Bài viết này trabzondanbak.com tổng hòa hợp và reviews lại một số công thức tính cấp tốc thể tích của khối tứ diện cho một số trường hợp đặc biệt quan trọng hay gặp

https://www.trabzondanbak.com/khoa-hoc/nhom/combo-4-khoa-luyen-thi-thpt-quoc-gia-2021-mon-toan-danh-cho-teen-2k3-12

Đồng thời trình bày công thức tổng quát tính thể tích mang lại khối tứ diện bất cứ khi biết độ dài tất cả 6 cạnh của tứ diện. Bài toán ghi nhớ các công thức này giúp những em giải quyết nhanh một trong những dạng bài bác khó về thể tích khối tứ diện trong đề thi THPT đất nước 2019 - Môn Toán.

Bạn đang xem: Diện tích khối tứ diện

Bài viết này trích lược một vài công thức cấp tốc hay cần sử dụng cho khối tứ diện. Những công thức cấp tốc khác liên quan đến thể tích khối tứ diện và thể tích khối lăng trụ chúng ta đọc tham khảo khoá bộ combo X vày trabzondanbak.com sản xuất tại đây:https://www.trabzondanbak.com/khoa-hoc/nhom/combo-4-khoa-luyen-thi-thpt-quoc-gia-2020-mon-toan-danh-cho-teen-2k2-9

Công thức tổng quát:Khối tứ diện $ABCD$ gồm $BC=a,CA=b,AB=c,AD=d,BD=e,CD=f$ ta tất cả công thức tính thể tích của tứ diện theo sáu cạnh như sau: trong các số ấy <eginalign & M=a^2d^2(b^2+e^2+c^2+f^2-a^2-d^2) \ & N=b^2e^2(a^2+d^2+c^2+f^2-b^2-e^2) \ & P=c^2f^2(a^2+d^2+b^2+e^2-c^2-f^2) \ và Q=(abc)^2+(aef)^2+(bdf)^2+(cde)^2 \ endalign>

Công thức 1: Khối tứ diện đều

Khối tứ diện gần như cạnh $a,$ ta có $V=dfraca^3sqrt212.$

Ví dụ 1: Cho tứ diện đều có chiều cao bằng . Thể tích của khối tứ diện đã mang lại là

A. .

B. .

C. .

D. .

Giải.Thể tích tứ diện những cạnh $a$ là $V=fracsqrt2a^312.$

Chiều cao tứ diện gần như là $h=frac3VS=frac3left( fracsqrt2a^312 ight)fracsqrt3a^24=sqrtfrac23aRightarrow a=sqrtfrac32h.$

Vì vậy $V=fracsqrt212left( sqrtfrac32h ight)^3=fracsqrt3h^38.$ Chọn câu trả lời B.

Công thức 2: Khối tứ diện vuông (các góc trên một đỉnh của tứ diện là góc vuông)

Với tứ diện $ABCD$ gồm $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc cùng $AB=a,AC=b,AD=c,$ ta có $V=dfrac16abc.$

Công thức 3: Khối tứ diện gần phần nhiều (các cặp cạnh đối khớp ứng bằng nhau)

Với tứ diện $ABCD$ tất cả $AB=CD=a,BC=AD=b,AC=BD=c$ ta có

*

Ví dụ 1:Chokhối tứ diện $ABCD$có $AB=CD=8,AD=BC=5$ cùng $AC=BD=7.$ Thể tích khối tứ diện đã mang lại bằng

A. $fracsqrt303.$

B. $frac20sqrt113.$

C. $sqrt30.$

D. $20sqrt11.$

Giải. Ta bao gồm $V_ABCD=fracsqrt212sqrt(8^2+5^2-7^2)(5^2+7^2-8^2)(7^2+8^2-5^2)=frac20sqrt113.$ Chọn lời giải B.

