Chương II: Hàm Số Lũy quá – Hàm Số Mũ cùng Hàm Số Lôgarit – Giải Tích Lớp 12
Bài 3: Lôgarit
Nội dung bài bác 3: Lôgarit nằm trong Chương II: Hàm Số Lũy vượt – Hàm Số Mũ cùng Hàm Số Lôgarit môn Toán Giải Tích Lớp 12, sẽ giúp các em cầm cố được định nghĩa, những qui tắc tính lôgarit và các công thức thay đổi cơ số. Thông qua các lấy ví dụ minh họa trong triết lý các bạn sẽ biết áp dụng lôgari nhằm giải toán.
Bạn đang xem: Lý thuyết bài 3: lôgarit
I. Khái niệm Lôgarit
Câu hỏi 1 bài xích 3 trang 62 SGK giải tích lớp 12: tìm x để:
a. ()(2^x = 8)
b. (2^x = frac14)
c. (3^x = 81)
d. (5^x = frac1125)
Giải:
Câu a: (2^x = 8)
Sử dụng kim chỉ nan (a^m = a^n ⇔ m = n) với điều kiện các biểu thức đều phải có nghĩa.
(2^x = 8 ⇔ 2^x = 2^3 ⇔ x = 3)
Câu b: (2^x = frac14)
Sử dụng triết lý (a^m = a^n ⇔ m = n) với điều kiện những biểu thức đều phải có nghĩa.
(2^x = frac14 ⇔ 2^x = 2^-2 ⇔ x = -2)
Câu c: (3^x = 81)
Sử dụng kim chỉ nan (a^m = a^n ⇔ m = n) cùng với điều kiện các biểu thức đều sở hữu nghĩa.
(3^x = 81 ⇔ 3^x = 3^4 ⇔ x = 4)
Câu d: (5^x = frac1125)
Sử dụng kim chỉ nan (a^m = a^n ⇔ m = n) với điều kiện những biểu thức đều phải sở hữu nghĩa.
(5^x = frac1125 ⇔ 5^x = 5^-3 ⇔ x = -3)
Cho số a dương, phương trình (a^α = b) mang tới hai vấn đề ngược nhau:
Biết α, tính b.Biết b, tính α.Bài toán trước tiên là tính luỹ vượt với số mũ thực của một số, việc thứ nhị dẫn mang đến khái niệm mang lôgarit của một số. Tín đồ ta chứng tỏ được rằng với hai số dương a, b, α ≠ 1, luôn luôn tồn tại tốt nhất số α làm sao để cho (a^α = b).
1. Định nghĩa
Cho nhị số dương a, b cùng với a ≠ 1. Số α vừa lòng đẳng thức (a^α = b) được điện thoại tư vấn là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là (log_ab).
(α = log_ab ⇔ a^α = b (a, b > 0, a ≠ 1))
Ví dụ 1:
a. (log_28 = 3) vì chưng (2^3 = 8)
b. (log_frac139 = -2) bởi vì ((frac13)^-2 = 9)
Câu hỏi 2 bài xích 3 trang 63 SGK giải tích lớp 12:
a. Tính (log_frac124, log_3frac127)
b. có số (x, y) nào nhằm (3^x = 0, 2^y = -3) tốt không?
Giải:
Câu a: Tính (log_frac124, log_3frac127)
Tìm một số trong những thực x thỏa mãn nhu cầu ((frac12)^x = 4).
Tìm một số thực thỏa mãn (3^x = frac127)
(log_frac144 = -2) vì ((frac12)^-2 = frac12^-2 = 4)
(log_3frac127 = -3) vì (3^-3 = frac13^3 = frac127)
Câu b: gồm số x, y nào để (3^x = 0, 2^y = -3) tuyệt không?
Nhận xét quý hiếm của (3^x) và (2^y) suy ra kết luận.
Không bao gồm số x, y nào nhằm (3^x = 0; 2^y = -3) bởi vì (3^x > 0; 2^y > 0) với đa số (x, y).
Chú ý: không tồn tại lôgarit của số âm cùng số 0.
