Thiết diện là 1 trong dạng toán cực nhọc và thường gặp mặt trong công tác Toán THPT. Vậy tiết diện là gì? cách làm tính tiết diện Cách xác minh thiết diện của hình hộp như nào? triết lý cách xác minh thiết diện trong quan lại hệ tuy vậy song, vuông góc? những dạng bài tập về diện tích s thiết diện?… vào nội dung bài viết dưới đây, trabzondanbak.com để giúp bạn tổng hợp kiến thức và kỹ năng về chủ thể thiết diện là gì, cùng tò mò nhé!


Mục lục

2 Cách xác định thiết diện trong quan hệ song song cùng vuông góc4 công thức tính thiết diện của một số hình đặc biệt4.1 Cách khẳng định thiết diện của hình trụ

Định nghĩa tiết diện là gì?

Cho hình (mathbbT) với mặt phẳng ( (P) ), phần khía cạnh phẳng của ( (P) ) phía trong (mathbbT) được số lượng giới hạn bởi những giao tuyến sinh ra vày ( (P) ) cắt một số mặt của (mathbbT) được hotline là thiết diện.

Bạn đang xem: Diện tích thiết diện


Theo phương pháp khác, tiết diện được tư tưởng là những đoạn giao tuyến giữa mặt phẳng với hình chóp khi nối nhau sẽ tạo ra một đa giác phẳng. Đó đó là thiết diện (hay còn gọi là mặt cắt) của khía cạnh phẳng cùng với hình chóp đó. 

Ví dụ 1: mang đến hình chóp ( S.ABCD ). Lấy ( M ) là trung điểm ( SA ). Lúc đó mặt phẳng ( (P) ) trải qua ( M ) và song song với phương diện phẳng lòng sẽ cắt hình chóp. Tiết diện là tứ giác ( MNPQ ) với ( N,P,Q ) lần lượt là trung điểm ( SB,SC,SD )

*

Cách xác định thiết diện trong quan lại hệ song song cùng vuông góc

Từ định nghĩa thiết diện là gì, bọn họ cùng nhau tìm hiểu về cách xác định thiết diện trong quan hệ song song, vuông góc. Quan sát chung, để tìm thiết diện tạo do hình (mathbbT) cùng mặt phẳng ( (P) ) ta có tác dụng như sau :

Bước 1: tra cứu giao điểm của phương diện phẳng ( (P) ) với các cạnh của hình (mathbbT). Ta hoàn toàn có thể tìm giao điểm của ( (P) ) với các mặt của hình (mathbbT) rồi từ đó xác định các giao điểm với các cạnh.Bước 2: Nối các giao điểm kiếm được ở trên. Hình nhiều diện được chế tạo ra bởi những đa diện đó chính là thiết diện đề xuất tìm.

Chú ý: Để kiếm tìm thiết diện họ sẽ phải sử dụng một trong những quan hệ tuy nhiên song, vuông góc giữa mặt đường thẳng với mặt phẳng:

Cho đường thẳng ( d in ( P) ). Mặt phẳng ( (Q) ) song song cùng với ( d ) và giảm ( (P) ) trên giao tuyến là mặt đường thẳng ( d’ ). Lúc ấy ( d || d’ )Cho nhị mặt phẳng ( (P),(Q) ) thỏa mãn : (left{eginmatrix (P) ot (Q) \ (P) cap (Q ) =d endmatrix ight.). Lúc đó nếu (left{eginmatrix d’ in (P) \ d’ ot d endmatrix ight. Rightarrow d’ ot (Q))

Cách khẳng định thiết diện trong quan lại hệ tuy vậy song

Bài toán khẳng định thiết diện tuy nhiên song với đường thẳng.

