Nói chung, người ta giải thích rằng hình học tập là toán học liên quan đến các hình, nhưng các đối tượng, văn bản và cách thức của hình học tập đã đổi khác đáng kể theo thời gian, và phạm vi đang được mở rộng rất nhiều, và bây chừ hình học bao gồm tất cả chúng. Hình học bắt buộc được xác định. Tuy nhiên, vào toán học tên là hình học, nó thường được nghiên cứu dựa vào vào trực giác của các hình hoặc sự giống nhau của chúng. Hình học tập có nguồn gốc từ tiếng Hy Lạp geōmetria, tức là "đo đất", cùng hình học là 1 từ nghi vấn tức là một câu hỏi định lượng trong giờ đồng hồ Trung Quốc, và là 1 từ truyền thống lâu đời của Trung Quốc. Bên dưới đây, chúng ta hãy coi xét các hình học khác nhau trong lúc theo dõi quá trình đổi khác lịch sử.
Bạn đang xem: Hình học phẳng là gì
Như trường đoản cú nguyên của hình học chỉ ra, hình học cách tân và phát triển từ việc khảo sát. Đó là, nghỉ ngơi Ai Cập cổ đại, những kỹ thuật khảo sát đã được phát triển để tái chế tác ranh giới của vùng đất bị tàn phá bởi những thanh kiếm của sông Nile, tích lũy kiến thức và kỹ năng về những con số, cũng khá được thu thập sinh hoạt Hy Lạp vì Miletus Thales và Pythagoras. Nó được thừa nhận xuống, được nghiên cứu một cách phải chăng và cải tiến và phát triển thành hình học. Thales biết rằng điều tra khảo sát gián tiếp được thực hiện bằng cách sử dụng thực tế là những tam giác được xác định bởi hai góc và các cạnh kẹp của chúng, với trong phe phái Pitago, biết đến đã minh chứng định lý cha bình phương, kỹ năng về những hình dựa trên những chứng minh. Đã được thực hiện. Các phương thức và logic chứng minh đã được Plato và phe cánh của ông triển khai xong thêm với sự phản ánh sâu sắc, với các ý tưởng về định nghĩa, định đề và tiên đề đã có phát triển. Truyền thuyết mà Plato đang viết sống cổng vào học viện của trường, "Không ai đắn đo hình học tập được phép vào", cho biết thêm ông đã nhấn mạnh vấn đề đến hình học như vậy nào. Bằng phương pháp này, hình học như một khối hệ thống lôgic được hình thành, được Euclid mô tả. Stokeia 》 Được đan cùng để lại đến hậu thế. Cuốn sách gồm 13 tập này, bao hàm lý thuyết số và kim chỉ nan số vô tỷ, đa số là về hình học. Chiếc mà bây giờ chúng ta hotline là hình học sơ cấp là việc kế vượt và mở rộng của phần hình học tập này. “Stoikeia” vẫn đóng góp không hề ít cho sự trở nên tân tiến của công nghệ phương Tây, và nói cách khác lý bởi vì của vấn đề này không nằm ở vị trí nội dung nhưng mà là cách thức và thái độ miêu tả. "Stoikeia" được mô tả dựa trên tiền đề của các định nghĩa, định đề và tiên đề, và sau đó công dụng được đúc kết chỉ bằng lập luận, chưa phải bằng trực giác. Phương thức này đã làm cho sáng tỏ hình thức lý tưởng của khoa học và được áp dụng như một mô hình cho các hệ thống học thuật trong hậu thế. Ví dụ, "Đạo đức học" của B. De Spinoza (hoàn thành năm 1675) với "Nguyên tắc" của I. Newton (1687) được viết theo cách này. Các định nghĩa với tiên đề, tuy nhiên thường bị chỉ trích vào hậu thế, vẫn là nguồn gốc của sự thành lập và hoạt động của toán học mới.