2. Tính chất
Cho nhị số dương a và b, a ≠ 1. Ta có các đặc thù sau đây.
(log_a1 = 0, log_aa = 1)
(a^log_ab = b, log_a(a^α) = α)
Câu hỏi 3 bài xích 3 trang 63 SGK giải tích lớp 12: Hãy chứng tỏ các đặc điểm trên.
Giải: thực hiện định nghĩa (α = log_ab ⇔ b = a^α)
Ta có:
(a^0 – 1 ⇔ 0 = log_a1)
(a^1 = a ⇔ 1 = log_aa)
Đặt (α = log_ab). Từ định nghĩa lôgarit ta có:
(α = log_ab ⇔ b = a^α = a^log_ab)
(⇒ b = a^log_ab)
Đặt (log_aa^α = b)
Theo có mang (a^α = a^b ⇒ α = b)
Vậy (log_aa^α = b = α).
Ví dụ 2:
Câu a: (3^2log_35 = (3^log_35)^2 = 5^2 = 25)
Câu b: (log_frac128 = log_frac12(frac12)^-3 = -3)
Câu hỏi 4 bài 3 trang 64 SGK giải tích lớp 12: Tính (4^log_2frac17; (frac125)^log_5frac13)
Giải: Sử dụng các công thức ((a^m)^n = (a^n)^m; a^log_ab = b).
(4^log_2frac17 = 2^2log_2frac17)
(= (2^log_2frac17)^2 = (frac17)^2 = frac149)
((frac125)^log_5frac13 = 5^-2log_5frac13 = (5^log_5frac13)^-2)
(= (frac13)^-2 = 9)
II. Quy tắc Tính Lôgarit
Câu hỏi 5 bài 3 trang 64 SGK giải tích lớp 12:
Cho (b_1 = 2^3, b_2 = 2^5)
Tính (log_2b_1 + log_2b_2; log_2(b_1b_2)) và so sánh các kết quả.
Giải:
Sử dụng bí quyết (log_aa^n = n) cùng (log_a(bc) = log_ab + log_ac)
(log_2b_1 + log_2b_2 = log_22^3 + log_22^5 = 3 + 5 = 8)
(log_2b_1b_2 = log_2(2^3.2^5) = log(2^3 + 5) = log_22^8 = 8)
Vậy (log_2b_1 + log_2b_2 = log_2b_1b_2)
1. Lôgarit của một tích
Định lý 1: Cho cha số dương (a, b_1, b_2) với (a ≠ 1), ta tất cả (log_a(b_1b_2) = log_ab_1 + log_ab_2).
Lôgarit của một tích bằng tổng các lôgarit.
Chứng minh. Đặt (α_1 = log_ab_1, α_2 = log_ab_2), ta có
(α_1 + α_2 = log_ab_1 + log_ab_2) (1)
Mặt khác, do (b_1 = a^α_1, b_2 = a^α_2), suy ra (b_1b_2 = a^α_1.a^α_2 = a^α_1 + α_2)
Do đó (α_1 + α_2 = log_a(b_1b_2)) (2)
Từ (1), (2) suy ra
(log_a(b_1b_2) = log_ab_1 + log_ab_2)
Ví dụ 3: Tính (log_69 + log_64)
Giải: (log_69 + log_64 = log_6(9.4) = log_636 = 2)
Chú ý: Định lý 1 có thể mở rộng mang lại tích của n số dương:
(log_a(b_1b_2…b_n) = log_ab_1 + log_ab_2 + … + log_ab_n)
((a, b_1, b_2,…, b_n > 0, a ≠ 1))
Câu hỏi 6 bài xích 3 trang 65 SGK giải tích lớp 12: Tính (log_frac122 + 2log_frac12frac13 + log_frac12frac38)
Giải: áp dụng công thức logarit của một tích (log_ab_1 + log_ab_2 + … + log_ab_n = log_a(b_1b_2… b_n))
(log_frac122 + 2log_frac12frac13 + log_frac12frac83)
(= log_frac122 + log_frac12frac13 + log_frac12frac13 + log_frac12frac38)
(= log_frac12(2.frac13.frac13.frac38) = log_frac12frac112)
2. Lôgarit của một phương
Câu hỏi 7 bài bác 3 trang 65 SGK giải tích lớp 12: đến (b_1 = 2^5, b_2 = 2^3). Tính (log_2b_1 – log_2b_2, log_2fracb_1b_2) với so sánh các kết quả.
