II. Bài bác tập áp dụng
Bài tập 1: Cho số phức $z$ tán thành $|z-3-4i|=sqrt5.$ hotline M và m theo thứ tự là giá bán trị lớn nhất và giá bán trị nhỏ tuổi nhất của biểu thức $P=|z+2|^2-|z-i|^2.$ kiếm tìm môđun của số phức $w= M+mi$.
Bạn đang xem: Giá trị lớn nhất nhỏ nhất số phức
Bài giải:
Ta tất cả $|z-3-4i|=sqrt5 Leftrightarrow (x-3)^2+(y-4)^2=5 ; (C)$
Tính toán ta được $P=|z+2|^2-|z-i|^2= 4x+2y+3.$ Xét mặt đường thẳng $d: 4x+2y+3-P=0.$
Đường trực tiếp d và con đường tròn (C) có điểm phổ biến khi còn chỉ khi
$d(I; d)leq R Leftrightarrow |23-P|leq 10 Leftrightarrow 13leq Pleq 33.$
Vậy $M=33$; $m=13.$ lúc đó $w=33+13i$ nên $|w|=sqrt1248.$
Bài tập 2: cho số phức $z$ hợp ý $|z^2-2z+5|=|(z-1+2i)(z+3i-1)|$. Tính $min |w|$ cùng với số phức $w=z-2+2i.$
Bài giải:
Ta có $z^2-2z+5=(z-1)^2+4=(z-1)^2-(2i)^2 =(z-1+2i)(z-1-2i).$
Khi đó, trả thiết $ Leftrightarrow |(z-1+2i)(z-1-2i)|=|(z-1+2i)(z+3i-1)|$
$Leftrightarrow left<eginarraylz=1-2i \|z-1-2i|=|z+3i-1|endarray ight.$
TH1: cùng với z=1-2i, ta có w=z-2+2i=-1. Vậy $|w|=1$.
TH2: với $|z-1-2i|=|z+3i-1|$ (*), đặt z=x+yi, ta có
$(*)Leftrightarrow |x-1+(y-2)i|=|x-1+(y+3)i|$
$Leftrightarrow (x-1)^2+(y-2)^2=(x-1)^2+(y+3)^2 Leftrightarrow y=frac-12$
Do kia $w=z-2+2i=x-frac12i-2+2i=x-2+frac32i Rightarrow |w|=sqrt(x+2)^2+frac94geq frac32.$
Vậy $min |w|=frac32.$
Bài tập 3: đến số phức $z$ hợp ý $|z|=1.$ Tìm giá chỉ trị lớn nhất của biểu thức
$T=|z+1|+2|z-1|$.
Bài giải:
Gọi $z=x+yi Rightarrow M(x; y).$
Và $A(-1; 0), B(1;0)$. Ta tất cả $|z|=1 Rightarrow |x+yi|=1 Leftrightarrow x^2+y^2=1.$
$Rightarrow M$ thuộc con đường tròn đường kính AB.
$Rightarrow MA^2+MB^2=AB^2=4.$ khi đó, theo Bunhiacopxki, ta có
$T=MA + 2MB leq sqrt(1^2+2^2)(MA^2+MB^2)=sqrt5.4=2sqrt5$.
Vậy $Max T= 2sqrt5.$
Bài tập 4: trong những số phức $z$ thoả mãn điều kiện $|z-2-4i|=sqrt5.$ tra cứu Max $|z|$; $min |z|$.
Xem thêm: Dàn Ý Bài Viết Bài Tập Làm Văn Số 3 Lớp 9 Đề 4, Dàn Ý Bài Viết Số 3 Lớp 9 Đề 4 Mới Nhất 2022
Bài giải:
Vì $|z-2-4i|=sqrt5$ buộc phải tập hợp các điểm $M(z)$ là đường tròn $(C)$ tất cả tâm $I(2;4)$ và nửa đường kính $R=sqrt5.$
Vậy $Max |z|=OM=OI+R=sqrt2^2+4^2+sqrt5=3sqrt5.$
$min |z|=ON=OI-R=sqrt2^2+4^2-sqrt5=sqrt5.$
Bài tập 5: trong số số phức $z$ thoả mãn đk $|z-5i|leq 3.$ tìm kiếm số phức có môđun bé dại nhất.