Hình học tập Hy Lạp giới hạn max ở Euclid. Pythagoras cùng Plato, những người có ưng ý là vẻ đẹp hợp lý và thích hợp lý, vẫn vẽ chỉ bằng đường trực tiếp và con đường tròn, có nghĩa là thước kẻ với compa, hình học, và khước từ vẽ bằng phương pháp sử dụng những đường cong như parabol. Bằng phương pháp xây dựng hình học, câu hỏi về "chia một góc thành bố phần bằng nhau, chế tạo một hình lập phương có thể tích gấp hai một hình lập phương, tạo một hình vuông vắn có cùng diện tích với một hình tròn" là cũ hơn nhiều so cùng với Euclidean. Nó đã được nhiệt tình nghiên cứu kể từ thời đại. Tuy nhiên, sau cuối nó vẫn không được giải quyết và xử lý và bị quăng quật lại vùng phía đằng sau như ba vụ việc lớn của toán học tập Hy Lạp ( vụ việc không thể tích lũy được ). Về diện tích s của một hình tròn trụ và thể tích của một hình cầu, Euclid chỉ bảo rằng chúng tỷ lệ với hình vuông hoặc hình khối của đường kính, chứ không hẳn là hằng số tỷ lệ, rõ ràng là π / 4 hoặc π / 6. Phương diện khác, Archimedes đã nghĩ ra một cách thức gọi là "phương pháp bóp" nhằm tính đúng diện tích của một hình tròn và thể tích của một hình cầu, và bằng cách tìm chu vi của một hình lục giác phần nhiều nội tiếp hoặc nước ngoài tiếp một hình tròn. Shop chúng tôi đã minh chứng rằng 3,14 là 1 trong giá trị đúng chuẩn đến chữ số thứ hai sau lốt thập phân của π. Hình parabol cũng khá được Archimedes xử lý, cơ mà Apollonius của Perge đã cách xử lý hình elip, hyperbol cùng parabol theo một biện pháp thống độc nhất vô nhị như phần hình nón chiếm được dưới làm nên cắt khi mặt phẳng hình nón bị cắt do một phương diện phẳng. Công ty chúng tôi đan cân nặng để làm cho rõ bản chất của hầu hết đường cong này. Dưới ảnh hưởng của thiên văn học, lượng giác phương diện phẳng và lượng giác ước được tạo ra bởi Hipparcos vào lúc năm 150 trước Công nguyên và khoảng tầm năm 100 trước Công nguyên, Heron, nổi tiếng với công thức diện tích s tam giác, cùng hình học cơ bản Menelaus và Putremaios (Tremy) , hồ hết người xuất hiện trong định lý, vẫn đóng góp.
Hình học tập giải tíchHình học tập Euclid là một hệ thống logic rất gồm trật tự, nhưng nó là một trong những khoa học chứng minh, không phải khoa học khám phá. Ngoài ra, ko có phương pháp thống nhất mang lại công nghệ chứng minh và từng trường hợp cần có phương thức riêng. Thần thoại cổ xưa kể rằng Euclid đã có Ptolemy I hỏi, "Có bí quyết nào nhanh hơn Stoikeia không?" và câu vấn đáp “Không có đường hoàng vào hình học” nói cách khác để phân tích và lý giải cho chứng trạng này. Ở châu Âu thời Phục hưng, toán học Hy Lạp được phục hồi và đại số sinh hoạt Ấn Độ và Ả Rập cũng rất được giới thiệu. Vào đầu thế kỷ 17, hệ thống dấu hiệu như 1 công thức bao quát sử dụng những chữ cái gần như là được thiết lập và đổi mới đại số, và những phương trình bậc thấp cũng rất được giải quyết. Trái ngược với phương pháp của Euclide, các phương pháp đại số giải những bài toán áp dụng phương trình có đặc thù khám phá, cơ học với thống nhất. Để tìm kiếm ẩn số, chúng ta cũng có thể kết đúng theo nó với cùng 1 ẩn số đang biết và thể hiện nó thành một phương trình, và rút gọn gàng nó thành một ẩn số dễ dàng bằng phép tính. P.de Fermat và R. Decart là ý tưởng của cái gọi là hình học tập giải tích, trong các số ấy hình học hoàn toàn có thể được đại số hóa với hình học hoàn toàn có thể được nghiên cứu bằng phương pháp đại số nếu các hình được màn biểu diễn bằng biểu thức quan hệ giới tính giữa những số bằng phương pháp giới thiệu những tọa độ. Đặc biệt, Got Descartes đang mô tả ý tưởng phát minh này trong trong số những phụ lục của cuốn sách khét tiếng của ông, Discourse on Method (1637), Geometry, nhấn mạnh vấn đề rằng phương pháp này đưa về cho hình học kĩ năng khám phá với sự thống nhất. Hình học tập giải tích cung cấp một nền tảng trẻ trung và tràn trề sức khỏe cho sự cải tiến và phát triển của phép tính giải tích, và đã được cải tiến đáng kể bởi vì L. Euler et al. Vào thay kỷ 18, và lý thuyết phần conic của Apollonius cũng rất được tổ chức theo phương pháp đại số như lý thuyết đường cong bậc hai. Hình học giải tích đang dẫn tới việc thừa nhấn rằng số với hình không khác biệt về cơ bản, một hình là thay mặt cho hình kia. Sự công nhận này đã có một tác động lớn mang lại sự trở nên tân tiến của toán học hậu thế. Trái lại với hình học tập giải tích, hình học xem xét trực tiếp những hình theo phong cách Euclide được hotline là hình học tổng thể hay hình học tập thuần túy.