Giải: (log_2b_1 – log_2b_2 = log_22^5 – log_22^3 = 5 – 3 = 2)
(log_2fracb_1b_2 = log_2frac2^52^3 = log_22^2 = 2)
(⇒ log_2b_1 – log_2b_2 = log_2fracb_1b_2)
Định lý 2: Cho ba số dương (a, b_1, b_2) với (a ≠ 1), ta có
(log_afracb_1b_2 = log_ab_1 – log_ab_2)
Lôgarit của một thương bởi hiệu các lôgarit.
Định lý 2 được chứng tỏ tương từ Định lí 1.
Ví dụ 4: Tính (log_749 – log_7343)
Giải: (log_749 – log_7343 = log_7frac49343 = log_7frac17 = -log_77 = -1)
3. Lôgarit của một lũy thừa
Định lí 3: mang đến hai số dương (a, b; a ≠ 1). Với mọi α, ta bao gồm (log_ab^α = αlog_ab).
Lôgarit của một lũy thừa bởi tích của số mũ với lôgarit của cơ số.
Đặc biệt: (log_asqrt
Chứng minh. Đặt (β = log_ab) thì (b = a^β)
Do đó: (b^α = (a^β)^α = a^αβ)
Suy ra (αβ = log_ab^α) hay (αlog_ab = log_ab^α)
Ví dụ 5: Tính giá bán trị của các biểu thức:
a. (log_24^frac17)
b. (log_5sqrt3 – frac12log_515)
Giải:
Câu a: (log_24^frac17 = log_22^frac27 = frac27log_22 = frac27)
Câu b: (log_5sqrt5 – frac12log_515 = log_5sqrt3 – log_5sqrt15)
(= log_5fracsqrt3sqrt15 = log_5frac1sqrt5)
(= log_55^-frac12 = -frac12)
III. Đổi Cơ Số
Câu hỏi 8 bài 3 trang 66 SGK giải tích lớp 12: đến (a = 4, b = 64, c = 2). Tính (log_ab, log_ca, log_cb).
Tìm một hệ thức liên hệ giữa ba hiệu quả thu được.
Giải:
(log_ab = log_464 = log_44^3 = 3)
(log_ca = log_24 = log_22^2 = 2)
(log_cb = log_264 = log_22^6 = 6)
(3.2 = 6 ⇒ log_ab.log_ca = log_cb)
Định lí 4: Cho bố số dương a, b, c cùng với (a ≠ 1, c ≠ 1), ta tất cả (log_ab = fraclog_cblog_ca)
Đặc biệt (log_ab = frac1log_ba) (b ≠ 1)
(log_a^αb = frac1αlog_ab) (a ≠ 0)
Chứng minh. Theo đặc điểm của Lôgarit và định lí 3, ta có
(log_cb = log_c(a^log_ab) = log_ab.log_ca)
Vì (a ≠ 1) nên (log_ca ≠ 0). Bởi vì đó
(log_ab = fraclog_cblog_ca)
IV. Ví dụ Áp Dụng
Ví dụ 6. Tính
a. (2^log_415)
b. (3^log_frac1272)
Giải:
Câu a: Ta có (log_415 = log_2^215 = frac12log_215 = log_2sqrt15)
Do đó (2^2^log_415 = 2^log_2sqrt15 = sqrt15)
Câu b: vày (log_frac1272 = log_3^-32 = -frac13log_32)
(= log_32^-frac13 = log_3frac1sqrt<3>2)
nên (3^log_frac1272 = 3^log_3frac1sqrt<3>2 = frac1sqrt<3>2)
Ví dụ 7. mang lại (α = log_220). Hãy tính (log_205) theo α.