Ví dụ 2:Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=CD=8,AD=BC=5$ với $AC=BD=7.$ gọi $M$ là trung điểm cạnh $AB.$Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(CMD)$bằng

A. $fracsqrt312.$

B. $fracsqrt552.$

C. $fracsqrt212.$

D. $fracsqrt332.$

Giải. Ta có $V_AMCD=fracAMABV_ABCD=frac12V_ABCD=fracsqrt224sqrt(8^2+5^2-7^2)(5^2+7^2-8^2)(7^2+8^2-5^2)=frac10sqrt113.$

Tam giác $MCD$ gồm $CD=8$ và theo công thức đường trung tuyến đường ta có:

$MC=sqrtfrac2(CA^2+CB^2)-AB^24=sqrtfrac2(7^2+5^2)-8^24=sqrt21.$

và $MD=sqrtfrac2(DA^2+DB^2)-AB^24=sqrtfrac2(5^2+7^2)-8^24=sqrt21.$

Vậy $S_MCD=4sqrt5.$ cho nên vì thế $d(A,(MCD))=frac3V_AMCDS_MCD=frac10sqrt114sqrt5=fracsqrt552.$ Chọn lời giải B.

Ví dụ 3:Khối tứ diện $ABCD$ gồm $AB=CD=5a,AC=BD=6a,AD=BC=7a$ có thể tích bằng

A. $sqrt95a^3.$

B. $8sqrt95a^3.$

C. $2sqrt95a^3.$

D. $4sqrt95a^3.$

Giải.Áp dụng công thức tính thể tích khối tứ diện gần đầy đủ có

$V_ABCD=dfracsqrt212sqrtleft( 5^2+6^2-7^2 ight)left( 6^2+7^2-5^2 ight)left( 7^2+5^2-6^2 ight)a^3=2sqrt95a^3.$

Chọn giải đáp C.

Công thức 4: Khối tứ diện có khoảng cách và góc thân cặp cạnh đối diện của tứ diện

Tứ diện $ABCD$ có $AD=a,BC=b,d(AD,BC)=d,(AD,BC)=alpha ,$ ta bao gồm $V=dfrac16abdsin alpha .$

Ví dụ 1.Cho khối tứ diện $ABCD$ có $AB=AC=BD=CD=1.$ khi thể tích khối tứ diện $ABCD$ đạt giá trị lớn nhất thì khoảng cách giữa hai tuyến phố thẳng $AD$ với $BC$ bằng
A. $frac2sqrt3.$ B. $frac1sqrt3.$ C. $frac1sqrt2.$ D. $frac13.$

Ví dụ 2:Cho nhị mặt ước $(S_1),(S_2)$ gồm cùng vai trung phong $I$ và nửa đường kính lần lượt $R_1=2,R_2=sqrt10.$ Xét tứ diện $ABCD$ tất cả hai đỉnh $A,B$ nằm trên $(S_1);$ nhị đỉnh $C,D$ nằm trên $(S_2).$ Thể tích khối tứ diện $ABCD$ có mức giá trị lớn nhất bằng

A. $3sqrt2.$

B. $2sqrt3.$

C. $6sqrt3.$

D. $6sqrt2.$

Giải.Gọi $a,b$ theo lần lượt là khoảng cách từ chổ chính giữa $I$ đến hai đường thẳng $AB,CD.$

Ta tất cả $AB=2sqrtR_1^2-a^2=2sqrt4-a^2;CD=2sqrtR_2^2-b^2=2sqrt10-b^2$ và $d(AB,CD)le d(I,AB)+d(I,CD)=a+b$ và $sin (AB,CD)le 1.$

Do đó vận dụng công thức tính thể tích tứ diện theo khoảng cách chéo nhau của cặp cạnh đối diện có:

$egingathered V_ABCD = frac16AB.CD.d(AB,CD).sin (AB,CD) leqslant frac23(a + b)sqrt 4 - a^2 sqrt 10 - b^2 \ = frac23left( asqrt 4 - a^2 sqrt 10 - b^2 + bsqrt 10 - b^2 sqrt 4 - a^2 ight) = frac23left( sqrt 4a^2 - a^4 sqrt 10 - b^2 + sqrt frac10b^2 - b^42 sqrt 8 - 2a^2 ight) \ leqslant frac23sqrt left( 4a^2 - a^4 + 8 - 2a^2 ight)left( 10 - b^2 + frac10b^2 - b^42 ight) = frac23sqrt left( - (a^2 - 1)^2 + 9 ight)left( - frac12(b^2 - 4)^2 + 18 ight) leqslant frac23sqrt 9.18 = 6sqrt 2 . \ endgathered $

Dấu bằng đạt trên $(a;b)=(1;2).$ Chọn lời giải D.

