Cho hai số dương a, b với (a
e1). Nghiệm duy nhất của phương trình (a^x = b) được gọi là (log _ab) ( tức là số (alpha) có tính chất là (a^alpha = b)).
Bạn đang xem: Log toán học
Như vậy (log _ab = alpha Leftrightarrow a^alpha = b).
Ví dụ: (log _416 = 2) bởi vì (4^2 = 16).
2. Lôgarit thập phân với lôgarit từ nhiên
Lôgarit cơ số 10 còn được gọi là lôgarit thập phân, số log10b thường xuyên được viết là logb hoặc lgb.
Lôgarit cơ số (e) ((e= mathop lim limits_n o + infty left( 1 + dfrac 1 n ight)^n) ≈ 2,718281828459045) còn được gọi là lôgarit tự nhiên, số logeb thường xuyên được viết là lnb.
3. đặc điểm của lôgarit
Lôgarit có các đặc thù rất phong phú, rất có thể chia ra thành các nhóm sau đây:
1) Lôgarit của đơn vị chức năng và lôgarit của cơ số:
Với cơ số tùy ý, ta luôn luôn có loga1 = 0 cùng logaa= 1.
2) Phép nón hóa và phép lôgarit hóa theo thuộc cơ số (mũ hóa số thực α theo cơ số a là tính aα; lôgarit hóa số dương b theo cơ số a là tính logab) là hai phép toán ngược nhau.
(∀a >0 ,(a e) 1), (∀b> 0), (a^log _ab = b)
(∀a >0 , (a e 1)), (log _aa^alpha = α)
3) Lôgarit và các phép toán: Phép lôgarit hóa thay đổi phép nhân thành phép cộng, phép tạo thành phép trừ, phép nâng lên lũy quá thành phép nhân, phép khai căn thành phép chia, cụ thể là
Với (forall a,b_1,b_2 > 0,a e 1) ta có:
+) (log _aleft( b_1b_2 ight) = log _ab_1 + log _ab_2)
+) (log _aleft( dfracb_1b_2 ight) = log _ab_1 - log _ab_2)
+) (∀a,b >0, (a e 1),) (∀α) ta có:
(log _ab^alpha = alpha. log _ab)
(log _a oot n of b = dfrac1n.log _ab)
Ví dụ: Tính (A = log _2dfrac152 - 2log _2sqrt 3 ).
Ta có:
(eginarraylA = log _2dfrac152 - 2log _2sqrt 3 \,,,,, = log _215 - log _22 - 2.dfrac12log _23\,,,,, = log _2left( 3.5 ight) - 1 - log _23\,,,,, = log _23 + log _25 - 1 - log _23\,,,,, = log _25 - 1endarray)
4) Đổi cơ số: có thể chuyển những phép lấy lôgarit theo các cơ số khác biệt về câu hỏi tính lôgarit theo và một cơ số chung, ví dụ là
(∀a,b,c >0 , (a, c e1)), (log _ab = dfraclog _cb log _ca).
Đặc biệt (∀a,b >0 , (a,b e1) , log _ab = dfrac1log _ba)
(∀a,b >0 , (a e1), ∀α, β, (α e 0)) ta có:
(log _a^alpha b = dfrac1alpha log _ab)
(log _a^alpha b^eta = dfraceta alpha log _ab)
(log _adfrac1b = - log _ableft( 0 0 ight))
(log _asqrt
(log _ab.log _bc = log _ac Leftrightarrow log _bc = dfraclog _aclog _ab) (left( 0 0 ight))
(log _ab = dfrac1log _ba Leftrightarrow log _ab.log _ba = 1) (left( 0 0;n e 0 ight))
Ví dụ: Tính (B = 3log _812 - 2log _23 + 12log _16sqrt<3>3)
Ta có:
(eginarraylB = 3log _812 - 2log _23 + 12log _16sqrt<3>3\,,,,, = 3log _2^312 - 2log _23 + 12.log _2^4sqrt<3>3\,,,,, = 3.dfrac13log _212 - 2log _23 + 12.dfrac14log _2sqrt<3>3\,,,,, = log _212 - 2log _23 + 3log _2sqrt<3>3\,,,,, = log _212 - log _23^2 + log _2left( sqrt<3>3 ight)^3\,,,,, = log _212 - log _29 + log _23\,,,,, = log _2dfrac12.39\,,,,, = log _24\,,,,, = log _22^2\,,,,, = 2endarray)
Hệ quả:
a) trường hợp (a > 1;b > 0) thì (log _ab > 0 Leftrightarrow b > 1;) (log _ab 0) thì (log _ab 1;) (log _ab > 0 Leftrightarrow 0 0) thì (log _ab = log _ac Leftrightarrow b = c).
Xem thêm: Đề Thi Giải Toán Trên Máy Tính Casio Lớp 9, Đề Thi Giải Toán Trên Máy Tính Cầm Tay Lớp 9
Chú ý:
Logarit thập phân (log _10b = log bleft( = lg b ight)) có không thiếu thốn tính chất của logarit cơ số (a).