Tổng hợp kiến thức cần nỗ lực vững, các dạng bài xích tập và thắc mắc có năng lực xuất hiện trong đề thi HK2 Toán học tập 11 sắp tới tới


Phần 1

GIỚI HẠN

I. GIỚI HẠN DÃY SỐ

1. Dãy số có số lượng giới hạn hữu hạn

Định nghĩa: Ta nói hàng số (left( u_n ight)) có số lượng giới hạn là số thực (L) nếu như (mathop lim limits_n o + infty left( u_n - L ight) = 0).

Bạn đang xem: Đề cương ôn tập học kì 2 môn toán 11

Khi đó, ta viết: (mathop lim limits_n o + infty left( u_n ight) = L), viết tắt là (lim left( u_n ight) = L) hoặc (lim u_n = L).

Định lý 1: Giả sử (lim u_n = L). Lúc đó:

i) (lim left| u_n ight| = left| L ight|) và (lim sqrt<3>u_n = sqrt<3>L).

ii) nếu (u_n ge 0) với đa số (n) thì (L ge 0) cùng (lim sqrt u_n = sqrt L )

Định lý 2: Giả sử (lim u_n = L,lim v_n = M) với (c) là một hằng số. Lúc đó:

i) các dãy số (left( u_n + v_n ight),left( u_n - v_n ight),left( u_n.v_n ight)) và (left( c.u_n ight)) có giới hạn là:

+) (lim left( u_n + v_n ight) = L + M)

+) (lim left( u_n - v_n ight) = L - M)

+) (lim left( u_n.v_n ight) = L.M)

+) (lim left( c.u_n ight) = c.L)

ii) nếu như (M e 0) thì hàng số (left( fracu_nv_n ight)) có số lượng giới hạn là (lim fracu_nv_n = fracLM).

Một số dãy số gồm giới hạn thường gặp:

+) (lim frac1n = 0,lim frac1sqrt n = 0,lim frac1sqrt<3>n = 0,...)

+) nếu (left| q ight| Chú ý: Định lý trên vẫn hợp lý cho trường vừa lòng (x o x_0^ + ,x o x_0^ - ,)(x o + infty ,x o - infty )

2. Định lí về số lượng giới hạn một bên

()(mathop lim limits_x o x_0 f(x) = L)( Leftrightarrow mathop lim limits_x o x_0^ - f(x) = mathop lim limits_x o x_0^ + f(x) = L)

3. Các quy tắc tìm số lượng giới hạn vô cực của hàm số

+) nếu như (mathop lim limits_x o x_0 left| fleft( x ight) ight| = + infty )thì (mathop lim limits_x o x_0 frac1fleft( x ight) = 0)

+ Bảng quy tắc

*

*

4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: (S = fracu_11 - q,|q| ­0 thì (mathop lim limits_x o x_0 f(x) = f(x_0))

3. (mathop lim limits_x o pm infty frac1x^n = 0) (với n > 0)

III. HÀM SỐ LIÊN TỤC

1. Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) khẳng định trên khoảng chừng K cùng (x_0 in K).

Hàm số y = f(x) được call là thường xuyên tại (x_0) nếu như (mathop lim limits_x o x_0 f(x) = fleft( x_0 ight)).

2. Một số định lý cơ bản

ĐL 1:

- Hàm số nhiều thức tiếp tục trên R.

- Hàm phân thức hữu tỉ và những hàm lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác minh của chúng.

ĐL 2: Tổng, hiệu, tích, yêu quý của nhị hàm số thường xuyên tại (x_0) là phần nhiều hàm số liên tục tại (x_0) (trường phù hợp thương thì mẫu đề nghị khác 0 trên (x_0)).

ĐL 3: Nếu hàm số y = f(x) tiếp tục trên (left< a;b ight>) với f(a).f(b) Phương pháp:

- Sử dụng những quy tắc đang học nhằm tính.

- Nếu số lượng giới hạn của hàm số buộc phải tính có một trong những bốn dạng (frac00); (fracinfty infty ); (infty - infty ); 0.∞ thì ta bắt buộc khử dạng đó, bằng cách phân tích tử và mẫu mã thành nhân tử rồi giản mong hoặc nhân lượng phối hợp hoặc phân tách cả tử với mẫu cho xk với k là mũ cao nhất của tử hoặc mẫu...Cụ thể:

* Dạng (frac00):

- nếu tử, chủng loại là phần đông đa thức thì ta để thừa số (left( x - x_0 ight)) làm nhân tử tầm thường và rút gọn gàng nhân tử này ta sẽ gửi được giới hạn về dạng xác định.

- nếu tử tuyệt mẫu tất cả chứa căn thức thì nhân tử và mẫu mã với lượng liên hợp của tử hoặc chủng loại và cũng rút gọn gàng thừa số (left( x - x_0 ight))ở tử và chủng loại ta sẽ đưa được giới hạn về dạng xác định.

