Phương trình đựng căn – Bất phương trình chứa căn

Các dạng phương trình đựng căn bậc hai, bất phương trình cất căn thức bậc hai vẫn là một dạng toán xuất hiện nhiều trong những kì thi học tập kì, thi tuyển sinh vào lớp 10, thi THPTQG.

Bạn đang xem: Giải phương trình căn bậc 2 nâng cao

Để giải được phương trình, bất phương trình cất căn, những em học sinh cần nắm rõ kiến thức sau:

1. Chế độ chung nhằm giải phương trình, bất phương trình đựng căn bậc 2

Nguyên tắc phổ biến để khử vệt căn thức là bình phương 2 vế của một phương trình, bất phương trình. Tuy nhiên, để bảo vệ việc bình phương này cho chúng ta một phương trình, bất phương trình mới tương tự thì cần được có điều kiện cả 2 vế pt, bpt các không âm.

Do đó, về bản chất, chúng ta lần lượt bình chọn 2 trường hợp âm, với không âm của các biểu thức (thường là một trong vế của phương trình, bất phương trình đang cho).

2. Những dạng phương trình chứa căn, bất phương trình chứa nền tảng bản

Có khoảng tầm 4 dạng phương trình đựng căn, bất phương trình chứa căn cơ bản đó là

*

3. Biện pháp giải phương trình cất căn, biện pháp giải bất phương trình chứa căn

Chi ngày tiết về cách thức giải những dạng phương trình, bất phương trình đựng căn, xin mời thầy cô và các em học sinh theo dõi trong đoạn clip sau đây.

4. Một vài ví dụ về phương trình và bất phương trình chứa căn thức

Ví dụ 1. Giải phương trình

$$sqrt 4 + 2x – x^2 = x – 2$$

Hướng dẫn. Phương trình vẫn cho tương đương với

<eginarrayl,,,,,,,left{ eginarraylx – 2 ge 0\4 + 2x – x^2 = (x – 2)^2endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge 2\x^2 – 3x = 0endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge 2\x = 0, vee ,x = 3endarray ight. \ Leftrightarrow x = 3endarray> Vậy phương trình vẫn cho có nghiệm tốt nhất $x = 3$.

Ví dụ 2. Giải phương trình

Hướng dẫn. Phương trình đang cho tương tự với

<eginarrayl,,,,,,,left{ eginarraylx – 1 ge 0\25 – x^2 = (x – 1)^2endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge 1\2x^2 – 2x – 24 = 0endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge 1\x = 4, vee ,x = – 3endarray ight. \ Leftrightarrow x = 4endarray> Vậy phương trình bao gồm nghiệm nhất $x=4$.

Ví dụ 3. Giải phương trình

Hướng dẫn. Phương trình đang cho tương đương với

<eginarrayl,,,,,,,,sqrt 3x^2 – 9x + 1 = x – 2\, Leftrightarrow left{ eginarraylx – 2 ge 0\3x^2 – 9x + 1 = (x – 2)^2endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge 2\2x^2 – 5x – 3 = 0endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge 2\x = 3 vee ,x = – frac12endarray ight. \ Leftrightarrow x = 3endarray> Vậy phương trình đã cho bao gồm nghiệm độc nhất $x = 3$.

Ví dụ 4. Giải phương trình $$sqrt x^2 – 3x + 2 = x – 1$$

Hướng dẫn. Phương trình sẽ cho tương đương với $$eginarrayl,,,,,,,left{ eginarraylx – 1 ge 0\x^2 – 3x + 2 = left( x – 1 ight)^2endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge 1\x = 1endarray ight. \ Leftrightarrow x = 1endarray$$ Vậy phương trình đang cho gồm nghiệm độc nhất $x = 1$.

Ví dụ 5. Giải phương trình $$sqrt x^2 – 5x + 4 = sqrt – 2x^2 – 3x + 12 $$

Hướng dẫn. Phương trình đang cho tương đương với $$eginarrayl,,,,,,,left{ eginarraylx^2 – 5x + 4 ge 0\x^2 – 5x + 4 = – 2x^2 – 3x + 12endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylleft( x – 1 ight)left( x – 4 ight) ge 0\3x^2 – 2x – 8 = 0endarray ight. Và \Leftrightarrow left{ eginarraylleft< eginarraylx le 1\x ge 4endarray ight.\left< eginarraylx = 2\x = frac – 86endarray ight.endarray ight. Leftrightarrow x = frac – 86endarray$$ Vậy phương trình đang cho gồm nghiệm tuyệt nhất $x = frac-86$.

Ví dụ 6. Giải bất phương trình $$x + 1 ge sqrt 2left( x^2 – 1 ight) $$

Hướng dẫn. Bất phương trình đang cho tương đương với $$eginarrayl,,,,,,,left{ eginarraylx + 1 ge 0\left( x + 1 ight)^2 ge 2left( x^2 – 1 ight) ge 0endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge – 1\x^2 – 2x – 3 le 0\x^2 – 1 ge 0endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge – 1\– 1 le x le 3\left< eginarraylx le – 1\x ge 1endarray ight.endarray ight. Leftrightarrow left< eginarraylx = – 1\1 le x le 3endarray ight.endarray$$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = left< 1;3 ight> cup left – 1 ight$.