Hình học tập xạ ảnhPhối cảnh, được bắt đầu bởi các nghệ sĩ như Leonardo domain authority Vinci với A.Durer vào thời kỳ Phục hưng, liên tiếp được phân tích từ cách nhìn kỹ thuật, cùng vào nuốm kỷ 17, phương pháp hình học tập này đã có nghiên cứu. Được bắt đầu bởi G. Desarg và B. Pascal. Phương pháp vẽ phối cảnh là cách thức chiếu một hình trong không gian từ một điểm thắt chặt và cố định và chiếu nó lên một mặt phẳng, và thể hiện hình cội bằng bạn dạng vẽ hình chiếu này, đây và đúng là một phương pháp miêu tả nhiếp ảnh. Bằng phép chiếu, những điểm đưa thành điểm và đường thẳng đưa thành đường thẳng, nhưng các số liệu như độ nhiều năm đoạn thẳng và kích thước góc chuyển đổi tương ứng, và tính chất tuy nhiên song cũng bị phá vỡ. Mặc dù nhiên, thông thường có thể nhận ra cấu tạo hình học của hình ban sơ trong phiên bản vẽ hình chiếu. Điều này có thể là bởi vì sự tồn tại của các thuộc tính xạ ảnh, có nghĩa là các nằm trong tính hình học luôn luôn bất thay đổi do buổi giao lưu của phép chiếu. Ví dụ dễ dàng và đơn giản nhất về nằm trong tính xạ hình ảnh là kết nối giữa một điểm cùng một con đường thẳng, chẳng hạn như một mặt đường thẳng sản phẩm (một số điểm nằm trong một đường thẳng) hoặc một điểm đồng quy (một số đường thẳng giảm nhau trên một điểm). Mặc dù nhiên, trong cả hai đường thẳng cắt nhau cũng có thể trở thành đường thẳng tuy vậy song vì chưng phép chiếu, cho nên vì vậy cần đọc rằng hai tuyến đường thẳng tuy nhiên song cắt nhau tại điểm làm việc vô cùng. Desarugu với Pascal cho biết bằng nhiều ví dụ khác nhau rằng, coi điểm ở cực kì và đường ở vô cực, là tập hòa hợp của chúng, gần như điều mà fan Hy Lạp vẫn nêu và chứng minh riêng lẻ rất có thể thu được một biện pháp thống nhất với phổ quát. Nó đang được. Trong các này, định lý Desarg rằng , cùng hình học tập giải tích với giải tích, việc phân tích hình học tập xạ ảnh đã bị lãng quên, tuy vậy vào thời điểm cuối thế kỷ 18 G. Monge đã phục sinh phép chiếu phối cảnh. Trong nửa thời điểm đầu thế kỷ 19, một nghiên cứu có hệ thống về hình học bằng phương thức xạ hình ảnh đã được tiến hành, và một phân ngành toán học gọi là hình học tập xạ hình ảnh đã được thành lập. Căn cơ được đặt ra bởi JV Poncelet, bạn đã tìm kiếm ra xác suất anharmonicity là 1 trong thuộc tính xạ hình ảnh và là tính nhì mặt của hình học xạ ảnh. Thừa kế điều này, Steiner J. Steiner (1796-1863) đã chỉ ra rằng đường cong tứ giác và bề mặt tứ giác hoàn toàn có thể được xử trí theo cách thức dự kiến, cùng AF Mobius cùng J. Plucker đã đưa ra tọa độ nhằm phân tích hình học tập xạ ảnh. Nó được chế tạo như một học bổng, và Steiner KGC von Staudt (1798-1867) đã thành lập nó như một hình học tổng quát dựa vào định lý Desarg.
