sqrt x^2 + a dx$ $ = fraca2ln left| x + sqrt x^2 + a ight|$ $ + fracx2sqrt x^2 + a + C.$$int fracdxsqrt x^2 + a $ $ = ln left| x + sqrt x^2 + a ight| + C.$3. Với nguyên hàm $int fracdxsqrt left( a^2 + x^2 ight)^2k + 1 $, với $k in Z$ tốt nhất là sử dụng phương pháp 1.4. Cùng với nguyên hàm $I = int sqrt (x + a)(x + b) dx$ ta hoàn toàn có thể thực hiện nay như sau:Đặt $t = x + fraca + b2$ và $A = – frac(b – a)^24$, suy ra: $dt = dx$ và $sqrt (x + a)(x + b) dx$ $ = sqrt t^2 + A dt.$Khi đó: $I = int sqrt t^2 + A dt$ $ = fracA2ln left| t + sqrt t^2 + A ight|$ $ + fract2sqrt t^2 + A + C$ $ = – frac(b – a)^28ln left| x + fraca + b2 + sqrt (x + a)(x + b) ight|$ $ + frac2x + a + b4sqrt (x + a)(x + b) + C.$
Dạng 9: (Phương pháp thay đổi biến): search nguyên hàm của hàm số: $I = int R left( x,sqrt x^2 – a^2 ight)dx$, với $a > 0.$Ta tiến hành theo công việc sau:Bước 1: Đặt $left< eginarray*20lx = fracasin t: mvới:t in left< – fracpi 2,fracpi 2 ight>ackslash 0 \x = fracacos t: mvới:t in <0,pi >ackslash left fracpi 2 ight\endarray ight.$ (hoặc có thể $t = sqrt x^2 – a^2 .$Bước 2: việc được chuyển về $I = int S (sin t,cos t)dt.$
Ví dụ: tìm kiếm nguyên hàm của hàm số $f(x) = fracx2x^2 – 1 + 3sqrt x^2 – 1 .$
Ta hoàn toàn có thể trình bày theo hai phương pháp sau:Cách 1: Đặt $t = sqrt x^2 – 1 $ thì $t^2 = x^2 – 1$, suy ra: $2tdt = 2xdx$ và $fracxdx2x^2 – 1 + 3sqrt x^2 – 1 $ $ = fracxdx2left( x^2 – 1 ight) + 3sqrt x^2 – 1 + 1$ $ = frac m tdt m 2t^2 + 3t + 1.$Khi đó: $int f (x)dx = int fractdt2t^2 + 3t + 1 .$Ta có: $frac12t^2 + 3t + 1$ $ = fract(2t + 1)(t + 1)$ $ = fraca2t + 1 + fracbt + 1$ $ = frac(a + 2b)t + a + b(2t + 1)(t + 1).$Đồng duy nhất đẳng thức, ta được: $left{ eginarray*20la + 2b = 1\a + b = 0endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20la = – 1\b = 1endarray ight.$Khi đó: $fract2t^2 + 3t + 1$ $ = – frac12t + 1 + frac1t + 1.$Do đó: $int f (x)dx$ $ = int left( – frac12t + 1 + frac1t + 1 ight) dt$ $ = – frac12ln |2t + 1| + ln |t + 1| + C$ $ = frac12ln frac(t + 1)^22t + 1 + C$ $ = frac12ln fracleft( sqrt x^2 – 1 + 1 ight)^22sqrt x^2 – 1 + 1 + C.$Cách 2: vì điều kiện $|x| > 1$, ta xét hai trường hợp:Trường hòa hợp 1: Với $x > 1$ thì đặt $x = frac1cos t$, $t in left< 0;fracpi 2 ight)$ suy ra $dx = fracsin tdtcos ^2t.$Khi đó: $I = int f (x)dx$ $ = int fracxdx2x^2 – 1 + 3sqrt x^2 – 1 $ $ = int fracfrac1cos t cdot fracsin tcos ^2tdtfrac2cos ^2t – 1 + 3 an t $ $ = int fracleft( 1 + an ^2t ight) an tdt2left( 1 + an ^2t ight) – 1 + 3 an t $ $ = int fracleft( 1 + an ^2t ight) an tdt2 an ^2t + 3 an t + 1 .$Đặt $u = an t$ suy ra: $du = fracdtcos ^2t = left( 1 + an ^2t ight)dt.