Ví dụ 3:Cho một hình trụ bao gồm thiết diện qua trục là một hình vuông cạnh bởi $a.$ hiểu được $AB$ với $CD$ là hai đường kính tương ứng của hai đáy với góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$ bởi $30^circ .$ Tính thể tích khối tứ diện $ABCD.$

A. $fraca^312.$

B. $fraca^3sqrt36.$

C. $fraca^36.$

D. $fraca^3sqrt312.$

Có $h=2r=a;V_ABCD=frac16AB.CD.d(AB,CD).sin (AB,CD)=frac13.2r.2r.h.sin 30^0=fraca^36.$ Chọn câu trả lời C.

Công thức 5: Khối tứ diện biết diện tích s hai phương diện kề nhau

*

Ví dụ 1: cho khối chóp $S.ABC$ gồm đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A,AB=a,widehatSBA=widehatSCA=90^circ ,$ góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAC)$ bằng $60^circ .$ Thể tích của khối chóp đã đến bằng

A. $a^3.$

B. $fraca^33.$

C. $fraca^32.$

D. $fraca^36.$

Lời giải chi tiết. gọi $H=mathbfh/c(S,(ABC))$ ta tất cả $left{ egingathered AB ot SB hfill \ AB ot SH hfill \ endgathered ight. Rightarrow AB ot (SBH) Rightarrow AB ot BH;left{ egingathered AC ot SC hfill \ AC ot SH hfill \ endgathered ight. Rightarrow AC ot (SCH) Rightarrow AC ot CH.$ Kết hợp với $ABC$ là tam giác vuông cân nặng tại $A,AB=a$ suy ra $ABHC$ là hình vuông.

*
Đặt $h=SHRightarrow V_S.ABC=frac13S_ABC.SH=fraca^2h6(1).$

Mặt không giống $V_S.ABC=frac2S_SAB.S_SAC.sin left( (SAB),(SAC) ight)3SA=frac2left( fracasqrta^2+h^22 ight)left( fracasqrta^2+h^22 ight)fracsqrt323sqrt2a^2+h^2(2).$

Từ (1) và (2) suy ra $h=aRightarrow V=fraca^36.$ Chọn đáp án D.

Ví dụ 2:Cho tứ diện $ABCD$ gồm $widehatABC=widehatBCD=widehatCDA=90^0,BC=a,CD=2a,cos left( (ABC),(ACD) ight)=dfracsqrt13065.$ Thể tích khối tứ diện $ABCD$ bằng

A. $fraca^33.$

B. $a^3.$

C. $frac2a^33.$

D. $3a^3.$

Lời giải chi tiết. hotline $H=mathbfh/c(A,(BCD)).$ Đặt $AH=hRightarrow V_ABCD=frac13S_BCD.AH=frac13.frac12CB.CD.AH=fraca^2h3(1).$

*

Ta có $left{ egingathered CB ot bố hfill \ CB ot AH hfill \ endgathered ight. Rightarrow CB ot (ABH) Rightarrow CB ot HB.$ tương tự như $left{ egingathered CD ot domain authority hfill \ CD ot AH hfill \ endgathered ight. Rightarrow CD ot (ADH) Rightarrow CD ot HD.$

Kết phù hợp với $widehatBCD=90^0Rightarrow HBCD$ là hình chữ nhật.

Suy ra $AB=sqrtAH^2+HB^2=sqrth^2+4a^2,AD=sqrtAH^2+HD^2=sqrth^2+a^2;AC=sqrtAB^2+BC^2=sqrth^2+5a^2.$

Suy ra $S_ABC=frac12AB.BC=fracasqrth^2+4a^22;S_ACD=frac12AD.DC=asqrth^2+a^2.$

Suy ra $V_ABCD=frac2S_ABC.S_ACD.sin left( (ABC),(ACD) ight)3AC=fraca^2sqrth^2+4a^2sqrth^2+a^23sqrth^2+5a^2sqrt1-left( fracsqrt13065 ight)^2(2).$

Kết thích hợp (1), (2) suy ra: $h=3aRightarrow V_ABCD=a^3.$ Chọn đáp án B.