Ví dụ 7. Giải bất phương trình $$2x – 5 left{ eginarrayl2x – 5 – x^2 + 4x – 3 ge 0endarray ight. Và left( 1 ight)\left{ eginarrayl2x – 5 ge 0\left( 2x – 5 ight)^2 endarray ight. & left( 2 ight)endarray ight.$$

Hệ bất phương trình (1) tương tự với $$left{ eginarraylx 1 le x le 3endarray ight. Leftrightarrow 1 le x Hệ bất phương trình (2) tương tự với $$eginarrayl,,,,,,,left{ eginarraylx ge frac52\5x^2 – 24x + 28 endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge frac52\2 endarray ight. Leftrightarrow frac52 le x endarray$$

Lấy phù hợp tập nghiệm của 2 trường hòa hợp trên, được đáp số cuối cùng là $S = left< 1;frac145 ight)$.

Ví dụ 8. Giải phương trình $$sqrt x + 4 – sqrt 1 – x = sqrt 1 – 2x $$

Hướng dẫn. Phương trình sẽ cho tương đương với

$$eginarrayl,,,,,,,sqrt x + 4 = sqrt 1 – 2x + sqrt 1 – x \Leftrightarrow left{ eginarrayl– 4 le x le frac12\x + 4 = 1 – x + 2sqrt (1 – x)(1 – 2x) + 1 – 2xendarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarrayl– 4 le x le frac12\sqrt (1 – x)(1 – 2x) = 2x + 1endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarrayl– 4 le x le frac12\x ge – frac12\(1 – x)(1 – 2x) = 4x^2 + 4x + 1endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarrayl– frac12 le x le frac12\x = 0 vee x = – frac72endarray ight. Leftrightarrow x = 0endarray$$ Vậy phương trình vẫn cho bao gồm nghiệm duy nhất $x = 0$.

Ví dụ 9. Giải phương trình $$sqrt 3x + 1 – sqrt 2x – 1 = sqrt 6 – x $$

Hướng dẫn. Điều kiện $left{ eginalign và 3x+1ge 0 \ & 2x-1ge 0 \ & 6-xge 0 \ endalign ight.Leftrightarrow left{ frac12le xle 6 ight.$

Với đk đó, phương trình đã cho tương tự với $$eginarrayl,,,,,,,sqrt 3x + 1 – sqrt 2x – 1 = sqrt 6 – x \Leftrightarrow ,,,sqrt 3x + 1 = sqrt 6 – x + sqrt 2x – 1 \Leftrightarrow ,,,3x + 1 = 6 – x + 2x – 1 + 2sqrt 6 – x sqrt 2x – 1 \Leftrightarrow ,,,2x – 4 = 2sqrt 6 – x sqrt 2x – 1 \Leftrightarrow ,,x – 2 = sqrt 6 – x sqrt 2x – 1 \Leftrightarrow ,,x^2 – 4x + 4 = – 2x^2 + 13x – 6,,,(x ge 2)\Leftrightarrow ,,3x^2 – 17x + 10 = 0\Leftrightarrow left< eginarraylx = 5\x = frac23left( l ight)endarray ight.endarray.$$ Vậy phương trình vẫn cho bao gồm nghiệm $x=5$.

Ví dụ 10.

Xem thêm: Hộ Amđ Là Gì Trên Facebook ? Hộ Amđ Có Nghĩa Là Gì Trên Facebook

Giải bất phương trình $$2sqrtx-3-frac12sqrt9-2xge frac32$$

Hướng dẫn. Điều khiếu nại $left{ eginalign & x-3ge 0 \ & 9-2xle 0 \ endalign ight.Leftrightarrow 3le xle frac92$

Với điều kiện trên, bất phương trình vẫn cho tương đương với <eginarrayl,,,,,,,2sqrt x – 3 ge frac12sqrt 9 – 2x + frac32\Leftrightarrow 4left( x – 3 ight) ge frac14left( 9 – 2x ight) + frac94 + frac32sqrt 9 – 2x \Leftrightarrow 16x – 48 ge 18 – 2x + 6sqrt 9 – 2x \Leftrightarrow 9x – 33 ge 3sqrt 9 – 2x \Leftrightarrow left{ eginarrayl18x – 64 ge 0\left( 9x – 33 ight)^2 ge 9left( 9 – 2x ight)endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge frac329\81x^2 – 576x + 1008 ge 0endarray ight.\Leftrightarrow left{ eginarraylx ge frac329\left< eginarraylx le frac289\x ge 4endarray ight.endarray ight. Leftrightarrow x ge 4endarray>

Kết phù hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là $S=left< 4;,frac92 ight>$.

Xem các ví dụ khác nữa trên đây: Phương pháp biến hóa tương đương giải phương trình chứa căn