*

*

Ví dụ 2:

Cho hình chóp ( S.ABCD ) có đáy ( ABCD ) là hình bình hành. Call ( M ) là 1 trong những điểm bất kể nằm trên ( SA ). Mặt phẳng ( (P) ) đi qua ( M ) và tuy vậy song cùng với ( AB ) và ( SC ). Xác định thiết diện của ( S.ABCD ) cắt vị ( (P) )

Cách giải:

*

Vì ( (P) || AB ) cùng ( AB in (SAB) ) nên

(Rightarrow) giao con đường của ( (P) ) cùng ( (SAB) ) song song cùng với ( AB )

Trong phương diện phẳng ( (SAB) ) dựng ( MN ) song song với ( AB ). Lúc đó ((P) cap SB =N)

Ta có:

(left{eginmatrix (P) || SC \ SC in (SBC) endmatrix ight. Rightarrow SC || ((P)cap (SBC)))

Như vậy : ((P) cap BC = P) cùng với ( NP || SC )

Tương tự:

(left{eginmatrix (P) || BC \ BC in (ABCD) endmatrix ight. Rightarrow SC || ((P)cap (ABCD)))

Như vậy: ((P) cap AD = Q ) với ( PQ || AB )

Vậy ( MNPQ ) là thiết diện cần tìm.

Cách xác minh thiết diện trong quan hệ vuông góc

Từ khái niện tiết diện là gì, hãy cùng trabzondanbak.com mày mò qua bài toán xác minh thiết diện vuông góc với đường thẳng.

Phương pháp:

Cho phương diện phẳng (α) thuộc với đường thẳng a không vuông góc với (α). Hãy xác định mặt phẳng (β) chứa a cùng vuông góc cùng với (α).

Cách giải: 

Tiếp theo dựng mặt đường thẳng b trải qua A và vuông góc với (α). Khi ấy mp (a,b) đó là mặt phẳng (β).

*

Ví dụ 3:

Cho hình chóp S.ABCD, gồm đáy ABCD là hình vuông, hình như SA ⊥ (ABCD). Gọi (α) là khía cạnh phẳng chứa AB và vuông góc cùng với (SCD). Vậy (α) giảm chóp S.ABCD theo thiết diện là hình gì?.

Cách giải:

*

Diện tích tiết diện là gì?

Diện tích thiết diện là gì? Đây hẳn là thắc mắc được siêu nhiều học viên quan tâm. Diện tích s thiết diện theo định nghĩa đó là diện tích phần mặt phẳng cắt (thiết diện) được tạo vị mặt phẳng ( (P) ) và hình (mathbbT) như sẽ nói sống trên.

Cách tính thiết diện? 

Để tính được diện tích s thiết diện thì ta yêu cầu sử dụng một số trong những công thức tính diện tích s hình phẳng như hình tam giác, hình chữ nhật ,… sau đó ta hoàn toàn có thể chia nhỏ thiết diện thành những hình đơn giản và dễ dàng trên để tính toán rồi sau đó cộng lại.

Ví dụ 4:

Cho hình chóp ( S.ABCD ) tất cả đáy là hình vuông vắn tâm ( O ) và ( AB=a ). Biết rằng ( SA ot (ABCD) ) cùng ( SA = asqrt2 ). Mặt phẳng ( (P) ) đi qua ( B ) và vuông góc vuoonlt SC . Tính diện tích thiết diện của hình chóp ( S.ABCD ) cắt vì chưng mặt phẳng ( (P) )

Cách giải:

*

Ta có:

(SA ot (ABCD) Rightarrow SA ot BD)

( BD ot AC ) ( do là nhì đường chéo cánh của hình vuông vắn ( ABCD ) )

(Rightarrow BD ot (SAC))

(Rightarrow BD ot SC ;;;; (1))

Trong mặt phẳng ( (SAC) ) kẻ ( OE ot SC ;;;; (2) )

Từ ( (1)(2) Rightarrow (BED) ot SC )

Vậy phương diện phẳng ( (BED) ) đó là mặt phẳng ( (P) ) với thiết diện cần tìm là tam giác ( BED )

Vì hình vuông vắn ( ABCD ) bao gồm độ dài cạnh ( AB=a ) buộc phải (Rightarrow ) đường chéo cánh ( AC = BD = asqrt2 ;;;; (3) )

Trong phương diện phẳng ( (SAC) ) xét tam giác ( SAC ) vuông tại ( A ).