Hình học tập phi Euclidtrong thời điểm tiên đề bởi Euclid gửi ra, tiên đề thiết bị năm là được nêu. định đề này tinh vi hơn những so với những tiên đề khác, và tính rõ ràng của nó đã bị nghi ngờ. Vì tại sao này, tín đồ ta cho rằng định đề thứ 5 là 1 trong định lý rất có thể được chứng minh từ các định đề khác, cùng việc chứng tỏ nó đã có được thử nghiệm không dứt kể từ bỏ Proclus (410 hoặc 411-485) vào nạm kỷ sản phẩm 4. Trong thời hạn này, định đề thứ 5 được nhận ra là tương đương với những mệnh đề như hoặc . Mặc dù nhiên, mục đích ban đầu đã quan trọng đạt được. Trong số này, mọi người đặc biệt đáng chú ý là của Sackeri G. Saccheri (1667-1733) và AM Legendre, những người đã nỗ lực chứng minh bằng phương pháp rút gọn gàng và đưa ra các kết quả khác nhau dựa vào giả định rằng tiên đề thứ năm sẽ không đúng. Bao gồm nghiên cứu. Tuy nhiên, bởi tin vào đặc thù tiên nghiệm của hình học Euclide, họ chẳng thể coi đó là một trong mệnh đề rất có thể phủ dấn Định đề máy năm. Bao gồm NI Lobachevsky đã mạnh dạn bác bỏ định đề sản phẩm 5 và thay nó bằng tiên đề . Trên Boyai J., đó là khoảng năm 1830. CF Gauss, nhà vua toán học tập vào thời điểm đó, cũng tin vào sự mãi sau của hình học bởi vậy và gọi nó là hình học phi Euclid, nhưng tiếp nối người ta phát hiển thị rằng ông vẫn không công bố nó vày sợ chỉ trích ồn ào. Tuy nhiên, những người này chỉ đối kháng thuần cách tân và phát triển hình học tập phi Euclid cùng không minh chứng được tính đồng bộ của nó. Điều này để ra thắc mắc về việc liệu cả hình học tập Euclid với không Euclid có thể tồn tại tuyệt không, đã được xử lý bởi F. Klein và cộng sự. Từ vào cuối thế kỷ 19 đầu thế kỷ 20. Đó là, chúng ta đã tạo ra một quy mô của hình học phi Euclid trong hình học tập Euclid, và chỉ ra rằng hình học tập phi Euclid cũng là một khối hệ thống logic không tồn tại mâu thuẫn, miễn là hình học tập Euclid không cất mâu thuẫn. Năm 1854, B. Lehman đã thành lập một hình học trong số đó độ lâu năm của một đoạn thẳng là hữu hạn với hai đoạn thẳng luôn cắt nhau tại hai điểm, với Klein đã thay đổi một chút vấn đề này để nhì đoạn thẳng luôn luôn cắt nhau tại một điểm. Tôi đã tạo ra hình học. Trong lúc hình học phi Euclid này được gọi là hình học tập elip, thì hình học tập phi Euclid nói trên được hotline là hình học tập hypebol. Tổng những góc của một tam giác to hơn hai góc vuông trong hình học tập elip và nhỏ tuổi hơn nhị góc vuông vào hình học tập hypebol. Kế bên ra, vào hình học tập phi Euclid, diện tích của một tam giác được khẳng định bởi kích cỡ của bố góc đỉnh, bởi vì đó các tam giác đồng dạng là đồng dư.