Giải: Ta có:
(α = log_220 = log_2(2^2.5) = 2log_22 + log_25 = 2 + log_25)
suy ra (log_25 = α – 2)
Vậy (log_205 = fraclog_25log_220 = fracα – 2α)
Ví dụ 8. Rút gọn biểu thức
(A = log_frac137 + 2log_949 – log_sqrt3frac17)
Giải: Ta có:
(A = log_3^-17 + 2log_3^2(7^2) – log_3^frac12(7^-1))
(= -log_37 + 2log_37 + 2log_37 = 3log_37)
Ví dụ 9. So sánh những số (log_23) cùng (log_65).
Giải: Đặt (α = log_23, β = log_65).
Ta có (2^α = 3 > 2^1) cần (α > 1; 6^β = 5 β)
Vậy (log_23 > log_65)
V. Lôgarit Thập Phân. Lôgarit trường đoản cú nhiên
1. Lôgarit thập phân
Lôgarit thập phân là Lôgarit cơ số 10. (log_10b) hay được viết là logb hoặc lgb.
Logarit Thập Phân Online
2. Lôgarit từ bỏ nhiên
Người ta chứng tỏ được hàng số ((u_n)) với (u_n = (1 + frac1n)^n) có số lượng giới hạn là một vài vô tỉ cùng gọi giới hạn đó là e, (e = lim_n → +∞(1 + frac1n)^n)
Một cực hiếm gần đúng của e là e ≈ 2,718 281 828 459 045
Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số e. (log_eb) được viết là lnb.
Logarit tự nhiên và thoải mái Online
Chú ý: mong mỏi tính (log_ab), với a ≠ 10 cùng a ≠ e, bằng laptop bỏ túi, ta có thể sử dụng công thức đổi cơ số.
Chẳng hạn,
(log_23 = fraclog3log2 = 1,584 962 501)
(log_30,8 = fracln0,8ln3 = -0,203 114 013)
Bài Tập bài bác 3: Lôgarit
Hướng dẫn giải bài bác 3: Lôgarit nằm trong Chương II: Hàm Số Lũy vượt – Hàm Số Mũ cùng Hàm Số Lôgarit môn Toán Giải Tích Lớp 12. Bài học giúp các bạn tìm hiểu tư tưởng và đặc điểm của lôgarit. Quy tắc lôgarit, thay đổi cơ số với lôgarit thập phân, lôgarit trường đoản cú nhiên.
Bài Tập 1 Trang 68 SGK Giải Tích Lớp 12
Không áp dụng máy tính, hãy tính:
a. (log_2frac18).
b. (log_frac142).
c. (log_3sqrt<4>3).
d. (log_0,50,125).
Bài Tập 2 Trang 68 SGK Giải Tích Lớp 12
Tính:
a. (4^log_23).
b. (27^log_92).
c. (9^log_sqrt32).
d. (4^log_827).
Bài Tập 3 Trang 68 SGK Giải Tích Lớp 12
Rút gọn biểu thức:
a. (log_36.log_89.log_62)
b. (log_ab^2 + log_a^2b^4)
Bài Tập 4 Trang 68 SGK Giải Tích Lớp 12
So sánh các cặp số sau:
a. (log_35) và (log_74)
b. (log_0,32) với (log_53)
c. (log_210) và (log_530)
Bài Tập 5 Trang 68 SGK Giải Tích Lớp 12
a. mang đến (a = log_303, b = log_305). Hãy tính (log_301350) theo a, b.
b. mang lại (c = log_153). Hãy tính (log_2515) theo c.
Xem thêm: Các Dạng Bài Tập Về Khối Đa Diện Mức Độ Nhận Biết, Thông Hiểu
Nội dung lý thuyết Bài 3: Lôgarit trực thuộc Chương II: Hàm Số Lũy thừa – Hàm Số Mũ và Hàm Số Lôgarit môn Toán Giải Tích Lớp 12, giúp chúng ta tìm gọi khái niệm tính chất lôgarit, thuộc với sẽ là quy tắc, đổi cơ số cùng lôgarit từ bỏ nhiên, lôgarit thập phân. Bạn thấy nội dung bài học kinh nghiệm này cụ nào, nhằm lại ý kiến đóng góp duới trên đây nhé.