(Rightarrow SC = sqrtSA^2+AC^2 =2a)

(OC = fracAC2 =fracasqrt2)

Xét (Delta SAC) cùng (Delta OEC) tất cả :

(widehatA = widehatE =90^circ)

(widehatC ) chung

(Rightarrow Delta SAC sim Delta OEC)

Vậy ta có :

(fracOESA = fracOCSC Rightarrow OE =fracOC.SASC=fracfracasqrt2.asqrt22a=fraca2 ;;; (4) )

Vì ( BD ot (SAC ) đề nghị ( BD ot EO ;;;; (5) )

Từ ( (3)(4)(5) ) ta gồm :

(S_BED=fracBD.EO2=fracasqrt2.fraca22=fraca^22sqrt2)

Vậy diện tích s thiết diện là (fraca^22sqrt2) đơn vị chức năng diện tích

Công thức tính thiết diện của một số trong những hình đặc biệt

Các ví dụ như trên chúng ta đã cùng nói tới khái niệm thiết diện là gì, kỹ năng thiết diện của hình chóp. Bây chừ chúng ta sẽ nói tới thiết diện của một vài hình khối khác.

Cách xác định tiết diện của hình trụ

Định nghĩa hình tròn là gì?

Khi quay một hình chữ nhật quanh một trục thế định, ta được một hình tròn trụ với hai lòng là hai tuyến đường tròn bởi nhau.

Ví dụ tiết diện hình trụ 

*

Nếu giảm mặt trụ tròn chuyển phiên (có bán kính là ( r ) ) vày một phương diện phẳng ( (alpha ) ) vuông góc với trục ( Delta ) ( tuy vậy song cùng với hai mặt đáy ) thì ta được thiết diện là con đường tròn bao gồm tâm nằm trên ( Delta ) và có bán kính bằng ( r )Nếu cắt mặt trụ tròn chuyển phiên (có nửa đường kính là ( r ) ) vì một mặt phẳng ( (alpha ) ) ko vuông góc với trục ( Delta ) nhưng mà cắt toàn bộ các mặt đường sinh thì ta được thiết diện là 1 đường Elip gồm trục nhỏ dại bằng ( 2r ) cùng trục lớn bằng (frac2rsin phi) với (phi) là góc thân trục ( Delta ) với mặt phẳng ( ( alpha ) ) cùng (0

Cho mặt phẳng ( ( alpha ) ) song song với trục ( Delta ) của mặt trụ tròn luân chuyển và cách ( Delta ) một khoảng tầm ( k ) .

Nếu ( kNếu ( k=r ) thì mặt phẳng ( ( alpha ) ) tiếp xúc với khía cạnh trụ theo một mặt đường sinh.Nếu ( k >r ) thì mặt phẳng ( ( alpha ) ) không cắt mặt trụ.

*

Ví dụ 5:

Một hình trụ có nửa đường kính đáy bởi ( 3a ) và thể tích bởi ( 90pi a^3 ). Một phương diện phẳng song song cùng với trục và bí quyết trục ( 2a ) cắt khối chóp sản xuất thành một thiết diện. Tính diện tích thiết diện đó

Cách giải:

*

Do phương diện phẳng song song cùng với trục và giải pháp trục ( 2a

Do kia : (AB=CD = fracVS=frac90pi a^32pi. 9a^2=5a)

Kẻ ( OH ot BC ). Vị tam giác ( OBC ) cân tại ( O ) nên ta bao gồm :

(left{eginmatrix OH = 2a\ OB = 3a endmatrix ight.Rightarrow BC =2BH = 2sqrtOB^2-OH^2=2sqrt5a)

Như vậy diện tích thiết diện :

(S_ABCD=AB.BC= 5a. 2sqrt5a=10sqrt5a^2) đơn vị chức năng diện tích

Cách khẳng định thiết diện của hình hộp

Hình vỏ hộp là hình lăng trụ gồm đáy là hình bình hành.