Sự hợp tốt nhất của hình học và lý thuyết công cộngáp dụng hệ tọa độ Descartes, các điểm xung quanh phẳng được màn trình diễn bằng một tập hòa hợp hai số thực và khoảng cách giữa nhị điểm có tọa độ là (x 1 , x 2 ) với ( y 1 , y 2) là
Phép tính vi phân có liên quan chặt chẽ đến việc nghiên cứu các mặt đường cong, minh chứng là Fermat đã nghiên cứu và phân tích về bí quyết vẽ các tiếp tuyến với các đường cong phương diện phẳng, và kể từ lúc ngành giải tích thành lập vào vào cuối thế kỷ 17, phép tính vi phân. Việc phân tích các mặt đường cong bằng ứng dụng của được cách tân và phát triển như 1 phần của phép tính vi phân. Sau đó, độ cong của đường cong khía cạnh phẳng, con đường tròn thẩm thấu, đường di chuyển, đường bao, v.v. được nghiên cứu, dẫu vậy những phân tích này đã dẫn cho những nghiên cứu và phân tích tương trường đoản cú về đường cong không gian, cùng những nghiên cứu sâu hơn về độ cong của mặt phẳng cong cùng trắc địa đang được triển khai vào vắt kỷ 18. Nó được thực hiện như một áp dụng giải tích của Johann Bernoulli (1667-1748), Euler, JL Lagrange, Monju et al. Bằng cách này, hình học tập vi phân bắt đầu nghiên cứu vãn các đặc thù của bề mặt cong và bề mặt cong bằng phương pháp sử dụng giải tích, cơ mà vào vào đầu thế kỷ 19, Gauss đã thiết lập cấu hình cơ sở của lý thuyết bề mặt cong và cách tân và phát triển hình học tập trên bề mặt cong. Kết quả là, hình học tập vi phân như một phân ngành của toán học đã có được thành lập. Sau đó, vào vậy kỷ 19, Bonnet O. Bonnet (1819-92), Bertramie E. Beltrami (1835-1900), MS Lee, J.G Dalboo và những người dân khác đã tìm ra nhiều tác dụng thú vị về con đường cong và mặt phẳng cong trong không gian Euclide. Đã được thực hiện. Vào thay kỷ 20, dưới tác động của những phát minh của Klein, hình học tập vi phân xạ ảnh, áp dụng phép tính vi phân để phân tích các đặc thù bất vươn lên là trong phép biến hóa xạ hình ảnh của đường cong cùng mặt cong trong không gian xạ ảnh, được phân tích bởi Fubini et al. Hình học tập vi phân tương tự như được nghiên cứu bởi W. Blachke (1885-1962) và cùng sự. Đối với nhiều không gian khác.
Hình học tập Riemanniankhoảng cách ds giữa hai điểm ngay gần vô hạn trên bề mặt được biểu thị bằng tham số u cùng v , tức là khoảng phương pháp ds thân hai điểm trên mặt phẳng tương ứng với (u , v ) cùng ( u + du , v + dv) is Nó được mang đến dưới dạng ds 2 = Edu 2 + 2 Fdudv + Gdv 2. Ở đây, E , F với G là các hàm liên tiếp phân biệt đối với u và v. Gauss nhận biết rằng các đại lượng và đặc thù chỉ xác định bởi E , F và G không nhờ vào vào trình diễn tham số hoặc địa chỉ của mặt cong trong không gian ba chiều, nhưng mà là các đặc tính bên trong của chính bề mặt cong, cùng hình học trên mặt phẳng cong được mô tả. Đã mở rộng. Riemann đang lấy cảm xúc từ vấn đề này và tổng quát hóa nó, cùng với n bộ số thực ( x 1 , x 2 , ……, x n ) là điểm và nhị điểm gần như là vô hạn ( x 1 , x 2 , ……). , x n) và (x 1 + dx 1, x 2 + dx 2, ......, khoảng cách ds thân x n + dx n) được xem là không gian được chỉ dẫn bởi: công ty trương được thông số kỹ thuật hình học để làm.