$Khi đó: $I = int fracudu2u^2 + 3u + 1 $ $ = int left( – frac12u + 1 + frac1u + 1 ight) du$ $ = – frac12ln |2u + 1| + ln |u + 1| + C$ $ = frac12ln frac(u + 1)^2 + C$ $ = frac12ln frac( an t + 1)^22 an t + 1 + C$ $ = frac12ln fracleft( sqrt x^2 – 1 + 1 ight)^22sqrt x^2 – 1 + 1 + C.$Trường vừa lòng 2: Với $x Dạng 10: (Phương pháp đổi biến) tra cứu nguyên hàm của hàm số: $I = int R left( x,sqrt (x – a)(b – x) ight)dx.$Ta tiến hành theo công việc sau:Bước 1: Đặt $x = a + (b – a)sin ^2t.$Bước 2: bài toán được gửi về $I = int S (sin t,cos t)dt.$
Ví dụ: search nguyên hàm của hàm số: $f(x) = frac1sqrt <(x – a)(b – x)>^3 $ với $a khi đó: $int f (x)dx$ $ = frac1(b – a)^2int fracdtsin ^22t $ $ = – fraccot 2t2(b – a)^2 + C$ $ = – fraca + b – 2x2sqrt (x – a)(b – x) + C.$
Dạng 11: (Phương pháp đổi biến): kiếm tìm nguyên hàm của hàm số: $I = int R left( x,sqrt ax^2 + bx + c ight)dx.$Ta hoàn toàn có thể lựa lựa chọn một trong hai phương pháp sau:Cách 1: (Đưa $I$ về những dạng nguyên hàm cơ bạn dạng đã biết): Ta xét những trường vừa lòng sau:Trường hòa hợp 1: Nếu $a > 0$ và $Delta Bước 1: Ta có: $ax^2 + bx + c$ $ = – fracDelta 4aleft< 1 + left( frac2ax + bsqrt – Delta ight)^2 ight>.$Bước 2: tiến hành phép thay đổi biến: $t = frac2ax + bsqrt – Delta .$Bước 3: bài toán được đưa về $I = int S left( t,sqrt 1 + t^2 ight)dt.$Trường phù hợp 2: Nếu $a 0$ thì ta triển khai theo các bước:Bước 1: Ta có: $ax^2 + bx + c$ $ = – fracDelta 4aleft< 1 – left( frac2ax + bsqrt Delta ight)^2 ight>.$Bước 2: tiến hành phép thay đổi biến: $t = frac2ax + bsqrt Delta .$Bước 3: bài toán được chuyển về $I = int S left( t,sqrt 1 – t^2 ight)dt.$Trường đúng theo 3: Nếu $a > 0$ và $Delta > 0$ thì ta triển khai theo những bước:Bước 1: Ta có: $ax^2 + bx + c$ $ = fracDelta 4aleft< left( frac2ax + bsqrt Delta ight)^2 – 1 ight>.$Bước 2: triển khai phép đổi thay đổi: $t = frac2ax + bsqrt Delta .$Bước 3: việc được gửi về $I = int S left( t,sqrt t^2 – 1 ight)dt.$Cách 2: (Sử dụng phép núm Euler): Ta xét các trường hòa hợp sau:1. Nếu $a > 0$, đặt $sqrt ax^2 + bx + c = t – xsqrt a $ hoặc $t + xsqrt a .$2. Nếu $c > 0$, đặt $sqrt ax^2 + bx + c = tx + sqrt c $ hoặc $tx – sqrt c .$3. Giả dụ tam thức $ax^2 + bx + c$ gồm biệt số $Delta > 0$ thì: $ax^2 + bx + c$ $ = aleft( x – x_1 ight)left( x – x_2 ight).$ khi ấy đặt $sqrt ax^2 + bx + c = tleft( x – x_1 ight).$
Ví dụ: kiếm tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = sqrt x^2 + 2x + 2 .$
Sử dụng phép thay đổi biến $t = x + 1$ suy ra $dt = dx.$Khi đó: $I = int sqrt t^2 + 1 dt.$ Tích phân này bọn họ biết biết phương pháp xác định.