Cần để ý các công thức biến đổi sau:

(eginarrayla pm b = fraca^2 - b^2a mp b\a pm b = fraca^3 pm b^3a^2 mp ab + b^2endarray)

+ ví như PT f(x) = 0 gồm nghiệm x0 thì f(x) = (x-x0).g(x)

+ phối hợp của biểu thức:

1.(sqrt a - sqrt b ) là (sqrt a + sqrt b )

2. (sqrt a + sqrt b ) là (sqrt a - sqrt b )

3.(sqrt<3>a - b) là (sqrt<3>a^2 + sqrt<3>a.b + b^2)

4. (sqrt<3>a + b) là (sqrt<3>a^2 - sqrt<3>a.b + b^2)

Ví dụ: Tìm những giới hạn sau: 

a) (mathop mathop lim limits_x o 2 fracx^4 - 16x^3 - 2x^2limits_ )

b) (mathop mathop lim limits_x o 1 frac2 - sqrt 3x + 1 x^2 - 1limits_ )

Giải:

(eginarrayla),,,mathop lim limits_x o 2 fracx^4 - 16x^3 - 2x^2\ = mathop lim limits_x o 2 fracleft( x^2 - 4 ight)left( x^2 + 4 ight)x^2left( x - 2 ight)\ = mathop lim limits_x o 2 fracleft( x - 2 ight)left( x + 2 ight)left( x^2 + 4 ight)x^2left( x - 2 ight)\ = mathop lim limits_x o 2 fracleft( x + 2 ight)left( x^2 + 4 ight)x^2 = frac4.84 = 8endarray)

Vậy (mathop lim limits_x o 2 fracx^4 - 16x^3 - 2x^2 = 8.)

(eginarraylb),,,mathop lim limits_x o 1 frac2 - sqrt 3x + 1 x^2 - 1\ = mathop lim limits_x o 1 frac4 - left( 3x + 1 ight)left( x^2 - 1 ight)left( 2 + sqrt 3x + 1 ight)\ = mathop lim limits_x o 1 frac3 - 3xleft( x^2 - 1 ight)left( 2 + sqrt 3x + 1 ight)\ = mathop lim limits_x o 1 frac - 3left( x - 1 ight)left( x - 1 ight)left( x + 1 ight)left( 2 + sqrt 3x + 1 ight)\ = mathop lim limits_x o 1 frac - 3left( x + 1 ight)left( 2 + sqrt 3x + 1 ight)\ = frac - 3left( 1 + 1 ight)left( 2 + sqrt 3.1 + 1 ight) = - frac38endarray)

Vậy (mathop lim limits_x o 1 frac2 - sqrt 3x + 1 x^2 - 1 = - frac38.)

* Dạng (fracinfty infty ):

- chia cả tử và mẫu mang lại xk với k là mũ cao nhất của tử hoặc mẫu.

- tiếp nối dùng những định lý về số lượng giới hạn của tổng, hiệu, tích với thương thuộc giới hạn (mathop lim limits_x o pm infty frac1x^k = 0) với k nguyên dương.

Ví dụ:Tìm những giới hạn sau: 

a) (mathop lim limits_x o + infty frac3x^4 - 16x + 2x^4 - 2x^2 + 4)

b) (mathop lim limits_x o - infty fracx^2 - 5x + 110 - 2x^3)

Giải:

(eginarrayla),,mathop lim limits_x o + infty frac3x^4 - 16x + 2x^4 - 2x^2 + 4\ = mathop lim limits_x o + infty frac3 - frac16x^3 + frac2x^41 - frac2x^2 + frac4x^4\ = frac3 - 0 + 01 - 0 + 0 = 3endarray)

Vậy (mathop lim limits_x o + infty frac3x^4 - 16x + 2x^4 - 2x^2 + 4 = 3).

(eginarraylb),,,mathop lim limits_x o - infty fracx^2 - 5x + 110 - 2x^3\ = mathop lim limits_x o - infty fracfrac1x - frac5x^2 + frac1x^3frac10x^3 - 2\ = frac0 - 0 + 00 - 2 = 0endarray)

Vậy (mathop lim limits_x o - infty fracx^2 - 5x + 110 - 2x^3 = 0)

* Dạng (infty - infty ):

- trường hợp (x o x_0) thì ta quy đồng chủng loại số để lấy về dạng (frac00).

- Nếu (x o pm infty ) thì ta nhân và phân chia với lượng liên hợp để đưa về dạng (fracinfty infty ).

Ví dụ: Tìm những giới hạn sau:

a) (mathop lim limits_x o 1 left( frac11 - x - frac31 - x^3 ight))

b) (mathop lim limits_x o + infty left( sqrt 4x^2 + 3x + 1 - 2x ight))

Giải:

a) Ta có

(eginarraylmathop lim limits_x o 1 left( frac11 - x - frac31 - x^3 ight)\ = mathop lim limits_x o 1 left( frac1 + x + x^2 - 31 - x^3 ight)\ = mathop lim limits_x o 1 left( fracx^2 + x - 21 - x^3 ight)\ = mathop lim limits_x o 1 fracleft( x - 1 ight)left( x + 2 ight)left( 1 - x ight)left( 1 + x + x^2 ight)\ = mathop lim limits_x o 1 frac - x - 21 + x + x^2 = - 1endarray)

Vậy (mathop lim limits_x o 1 left( frac11 - x - frac31 - x^3 ight) = - 1)

b) Ta có

(eginarraylmathop lim limits_x o + infty left( sqrt 4x^2 + 3x + 1 - 2x ight)\ = mathop lim limits_x o + infty fracleft( 4x^2 + 3x + 1 ight) - 4x^2sqrt 4x^2 + 3x + 1 + 2x\ = mathop lim limits_x o + infty frac3x + 1sqrt 4x^2 + 3x + 1 + 2x\ = mathop lim limits_x o + infty frac3 + frac1xsqrt 4 + frac3x + frac1x^2 + 2\ = frac32 + 2 = frac34endarray)

Vậy (mathop lim limits_x o + infty left( sqrt 4x^2 + 3x + 1 - 2x ight) = frac34).