Xem thêm: Đường Trung Trực Là Gì? Lý Thuyết Và Bài Tập Ứng Dụng Về Đường Trung Trực
Tôpô
Tôi vẫn đề cập trước đó rằng trong hình học Euclide và hình học xạ ảnh, các đặc điểm hình học tập không đổi khác do phép biến hóa đồng dư và phép chuyển đổi xạ ảnh được phân tích tương ứng, nhưng quá trình tổng quát hơn những so cùng với phép đổi khác đồng dư với phép biến hóa xạ ảnh. Gồm một cái gì đấy được điện thoại tư vấn là thay đổi hoặc ánh xạ vào pha. Đây là việc tương ứng solo giữa nhì hình, nó và ánh xạ nghịch đảo của nó là liên tục. Do đó, bạn có thể nghĩ mang đến hình học nghiên cứu và phân tích các tính chất không chuyển đổi theo phép đồng hình. Tôpô là một trong những môn toán học bao gồm mục đích chính là nghiên cứu, và được dịch là tôpô, hình học này là một thuộc tính tương quan đến vị trí và mẫu thiết kế của một hình, với chỉ phụ thuộc vào vào tính thường xuyên của các điểm. Bản chất là xử lý. Kết cấu liên kết đã làm được GW Leibniz dự đoán dưới tên situs phân tích, nhưng các bước cụ thể lần trước tiên được đưa ra vì chưng Euler. Một nghiên cứu và phân tích về một nét (1736) và một khối đa diện lồi là đồng dạng của một hình cầu, tương quan đến câu hỏi liệu mỗi cây cầu trong những bảy cây ước ở tp Königsberg có thể được băng qua không ít lần mà không trở nên trùng lặp hay không. Đó là định lý (1752) rằng α 0- α 1 + α 2 luôn bằng 2 lúc số đỉnh, số cạnh cùng số mặt của chính nó lần lượt là α 0 , α 1 cùng α 2.Sau Euler, không có công trình như thế nào về kết cấu liên kết cho đến khi phân tích của Gauss (1853) về số lần nhỏ xíu nghén của hai tuyến phố cong khép kín đáo trong không gian xuất hiện. Do tác động của Gauss, bài toán nghiên cứu cấu trúc liên kết của các bề mặt cong trở bắt buộc tích cực, với Mobius, Riemann và những người dân khác đã phân tích cách liên kết các bề mặt cong, và dải Mobius, lừng danh là mặt phẳng cong ko định hướng, được phát hiện nay (1857). Khái niệm về bề mặt Riemann, đóng góp một vai trò đặc trưng trong lý thuyết, vẫn được giới thiệu (1851). Từ kết cấu liên kết cũng lần thứ nhất xuất hiện tại trong tài liệu với tư cách là tiêu đề của một cuốn sách nhỏ dại được viết vì Listing JB Listings (1808-82) vào khoảng thời gian 1847. Các bề mặt cong tiếp theo là C. Jordan, Schläfli L. Schläfli (1814-95), Dick WFAvon Dyck (1856-1934) và những người khác, với vào thời điểm cuối thế kỷ 19, thuyết đồng cấu bề mặt kín đã làm được phân loại. Sẽ hoàn thành. Về mặt đường cong, định lý Jordan rằng "khi một đường cong khép kín đáo không giao với bao gồm nó nằm tại một mặt phẳng, nó phân chia mặt phẳng thành nhị vùng, bên phía trong và bên ngoài" được chứng minh (1893), với tính tiếp tục lấp đầy bên trong hình vuông . Đường cong được phạt hiện vày G. Peano (1890), và tư tưởng về đường cong cùng kích thước đang trở thành một vấn đề nan giải. Trong bài giảng trên, Lehman đề nghị đưa ra tư tưởng đa tạp n chiều để mở rộng khái niệm không khí và suy xét về hình học tập của nó, với Betti E. Betti (1823-92) đã tiếp diễn ý tưởng đó. Chúng tôi có được khái niệm về số Betti là không bao giờ thay đổi tôpô đại diện cho năng lực kết nối các chiều của nhiều tạp (1870). Sau dự án công trình tiên phong như vậy, căn nguyên của kết cấu liên kết đã được đặt vị H. Poincaré. Ông xác định rõ ràng một nhiều tạp n chiều , nó nên được để gần không gian Euclid n chiều và điểm trộn của mỗi điểm, nhiều diện nhiều tạp, tức là không đổi trong các hình dạng cơ phiên bản được call là lưới Toka đơn. Rất dễ dàng để xử lý chúng phối kết hợp như các số liệu có thể được kết nối bằng một phương pháp. Sau đó, ông xác định các nhóm tương đồng và các nhóm cơ phiên bản cho khối đa diện với nghiên cứu cấu tạo liên kết của đa tạp (1895). Ý tưởng sử dụng kim chỉ nan nhóm trong đại số để nghiên cứu tính liên tiếp của các hình thực sự mang ý nghĩa đột phá, và kết cấu liên kết đang trở