Hình hộp bao gồm ( 6 ) khía cạnh là hình bình hành. Nhị mặt đối diện song song và bởi nhau

Hình hộp có ( 12 ) cạnh chia thành ( 3 ) nhóm. Mỗi nhóm bao gồm ( 4 ) cạnh tuy vậy song và bằng nhau.

*

Để xác định thiết diện của hình hộp khi cắt vì mặt phẳng ( (alpha) ) thì ta yêu cầu sử dụng các quan hệ song song, vuông góc để tìm giao của ( (alpha) ) với những cạnh của hình hộp.

Xem thêm: Các Dạng Toán Vi-Ét Thi Vào Lớp 10, Các Dạng Toán Vi Ét Thi Vào Lớp 10

Ví dụ 6:

Cho hình hộp ( ABCD.A’B’C’D’ ). Trên tía cạnh ( AB, DD’,BB’ ) theo lần lượt lấy tía điêm ( M,N,P ) thỏa mãn nhu cầu (fracAMAB=fracD’ND’D=fracB’PB’B)

Xác định tiết diện của hình vỏ hộp khi cắt do mặt phẳng ( (MNP) )

Cách giải:

*

Trên ( AD ) lấy điểm ( E ) làm sao cho : (fracAMAB=fracAEAD)

(Rightarrow ME || BD)

Vì (fracB’PB’B=fracD’ND’DRightarrow PN || B’D’Rightarrow PN || BD)

(Rightarrow ME || PN Rightarrow E in (MNP) ;;;; (1))

Trên ( B’C’ ) đem điểm ( F ) sao để cho : (fracB’FB’C=fracB’PB’B)

(Rightarrow PF || BC’)

Vì (fracAEAD=fracD’ND’DRightarrow EN || AD’Rightarrow EN || BC’)

(Rightarrow PF || EN Rightarrow F in (MNP) ;;;; (2))

Trên ( C’D’ ) lấy điểm ( K ) làm sao để cho : (fracC’KC’D’=fracC’FC’B’)

(Rightarrow KF || B’D’)

Vì ( PN || B’D’ Rightarrow PN || KF Rightarrow K in (MNP) ;;;; (3))

Từ ( (1)(2)(3) Rightarrow ) thiết diện là lục giác ( MPFKNE )

Cách kiếm tìm thiết diện của hình lập phương

Hình lập phương là một trong hình hộp đặc biệt, do đó các tìm thiết diện khi giảm hình lập phương vị mặt phẳng ( (alpha) ) cũng tương tự bài toán tìm kiếm thiết diện của hình vỏ hộp chữ nhật. Tuy vậy do tính chất đặc biệt của hình lập phương mà chúng ta có thể sử dụng các đặc điểm đó nhằm tìm thiết diện một cách dễ dàng hơn

 Ví dụ 7:

Cho hình lập phương ( ABCD.A’B’C’D’ ) tất cả độ nhiều năm cạnh bởi ( a ) . Call ( M,N,P ) lần lươt là trung điểm ( AD, CD, BB’ ). Tính diện tích s thiết diện của hình lập phương bị cắt do mặt phẳng ( (MNP) )

Cách giải:

*

Xét khía cạnh phẳng ( (ABCD) ). Kéo dãn dài ( MN ) giảm đường thẳng ( AB,BC ) lần lượt tại ( K,H )

Gọi (left{eginmatrix F= chiến tranh cap AA’ \ E= PH cap CC’ endmatrix ight.)

Như vậy thiết diện bắt buộc tìm là ngũ giác ( MNEPF )

Ta bao gồm :

(left{eginmatrix MN ||AC \ AM || CH endmatrix ight. Rightarrow AMHC) là hình bình hành

(Rightarrow CH = AM =fraca2)

Tương trường đoản cú ta được : (Rightarrow AK=CH =fraca2)

(Rightarrow BK=BH =frac3a2)

Theo định lý Pitago (Rightarrow PH=PK =sqrtBP^2+BK^2=fracasqrt102)

Do ( AF|| BP ) nên (fracPFPK=fracBABKRightarrow PF =fracBA.PKBK=fraca.fracasqrt102frac3a2=fracasqrt103)

Tương từ ta cũng có (PE=fracasqrt103)

Mặt không giống (fracAFBP=fracKAKB=fracHCHB=fracCEBP Rightarrow AF = CE Rightarrow ACEF) là hình bình hành

(Rightarrow EF=AC =asqrt2)

Như vậy tam giác ( PEF ) cân nặng tại ( p. ) và tất cả :

(left{eginmatrix PE=PF =fracasqrt103\ EF= AC =asqrt2 endmatrix ight.)