* Dạng 0.∞

- Để khử dạng này thì ta cần tiến hành một số đổi khác như chuyển thừa số vào trong vệt căn, quy đồng mẫu số,...ta hoàn toàn có thể đưa số lượng giới hạn đã mang lại về dạng quen thuộc thuộc.

Ví dụ: Tìm giới hạn sau: (mathop lim limits_x o 1^ + left( x^3 - 1 ight)sqrt fracxx^2 - 1 ).

Giải: Ta có

(eginarraylmathop lim limits_x o 1^ + left( x^3 - 1 ight)sqrt fracxx^2 - 1 \ = mathop lim limits_x o 1^ + left( x^2 + x + 1 ight)left( x - 1 ight)sqrt fracxleft( x - 1 ight)left( x + 1 ight) \ = mathop lim limits_x o 1^ + left( x^2 + x + 1 ight)sqrt fracxleft( x - 1 ight)^2left( x - 1 ight)left( x + 1 ight) \ = mathop lim limits_x o 1^ + left( x^2 + x + 1 ight)sqrt fracxleft( x - 1 ight)left( x + 1 ight) \ = 3.0 = 0endarray)

Vậy (mathop lim limits_x o 1^ + left( x^3 - 1 ight)sqrt fracxx^2 - 1 = 0).

2. Dạng 2: Tính tổng của CSN lùi vô hạn

- sử dụng công thức: (S = fracu_11 - q,|q| Ví dụ: Tính tổng (S = - 1 + frac110 - frac110^2 + ... + fracleft( - 1 ight)10^n - 1^n + ...)

Giải:

Đây là tổng của CSN lùi vô hạn cùng với (u_1 = - 1) và q = ( - frac110).

Xem thêm: Thúy Ngân Cao Bao Nhiêu - Diễn Viên Thúy Ngân Khai Khống Chiều Cao

Vậy (S = frac - 11 - left( - frac110 ight) = - frac1011).

3. Dạng 3: Xét tính liên tục của hàm số

3.1 Xét tính thường xuyên của hàm số trên điểm:

- Dạng I: cho h/s (f(x) = left{ eginarraylf_1(x)eginarray*20c&khiendarrayeginarray*20cx e x_0&endarray\f_2(x)eginarray*20c&khieginarray*20cx = x_0&endarrayendarrayendarray ight.)

Xét tính thường xuyên của h/s tại điểm x0?

Phương pháp chung:

B1: tra cứu TXĐ: D = R

B2: Tính f(x0); (mathop lim limits_x o x_0 f(x))

B3: (mathop lim limits_x o x_0 f(x)) = f(x0) ( Rightarrow ) KL liên tiếp tại x0

- Dạng II: mang lại h/s (f(x) = left{ eginarraylf_1(x)eginarray*20c&khiendarrayeginarray*20cx ge x_0&endarray\f_2(x)eginarray*20c&{khieginarray*20cx 0?

3.2 Xét tính tiếp tục của hàm số bên trên một khoảng

Phương pháp chung:

B1: Xét tính thường xuyên của h/s trên các khoảng đơn

B2: Xét tính liên tiếp của h/s tại những điểm giao

B3: Kết luận

3.3 Tìm đk của tham số để hàm số tiếp tục tại x0

Phương pháp chung:

B1: tìm TXĐ: D = R

B2: Tính f(x0); (mathop lim limits_x o x_0 f(x))

B3: Hàm số liên tục tại (x_0) ( Leftrightarrow mathop lim limits_x o x_0 f(x) = fleft( x_0 ight))

3.4 Sử dụng tính tiếp tục của hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm

Phương pháp chung: Cho PT: f(x) = 0. Để c/m PT bao gồm nghiệm trên (left< a;b ight>):

B1: Tính f(a), f(b) Þ f(a).f(b) 2: kiểm tra tính liên tục của hàm số f(x) bên trên (left< a;b ight>)

B3: tóm lại về số nghiệm của PT trên (left< a;b ight>)

Ví dụ: CMR phương trình (x^7 + 3x^5 - 2 = 0) có ít nhất một nghiệm

Xét hàm số (fleft( x ight) = x^7 + 3x^5 - 2) liên tiếp trên R cần f(x) liên tục trên <0;1>

Và (left. eginarray*20cfleft( 0 ight) = - 2 0endarray ight Rightarrow fleft( 0 ight).fleft( 1 ight)