Phương trình lôgarit là phương trình tất cả chứa ẩn số trong biểu thức dưới vết lôgarit.

Bạn đang xem: Giải bài tập về logarit

2. Phương trình lôgarit cơ bản

• loga x = b ⇔ x = ab (0 a f(x) = loga g(x) 

*

3. Các bước giải phương trình logarit bằng cách đưa về thuộc cơ số

* cách 1. Tìm điều kiện của phương trình (nếu có).

* cách 2. áp dụng định nghĩa cùng các đặc điểm của lôgarit để mang các lôgarit có mặt trong phương trình về thuộc cơ số.

* bước 3.Biến đổi phương trình về phương trình lôgarit cơ phiên bản đã biết phương pháp giải.

* bước 4. Kiểm tra điều kiện và kết luận.

Ví dụ 1: Tính các giá trị sau: 

*

Lời giải

*

Ví dụ 2:

*

Lời giải

*

Ví dụ 3: Giải phương trình

*

Lời giải

*

Tập nghiệm của phương trình đã cho là 1;2.

Dạng 2: Giải phương trình logarit bằng cách mũ hóa

Phương trình loga=logb (với a>0;a≠1)

Ta đặt loga=logb=t

*

Khử x trong hệ phương trình để thu được phương trình ẩn t, giải pt này kiếm tìm t, từ kia tìm x

Ví dụ 1: Giải những phương trình sau:

a) log3(x+1)=log2x. 

b) log5x=log7(x+2).

Lời giải

*

Ví dụ 2:

Giải các phương trình sau:

*

Lời giải:

*

Dạng 3: Giải phương trình logarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Giải phương trình: f = 0 (0 ag(x) (*).

• bước 2: Tìm điều kiện của t (nếu có).

• bước 3: Đưa về giải phương trình f(t) = 0 đã biết cách giải.

•Bước 4: vậy vào (*) nhằm tìm x.

Một số chú ý quan trọng khi biến đổi

1) logaf2(x) = 2loga|f(x)|

2) logaf2k(x) = 2kloga|f(x)|

3) logaf2k+1(x) = (2k+1)logaf(x)

4) loga(f(x)g(x)) = loga|f(x)| + loga|g(x)|

*
*
*

Ví dụ 3:Giải phương trình

*

Lời giải:

*

Dạng 4: áp dụng tính 1-1 điệu nhằm giải phương trình logarit 

Giả sử phương trình bao gồm dạng f(x) = g(x) (*)

• cách 1: Nhẩm được một nghiệm x0 của phương trình (thông thường chọn nghiệm lân cận 0).

• cách 2: Xét những hàm số y = f(x)(C1) và y = g(x)(C2). Ta cần chứng tỏ một hàm đồng biến chuyển và một hàm nghịch biến chuyển hoặc một hàm 1-1 điệu cùng một hàm ko đổi. Khi ấy (C1) và (C2) giao nhau trên một điểm duy nhất tất cả hoành độ x0. Đó đó là nghiệm nhất của phương trình (*).

Hoặc chuyển phương trình về dạng f(x) = 0

• bước 1: Nhẩm được hai nghiệm x1; x2 của phương trình (thường chọn nghiệm cạnh bên 0).

• bước 2: Xét các hàm số y = f(x). Ta cần chứng tỏ f"(x) = 0 bao gồm nghiệm duy nhất cùng f"(x) đổi vệt khi đi qua nghiệm đó. Từ trên đây suy ra phương trình f(x) = 0 có khá nhiều nhất hai nghiệm.

Hoặc:

• cách 1: biến hóa phương trình về dạng f(u) = f(v) .

• cách 2: chứng minh hàm f(x)là hàm đơn điệu, suy ra u = v

Ví dụ 1: Giải phương trình log3 (x+2) + log7 (3x+4) = 2

Lời giải

*

Phương trình tất cả một nghiệm x = 1

f(x) = log3(x+2) + log7(3x+4) ⇒ f"(x) > 0, nên f(x) đồng trở thành trên tập xác định ;g(x)=2là hàm hằng. Cần phương trình đang cho tất cả một nghiệm độc nhất vô nhị x = 1

Ví dụ 2: Giải phương trình log2 (x2-x-6)+x=log2 (x+2)+4

Lời giải

*

Phương trình (2)có một nghiệm x = 4

f(x) = log2(x-3), đồng đổi mới trên tập xác định; g(x) = 4-x nghịch vươn lên là trên tập xác định. đề xuất phương trình đang cho tất cả một nghiệm tuyệt nhất x = 4.

Ví dụ 3:

Giải phương trình

*

Lời giải

*

⇔ log2 (x2-x+1)-log2 (2x2-4x+3) = x2-3x+2 ⇔ log2 (x2-x+1) + (x2-x+1) = log2 (2x2-4x+3)+(2x2-4x+3) (3)

Xét hàm số f(t) = log2 t+t tất cả f"(t) > 0 cần hàm số đồng biến hóa trên tập xác định. Khi đó có f(x2-x+1) = f(2x2-4x+3) ⇒ x2-x+1 = 2x2-4x+3 ⇔ x2-3x+2=0

*

Nên phương trình sẽ cho gồm tập nghiệm là 1;2

Dạng 5: cách giải phương trình logarit chứa tham số

♦ Dạng toán kiếm tìm m để phương trình bao gồm số nghiệm mang đến trước:

• cách 1. Bóc tách m ra khỏi biến số x và đưa về dạng f(x)=A(m).

• cách 2. Khảo sát điều tra sự biến thiên của hàm số f(x) bên trên D.

• cách 3. Dựa vào bảng biến thiên nhằm xác định giá trị tham số A(m) để đường thẳng y=A(m) nằm ngang cắt đồ thị hàm số y=f(x).

• cách 4. Kết luận những giá trị của A(m) để phương trình f(x)=A(m) có nghiệm (hoặc có k nghiệm) trên D.

♦ lưu lại ý

• Nếu hàm số y=f(x) có giá trị lớn số 1 và giá trị nhỏ nhất trên D thì giá trị A(m) cần tìm là những m thỏa mãn:

*

• Nếu bài toán yêu cầu tìm tham số để phương trình có k nghiệm phân biệt, ta chỉ cần dựa vào bảng biến thiên để xác định thế nào cho đường thẳng y=A(m) nằm ngang cắt đồ thị hàm số y=f(x) tại k điểm phân biệt.

Hoặc sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai với để ý sau.

♦ nhắc lại: Phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn

*

Hoặc sử dụng định lí hòn đảo về dấu tam thức bậc hai:

*

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm tham số thực m để phương trình: log23 x+log3x+m = 0 tất cả nghiệm.

Lời giải

Tập xác định D=(0;+∞).

Đặt log3x=t. Lúc đó phương trình biến chuyển t2+t+m=0 (*)

Phương trình sẽ cho có nghiệm khi phương trình (*) có nghiệm: Δ=1-4m ≥ 0 ⇔ m ≤ 1/4.

Vậy để phương trình có nghiệm thực thì: m ≤ 1/4.

Xem thêm: Thế Nào Là Tỉ Số Của Hai Số Hữu Tỉ Số Của Hai Số Hữu Tỉ Cho Ví Dụ

Ví dụ 2: Tìm thông số m nhằm phương trình log2(5x-1)log4(2.5x-2)=m có nghiệm thực x ≥ 1.