Vậy (S_PEF= fracEF.2sqrtPF^2-(fracEF2)^22=asqrt2.sqrtfrac10a^29-fraca^22= fraca^2sqrt113 ;;;; (1) )

Do (Delta AMF = Delta CNE) (c.g.c) nên

(Rightarrow MF=EN)

Mặt không giống (Rightarrow MN ||EF) ( vày cùng song song với ( AC ) )

(Rightarrow MNEF) là hình thang cân có (left{eginmatrix MN =fraca2\ EF= asqrt2 endmatrix ight.)

Kẻ ( ngươi ot EF ), ta bao gồm :

(FI=fracEF-MN2=frac2sqrt2-14a)

(fracAFBP=fracKAKB Rightarrow AF = fracKA.BPKB = fraca3)

(Rightarrow FM =sqrtAF^2+AM^2=fracasqrt136)

Như vậy (Rightarrow mày = sqrtFM^2-FI^2=fracasqrt36sqrt2-2912)

(Rightarrow SMNEF=frac(MN+EF).MI2=frac(2sqrt2+1)sqrt36sqrt2-2924a^2 ;;;; (2))

Từ ((1)(2) Rightarrow SMNEPF=S_PEF+S_MNEF=frac8sqrt11+(2sqrt2+1)sqrt36sqrt2-2924a^2) đon vị diện tích

Một số dạng bài tập về diện tích s thiết diện

Sau đấy là một số bài bác tập tra cứu thiết diện và mặc tích thiết diện có đáp số nhằm các chúng ta có thể tự luyện tập.

Bài 1:

Cho hình chóp tứ giác các ( S.ABCD ) tất cả độ dài cạnh đáy bằng ( a ). Hotline ( M,N,P ) theo lần lượt là trung điểm của ( SA,SB,SC ). Kiếm tìm thiết diện của hình chóp lúc cắt vày mặt phẳng ( (MNP) ) và tính diện tích s thiết diện đó ?

Đáp số : tiết diện là ( MNPQ ) cùng với ( Q ) là trung điểm ( SD ) cùng (S_MNPQ=fraca^24)

Bài 2 :

Cho tứ diện ( ABCD ) tất cả ( AB ot CD ) và ( AB=a; CD =b ). Call ( I,J ) theo lần lượt là trung điểm ( AB, CD ). Trên ( IJ ) lấy điểm ( M ) làm sao để cho (IM = fracIJ3). Phương diện phẳng ( (alpha) ) đi qua ( M ) và tuy vậy song với ( AB,CD ) giảm tứ diện chế tác thành một thiết diện. Tính diện tích s thiết diện kia ?

Đáp số : (S= frac2ab9)

Bài 3:

Cho hình tròn trụ tròn xoay gồm trục là ( OO’ ). Tiết diện qua trục ( OO’ ) là một hình vuông vắn cạnh bởi ( 2a ). Call ( M ) là trung điểm ( OO’ ). Phương diện phẳng ( (P) ) trải qua ( M ) sinh sản với lòng một góc bằng (30 ^circ) cắt khối trụ theo một tiết diện hình Elip. Tính diện tích thiết diện Elip kia ?

Đáp số : (S= frac2pisqrt3a^2)

Bài viết trên phía trên của trabzondanbak.com đã giúp bạn tổng hợp kim chỉ nan thiết diện là gì, phương pháp tìm thiết diện cũng giống như công thức tính diện tích thiết diện. Hy vọng kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho chính mình trong quy trình học tập và nghiên cứu về chủ thể thiết diện là gì. Chúc bạn luôn luôn học tốt!