MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

I. Phương trình hàng đầu đối với 1 hàm số lượng giác

A. Phương pháp


*
trong đó
*
là những hằng số
*
*
là một hàm số lượng giác.

Bạn đang xem: Giải phương trình lượng giác thường gặp

Cách giải:Chuyển vế rồi phân chia hai vế của phương trình cho
*
, đem đến phương trình lượng giác cơ bản.

B. Bài bác tập ví dụ

Ví dụ 1:Gọi

*
là tập nghiệm của phương trình
*
. Xác định nào sau đấy là đúng?

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:

Ta có

*
.

*

Ta thấy với họ nghiệm

*
, thay
*
ta được
*
.

Chọn B.

Ví dụ 2:Số vị trí điểm biểu diễn những nghiệm của phương trình

*
trên đường tròn lượng giác là?

A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.

Lời giải:

Ta có

*

*

*
.

Do đó bao gồm 4 điểm biểu diễn nghiệm của phương trình vẫn cho trên phố tròn lượng giác là

*
.

Chọn A.

Ví dụ 3:Phương trình

*
có nghiệm là

A.

*
. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

*
.

*

Chọn A.

Ví dụ 4:Nghiệm của phương trình

*

A.

*
.B.
*
.C.
*
.D.
*
.

Lời giải:

*

*

*

Chọn B.

Ví dụ 5:Giải phương trình

*
.

A.

*
. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

Ta có:

*

*
\+2left< (sin ^2x+cos ^2x)^2-2sin ^2xcos ^2x ight>endarray" />

*

*

*

*

*

*

Chọn C.

Ví dụ 6:Phương trình

*
có nghiệm là

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:

Điều kiện:

*
*

Phương trình tương đương:

*

*

*

*
.

*

Kết phù hợp với điều khiếu nại ta được nghiệm

*
.

Chọn B.

II. Phương trình bậc nhất đối với
*
*

A. Phương pháp


Định nghĩa:Phương trình bậc nhất đối với
*
*
là phương trình tất cả dạng:

*


Cách giải:Điều kiện nhằm phương trình gồm nghiệm:
*
.

Chia nhì vế của phương trình cho

*
ta được:

*

Do

*
nên đặt
*
.

Khi kia phương trình trở thành:

*
.
*

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1:Cho phương trình

*
. Tìm toàn bộ các quý hiếm thực của
*
để phương trình có nghiệm.

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:

*
có nghĩa
*
(1)

Phương trình bao gồm nghiệm

*
(2)

Từ (1), (2) suy ra không tồn tại giá trị nào của

*
để phương trình có nghiệm.

Ví dụ 2:Nghiệm của phương trình

*

A.

*
. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

*

*

*

Chọn D.

Ví dụ 3:Phương trình nào tiếp sau đây vô nghiệm:

A.

*
. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

Dựa vào điều kiện có nghiệm của phương trình

*
*
.

Chọn A.

Ví dụ 4:Số nghiệm của phương trình

*
trên khoảng
*

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Lời giải:

*
*

*

Trên khoảng

*
phương trình gồm một nghiệm là
*
.

Chọn B.

Ví dụ 5:Giải phương trình

*
.

A.

*
. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

Điều kiện:

*

*
.

Phương trình

*
" />

*

*

*

*

Kết hợp với điều khiếu nại ta được nghiệm

*
.

Chọn B.

Ví dụ 6:Giải phương trình

*
.

A.

*
.B.
*
.

C.

*
.D.
*
.

Lời giải:

Phương trình

*
+sqrt3sin 4x=2" />

*

*

*

*

*

*

*

Chọn D.

III. Phương trình bậc hai đối với một hàm con số giác

A. Phương pháp


Định nghĩa:Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình bao gồm dạng:

*
trong đó
*
là những hằng số
*
*
là một hàm con số giác.

Cách giải:Đặt biểu thức lượng giác có tác dụng ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) rồi giải phương trình bậc nhì theo ẩn phụ này. Sau cuối đưa về giải các phương trình lượng giác cơ bản.

B. Bài xích tập ví dụ

Ví dụ 1:Nghiệm của phương trình

*
thuộc khoảng
*
là?

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:

Đặt

*
, phương trình trở thành:
*
.


Với
*
ta có:
*
.

Do

*
ta có:
*
.

Do

*
có nghiệm là

A.

*
. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

Điều kiện:

*
(*)

Phương trình

*

*

*
(thỏa mãn điều kiện (*))

Chọn D.

Ví dụ 3:Phương trình

*
có nghiệm là

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:

Phương trình

*

*

*
.