Dạng 12: search nguyên hàm của hàm số: $f(x) = fracdx(lambda x + mu )sqrt ax^2 + bx + c .$Ta tiến hành theo các bước sau:Bước 1: Đặt $t = frac1lambda x + mu .$Bước 2: bài toán được đưa về $I = int fracdtsqrt alpha t^2 + eta t + gamma .$Chú ý: phương pháp trên hoàn toàn có thể được vận dụng cho dạng tổng thể hơn là: $I = int frac(Ax + B)dx(lambda x + mu )^nsqrt ax^2 + bx + c .$
Ví dụ: tra cứu nguyên hàm của hàm số: $f(x) = frac1(x + 1)sqrt x^2 + 2x + 2 .$
Đặt $t = frac1x + 1$ thì $x = frac1t – 1$ suy ra: $dx = – frac1t^2dt$, $fracdx(x + 1)sqrt x^2 + 2x + 2 $ $ = fractleft( – frac1t^2 ight)dtsqrt frac1t^2 + 1 $ $ = – fracdttsqrt frac1t^2 + 1 $ $ = left{ {eginarray*20l – fracdtsqrt 1 + t^2 : mkhi:t > 0\fracdtsqrt 1 + t^2 : mkhi:t endarray ight.$Khi đó ta xét nhị trường hợp:Trường vừa lòng 1: cùng với $t>0$, ta được: $int f (x)dx$ $ = ln left| frac1 – sqrt x^2 + 2x + 2 x + 1 ight| + C.$Trường hòa hợp 2: Với $t kết luận với $t e 0 Leftrightarrow x e – 1$ ta luôn có: $int f (x)dx$ $ = ln left| frac1 – sqrt x^2 + 2x + 2 x + 1 ight| + C.$
Dạng 13: (Phương pháp đổi biến): tra cứu nguyên hàm của hàm số: $I = int R left( x,sqrt
Dạng 14: tìm kiếm nguyên hàm của hàm số $f(x) = fracP(x)Q(x) cdot fracdxy$, vào đó $y = sqrt ax^2 + bx + c .$Ta triển khai theo quá trình sau:Bước 1: so với hàm hữu tỉ $fracP(x)Q(x)$ thành những phân số buổi tối giản.Bước 2: tuyển lựa các phương thức phù hợp cho mỗi tích phân mới.
Xem thêm: Ưu Điểm Của Bộ Sách Cánh Diều Lớp 6, Ưu Nhược Điểm Của Bộ Sách Cánh Diều Lớp 6
Ví dụ: tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = frac6x^3 + 8x + 1left( 3x^2 + 4 ight)sqrt x^2 + 1 .$
Ta có: $frac6x^3 + 8x + 13x^2 + 4$ $ = 2x + frac13x^2 + 4.$Do đó: $I = int f (x)dx$ $ = int left( 2x + frac13x^2 + 4 ight) frac1sqrt x^2 + 1 dx$ $ = underbrace int fracxdxsqrt x^2 + 1 _I_1$ $ + underbrace int fracdxleft( 3x^2 + 4 ight)sqrt x^2 + 1 _I_2.$Trong đó: $I_1 = int fracxdxsqrt x^2 + 1 $ $ = sqrt x_.^2 + 1 + C.$Với $I_2$ ta triển khai phép thay đổi biến $t = fracxsqrt x^2 + 1 $ thì $x^2 = fract^21 – t^2$ suy ra: $dt = fracdxleft( x^2 + 1 ight)sqrt x^2 + 1 .$Khi đó: $I_2 = int fracdxleft( 3x^2 + 4 ight)sqrt x^2 + 1 $ $ = int fracleft( x^2 + 1 ight)sqrt x^2 + 1 dtleft( 3x^2 + 4 ight)sqrt x^2 + 1 $ $ = smallint fracleft( fract^21 – t^2 + 1 ight)dtfrac3t^21 – t^2 + 4$ $ = int fracdt4 – t^2 $ $ = – frac14ln left| fract – 2t + 2 ight| + C$ $ = frac14ln left| fract + 2t – 2 ight| + C$ $ = frac14ln left| fracx + 2sqrt x^2 + 1 x – 2sqrt x^2 + 1 ight| + C.$Vậy: $I = sqrt x^2 + 1 $ $ + frac14ln left| fracx + 2sqrt x^2 + 1 x – 2sqrt x^2 + 1 ight| + C.$
Dạng 15: phương thức nguyên hàm từng phần.Ví dụ: tra cứu nguyên hàm của hàm số $f(x) = sqrt x^2 + a .$
Đặt $left{ eginarray*20lu = sqrt x^2 + a \dv = dxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarray*20ldu = fracxdxsqrt x^2 + a \v = xendarray ight.$Khi đó: $I = int f (x)dx$ $ = xsqrt x^2 + a – underbrace int fracx^2dxsqrt x^2 + a _J.$Biến đổi $J$ như sau: $J = int fracx^2dxsqrt x^2 + a $ $ = int fracleft< left( x^2 + a ight) – a ight>dxsqrt x^2 + a $ $ = int sqrt x^2 + a dx – aint fracdxsqrt x^2 + a $ $ = I – aln left| x + sqrt x^2 + a ight| + C.$Vậy: $I = xsqrt x^2 + a $ $ – left( x + sqrt x^2 + a ight ight)$ $ Leftrightarrow I = fracx2sqrt x^2 + a $ $ + fraca2ln left| x + sqrt x^2 + a ight| + C.$