Ví dụ 3:Cho hình chóp $S.ABCD$ gồm đáy là hình thoi cạnh $a,widehatABC=120^0.$ ở bên cạnh $SA$ vuông góc với đáy cùng góc thân hai khía cạnh phẳng $(SBC),(SCD)$ bằng $60^0,$ khi đó $SA$ bằng

A. $dfracsqrt6a4.$

B. $sqrt6a.$

C. $dfracsqrt6a2.$

D. $dfracsqrt3a2.$

Có $SA=x>0Rightarrow V_S.BCD=dfrac13S_BCD.SA=dfracsqrt3x12(1),left( a=1 ight).$

Mặt khác $V_S.BCD=dfrac2S_SBC.S_SCD.sin left( (SBC),(SCD) ight)3SC=dfrac2left( dfracsqrt4x^2+34 ight)^2dfracsqrt323sqrtx^2+3(2).$

Trong đó $BC=1,SB=sqrtx^2+1,SC=sqrtx^2+3Rightarrow S_SBC=dfracsqrt4x^2+34;Delta SBC=Delta SDC(c-c-c)Rightarrow S_SCD=dfracsqrt4x^2+34.$

Từ (1) và (2) suy ra Chọn câu trả lời A.

Ví dụ 4: mang lại tứ diện $ABCD$ bao gồm $ABC$ và $ABD$ là tam giác hầu như cạnh bởi $a.$ Thể tích khối tứ diện $ABCD$ có mức giá trị lớn nhất bằng

A. $dfraca^38.$

B. $dfraca^3sqrt212.$

C. $dfraca^3sqrt38.$

D. $dfraca^3sqrt312.$

Có $V_ABCD=dfrac2S_ABCS_ABDsin left( (ABC),(ABD) ight)3AB=dfrac2left( dfracsqrt3a^24 ight)left( dfracsqrt3a^24 ight)3asin left( (ABC),(ABD) ight)le dfrac2left( dfracsqrt3a^24 ight)left( fracsqrt3a^24 ight)3a=dfraca^38.$

Dấu bởi đạt trên $(ABC)ot (ABD).$ Chọn đáp án A.

Công thức 6:Mở rộng cho khối chóp có diện tích s mặt bên và mặt đáy

Khối chóp $S.A_1A_2...A_n$ tất cả $V=dfrac2S_SA_1A_2.S_A_1A_2...A_n.sin left( (SA_1A_2),(A_1A_2...A_n) ight)3A_1A_2.$

Công thức 7: Khối tứ diện khi biết những góc tại cùng một đỉnh

Khối chóp $S.ABC$ có $SA=a,SB=b,SC=c,widehatBSC=alpha ,widehatCSA=eta ,widehatASA=gamma .$

Khi kia $V=dfracabc6sqrt1+2cos alpha cos eta cos gamma -cos ^2alpha -cos ^2eta -cos ^2gamma .$

*

Ví dụ 1:Khối tứ diện $ABCD$ gồm $AB=5,CD=sqrt10,AC=2sqrt2,BD=3sqrt3,AD=sqrt22,BC=sqrt13$ hoàn toàn có thể tích bằng

A. $20.$

B. $5.$

C. $15.$

D. $10.$

Giải.

Xem thêm: Top 19 Con Lợn Tiếng Anh Đọc Là Gì Mới Nhất 2022, Con Lợn Con Heo Tiếng Anh Là Gì

Tứ diện này có độ dài tất cả các cạnh ta tính những góc tại một đỉnh rồi vận dụng công thức thể tích khối tứ diện dựa vào 3 góc xuất phát điểm từ cùng 1 đỉnh:

Có $left{ egingatheredhfill cos widehatBAD=dfracAB^2+AD^2-BD^22AB.AD=sqrtdfrac211 \ hfill cos widehatDAC=dfracAD^2+AC^2-CD^22AD.AC=dfrac52sqrt11 \ hfill cos widehatCAB=dfracAC^2+AB^2-BC^22AC.AB=dfrac1sqrt2 \ endgathered ight..$

Vì vậy $V_ABCD=dfrac16.5.2sqrt2.sqrt22sqrt1+2sqrtdfrac211dfrac52sqrt11dfrac1sqrt2-left( sqrtdfrac211 ight)^2-left( dfrac52sqrt11 ight)^2-left( dfrac1sqrt2 ight)^2=5.$

Chọn giải đáp B.

*