*

Chọn C.

Ví dụ 4:Tìm toàn bộ các cực hiếm thực của tham số

*
để phương trình
*
có nghiệm bên trên khoảng
*
?

A.

*
.B.

Phương trình

*
.

*

Nhận thấy phương trình

*
không gồm nghiệm bên trên khoảng
*
. Do đó phương trình vẫn cho gồm nghiệm ở trong khoảng
*
khi còn chỉ khi phương trình
*
có nghiệm thuộc
*
*
*

A. Phương pháp

Định nghĩa:Phương trình bậc nhì đối với
*
*
là phương trình bao gồm dạng:

*


Cách giải:
+ kiểm soát xem
*
có là nghiệm của phương trình không.
+ Khi
*
, phân tách hai vế của phương trình cho
*
ta nhận được phương trình:
*

Đây là phương trình bậc nhị đối với

*
mà ta đã biết phương pháp giải.


Chú ý:
+ Phương trình dạng
*
ta làm như sau:
+ Đối cùng với phương trình sang trọng bậc ba:
*

thì bí quyết giải cũng hoàn toàn tương trường đoản cú như trên.

B. Bài xích tập ví dụ

Ví dụ 1:Cho phương trình

*
. Mệnh đề nào sau đó là sai?

A.

*
không là nghiệm của phương trình.

B. Nếu phân tách hai vế của phương trình cho

*
thì ta được phương trình
*
.

C. Nếu phân tách 2 vế của phương trình cho

*
thì ta được phương trình
*
.

D. Phương trình sẽ cho tương đương với

*
.

Lời giải:

Với
*
.Thay vào phương trình ta thấy thỏa mãn. Vậy A đúng.
Chia cả nhị vế của phương trình cho
*
ta được:

*
*

*

Vậy B đúng.


Chia cả nhị vế của phương trình cho
*
ta được:

*
*

*

Vậy C sai.


Phương trình
*
.

*

Vậy D đúng.

Chọn C.

Ví dụ 2:Phương trình

*
tương đương cùng với phương trình làm sao sau đây?

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:


Xét
*
, vắt vào phương trình ta được:
*
(vô lí).

Do đó

*
không là nghiệm của phương trình.


Với
*
, phân tách cả nhì vế của phương trình cho
*
ta được:

*

*

*

*

Chọn D.

Ví dụ 3:Số nghiệm của phương trình

*
trên khoảng
*

A. 2. B. 4. C. 6. D. 8.

Lời giải:

Xét
*
, cầm vào phương trình ta được:
*
(vô lí). Bởi đó
*
không là nghiệm của phương trình.Xét
*
, phân chia cả nhì vế của phương trình cho
*
ta được:

*
*


+ Với
*
:

*
:

*
để phương trình sau bao gồm nghiệm:

*

A. 2. B. 1. C. 0. D. Vô số.

Lời giải:

Xét
*
, rứa vào phương trình ta được:
*
. Phương trình gồm nghiệm khi và chỉ còn khi
*
.Xét
*
, chia cả hai vế của phương trình cho
*
ta được:

*

Nếu
*
ta có:
*
(vô lí).Nếu
*
, phương trình (*) bao gồm nghiệm
*
thì phương trình đang cho tất cả nghiệm. Vì vậy có 2 giá trị nguyên của
*
thỏa mãn yêu mong bài.

Cách 2:

Phương trình

*

*

Phương trình có nghiệm

*

*

Chọn A.

V. Phương trình chứa
*
*

A. Phương pháp


Định nghĩa:Là phương trình bao gồm dạng:
*

Cách giải:Đặt
*
(điều kiện
*
). Biểu diễn
*
theo
*
ta được phương trình cơ bản.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1:Cho

*
thỏa mãn phương trình
*
. Tính
*
.

A.

*
hoặc
*
.

B.

*
hoặc
*
.

C.

*
hoặc
*
.

D.

*
.

Lời giải:

Đặt

*
.

Ta có

*
*

Phương trình trở thành:

*
.

Với

*
, ta được
*
.

Với

*
, ta được
*
.

Chọn B.

Ví dụ 2:Phương trình

*
có nghiệm là

A.

*
. B.
*
.

C.

*
. D.
*
.

Lời giải:

Phương trình

*
.

Đặt

*
" />.

Xem thêm: Ngoại Thương Là Ngành Gì - Tầm Quan Trọng Ngoại Thương Trong Nền Kinh Tế

*
.

Phương trình trở thành:

*

*

Với

-->