Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ rằng 7 đẳng thức cơ phiên bản mà học viên từ lớp 8 trở lên cần phải nắm vững vàng để áp dụng vào giải các bài toán đại số.
Bạn đang xem: Hằng đẳng thức 3 số
Ngoài ra còn tồn tại những hằng đẳng thức mở rộng. Toàn bộ những đẳng thức này rất nhiều được sử dụng trong các bài toán tương quan đến biến hóa biểu thức, nhân chia các đa thức với giải phương trình tại cấp học thcs và THPT.
Ứng dụng thực tế nhất của việc ghi nhớ 7 hằng đẳng thức là giúp chúng ta phân tích nhiều thức thành nhân tử một biện pháp nhanh gọn. Và dưới đây là bảy hẳng đẳng thức xứng đáng nhớ.
Tóm tắt
1. Bình phương của 1 tổng
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 = (a – b)2 + 4abGhi nhớ: Bình phương của một tổng bởi bình phương của số thứ nhất cộng với nhị lần tích của số thứ nhất nhân cùng với số máy hai, cùng với bình phương của số trang bị hai2. Bình phương của 1 hiệu
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2 = (a + b)2 – 4abGhi nhớ: Bình phương của một hiệu bằng bình phương của số thứ nhất trừ đi hai lần tích của số thứ nhất nhân số thiết bị hai sau đó cộng bình phương với số máy hai.3. Hiệu 2 bình phương
a2 – b2 = (a – b)(a + b)Ghi nhớ: Hiệu hai bình phương của hai số bằng tổng hai số kia nhân với hiệu nhị số đó.4. Lập phương của 1 tổng
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3Ghi nhớ: Lập phương của một tổng nhị số bằng lập phương của số trước tiên cộng với bố lần tích bình phương số đầu tiên nhân số thiết bị hai cùng với ba lần tích số thứ nhất nhân với bình phương số vật dụng hai cùng với lập phương số sản phẩm hai.5. Lập phương của một hiệu
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3Ghi nhớ: Lập phương của một hiệu nhì số bởi lập phương của số đầu tiên trừ đi tía lần tích bình phương của số thứ nhất nhân cùng với số thứ hai cộng với bố lần tích số đầu tiên nhân với bình phương số trang bị hai trừ đi lập phương số vật dụng hai6. Tổng 2 lập phương
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) = (a + b)3 – 3a2b – 3ab2 = (a + b)3 – 3ab(a + b)Ghi nhớ: Tổng của nhị lập phương nhì số bằng tổng của nhị số đó nhân với bình phương thiếu hụt của hiệu hai số đó7. Hiệu 2 lập phương
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) = (a – b)3 + 3a2b – 3ab2 = (a – b)3 + 3ab(a – b)Ghi nhớ: Hiệu của nhị lập phương của nhị số bởi hiệu hai số kia nhân cùng với bình phương thiếu thốn của tổng của nhị số đó.
Hằng đẳng thức mở rộng
Dưới đó là các hệ thức liên quan được thay đổi từ 7 hằng đẳng thức cơ bạn dạng trên.
Hằng đẳng thức mở rộng với hàm bậc 2
(a – b – c)2 = a2 + b2 + c2 – 2ab + 2bc – 2ac(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac(a + b – c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab – 2bc – 2acHằng đẳng thức không ngừng mở rộng với hàm bậc 3
a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(a + c)a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac)(a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 = 3(a – b)(b – c)(c – a)(a + b)(b + c)(c + a) – 8abc = a(b – c)2 + b(c – a)2 + c(a – b)2(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) – abcHằng đẳng thức dạng tổng quát
an + bn = (a + b)(an-1 – an-2 b + an-3 b2 – an-4 b3 + … + a2bn-3 – abn-2 + bn-1)an – bn = (a – b)(an-1 + an-2 b + an-3 b2 + an-4 b3 + … + a2bn-3 + abn-2 + bn-1)Với n là số lẻ ở trong N (tập thích hợp số từ nhiên)Nhị thức Newton
Với a,b trực thuộc tập thích hợp số thực (R), n ở trong tập hòa hợp số tự nhiên dương (N*)
Trong phần lớn hằng đẳng thức này, 1 bên dấu bởi là tổng hoặc hiệu và mặt gọi lại là tích hoặc lũy thừa. đông đảo đẳng thức này luôn được sử dụng thường xuyên trong những bài toán liên quan đến giải phương trình, nhân phân chia đa thức, biến đổi biểu thức tại từ cấp 2 đến cấp 3 cùng 7 hằng đẳng thức lưu niệm được in trong sách giáo khoa cùng được in không ít trong bìa sau của vở viết cấp cho II hoặc cấp III của học sinh.
Xem thêm: Tuyển Chọn Bài Tập Trắc Nghiệm Hình Học Không Gian 11, Trắc Nghiệm Hình Học 11 Có Đáp Án
Mẹo nhớ các hằng đẳng thức
Nếu để ý, ta rất có thể nhận thấy rằng, các hằng đẳng thức: Bình phương của 1 tổng cùng 1 hiệu; Lập phương của 1 tổng cùng 1 hiệu; Tổng cùng Hiệu 2 lập phương đều khá tựa như nhau, chỉ khác biệt ở dấu. Vị vậy điều cần lưu ý ở đây chính là ghi nhớ vết của chúng, từ kia ta hoàn toàn có thể học ở trong một cách đúng mực và không xẩy ra nhầm lẫn.
Đối với hằng đẳng thức Lập phương của một hiệu và Tổng 2 lập phương thì cần xem xét đó thiết yếu là:
“ Hiệu các lập phương bởi tích của hiệu nhì số với bình phương thiếu hụt của một tổng”“Tổng những lập phương bằng tích của tổng nhị số và bình phương thiếu hụt của một hiệu”