thành một phương thức nghiên cứu trẻ trung và tràn trề sức khỏe ở đây. Phương pháp này được kế thừa bởi LEJ Broel, tiếp theo là Veblen O. Veblen (1880-1960), Alexander JW Alexander, S. Lefschetz và những người dân khác trong số những năm 1920, và được tổng quát tháo hóa một phương pháp chặt chẽ. Rộng nữa, thông qua quy trình này, định lý điểm cố định và thắt chặt đã được thu được với tầm đặc biệt quan trọng của kết cấu liên kết đối với hầu như các nghành toán học đã làm được công nhận. Chủ yếu G. Cantor, bạn sáng lập ra định hướng tập hợp, bạn đã có công phệ trong việc hình thành tôpô cùng với Poincare. Ông reviews các có mang pha như điểm giới hạn, tập đúng theo mở cùng tập hòa hợp đóng cho những tập hòa hợp điểm tổng quát trong không khí Euclid n chiều, cùng thành lập định hướng tập hợp điểm, tức là lý thuyết pha trong không gian Euclide (1879-84). ). Trong rứa kỷ 20, triết lý tập thích hợp điểm được M. Frechet (1906) bao gồm thành lý thuyết không gian metric, và xa hơn là triết lý không gian trộn của F. Hausdorf et al. Giữa những năm 20. Kết quả là kim chỉ nan về số lượng giới hạn và tính tiếp tục được cách tân và phát triển trên không khí trừu tượng, và cùng với đó, các đường cong, kích thước, những nhóm tương đồng, v.v. được xác định cho không gian tôpô, và bản chất của bọn chúng đã được làm rõ. Đặc biệt, bạn ta thấy rằng nhóm tương đồng là bất biến ngay cả với một bản đồ được điện thoại tư vấn là tương đương đồng hình, rộng rộng so cùng với tính đồng hình cùng không nhất thiết phải tất cả sự khớp ứng một-một, và phân tích về phép đồng hình sẽ trở buộc phải tích cực. Một nhóm đồng tính, là việc tổng quát của tập thể nhóm cơ bản, được chuyển ra do Hurewicz (1904-56) (1935), và nghiên cứu về hiện tượng lạ đồng hình đã được thực hiện bằng cách sử dụng nó như 1 vũ khí, và công dụng đã góp phần giải quyết những vấn đề khác biệt trong toán học. ..
Hình học hiện tại đạikể từ Poincaré, nghiên cứu về đa tạp dành được rất ít hiện đại ngoại trừ phân tích về tính chất tương đồng và nhiều tạp cha chiều. Mặc dù nhiên, kể từ năm 1940, khi định nghĩa đa tạp rành mạch được tùy chỉnh cấu hình và định nghĩa bó sợi được giới thiệu, nghiên cứu và phân tích về nhiều tạp sẽ tiến triển bằng cách áp dụng triết lý tương đồng cùng tương đồng. Đặc biệt là vào cuối trong những năm 1950, những vấn đề quan trọng đặc biệt với đa tạp theo lần lượt được giải quyết. Mặc dù nhiên, tía chiều cùng khó hơn cả chiều cao bất ngờ đa tạp tứ chiều được đề cập, giả dụ được thu gọn gàng trong bất kỳ đường cong đóng góp nào tại điểm M 1 bên trên M, M là hình cầu ba chiều. Poincare's lừng danh phỏng đoán rằng nó sẽ cùng pha với cũng không được giải quyết. Kể từ khi hình học vi phân được cách tân và phát triển với phương tiện chính là phép tính vi phân, đa số các đối tượng người dùng nghiên cứu vớt đều liên quan đến các tính chất toàn bộ của không gian, nhưng mà trong thời hiện nay đại, fan ta chăm chú đến các tính chất của các hình nói bình thường và phép tính vi phân. Hình học cũng khá được phát triển trên đa tạp. Ở đó fan ta nghiên cứu lý thuyết về những đa tạp biệt lập có kết cấu như dạng vi phân bậc hai, cấu tạo phức, liên kết, nhất là nghiên cứu mối quan hệ giữa đặc điểm hình học vi phân và tính chất tôpô. Nó vẫn trở thành. Bằng phương pháp tổng quát mắng hóa các đường cong tứ giác và mặt phẳng tứ giác, tập hợp các nghiệm tầm thường của một số trong những phương trình đại số trong không khí chiều cao được hotline là kiểu như đại số, với toán học tập để phân tích điều này được gọi là hình học tập đại số. Bởi nó chủ yếu sử dụng đại số như 1 phương tiện, nó ở trong về lĩnh vực đại số. Ngày nay, nhiều toán học được trở nên tân tiến trên tiến trình đa tạp, cùng hình học tập thấm nhuần toán học nói thông thường và phát triển một cách hữu cơ liên quan đến đại số và giải tích. Minoru Naooka