Cho số phức z ¹ 0. Gọi M là 1 điểm trong khía cạnh phẳng phức trình diễn số phức z. Số đo (radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu là Ox, tia cuối OM được gọi là một trong những acgumen của z.

Bạn đang xem: Dạng lượng giác của số phức

Như vậy ví như j là 1 trong những acgumen của z, thì phần đa acgumen đều có dạng:

*

2. Dạng lượng giác của số phức.

Xét số phức 

*

điện thoại tư vấn r là môđun của z cùng j là một trong những acgumen của z.

*

3. Nhân và chia số phức bên dưới dạng lượng giác.

*

4. Công thức Moivre.

*

5. Căn bậc nhị của số phức bên dưới dạng lượng giác.

cho số phức 

*

khi ấy z có hai căn bậc nhị là:

*

B. Bài tập minh họa

Dạng 1: Chuyển một vài phức thanh lịch dạng lượng giác.

Phương pháp: Dạng lượng giác tất cả dạng: z = r(cos j + i sin j ) trong số đó r > 0.

Để chuyển một số phức quý phái dạng lượng giác ta buộc phải tìm r và j;

+ Ta gồm r = |z|

+ j là số thực thoả mãn 

*

Câu 1: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:

1. 2i 5. Z1 = 6+6i$sqrt3$

2. -1 6. Z2 = $-frac14$+i$fracsqrt34$

3. 2 7. Z3 = 9 – 9i$sqrt3$

4. -3

Giải:

*

5) Ta có: r5 = 12

Chọn j là số thực thoả mãn 

*

6) Ta bao gồm r6 =

Chọn j là số thực thoả mãn 

*

 

7)Ta có: r7 = 18

Chọn j là số thực thoả mãn 

*

Nhận xét: Đây là 1 trong dạng bài bác tập vô cùng phổ biến, cần chăm chú cho học viên cách lựa chọn số j thỏa mãn nhu cầu hệ phương trình lượng giác

*
Trong quy trình dạy, tôi thấy rằng nhiều học sinh mắc sai lầm sau: chỉ tìm j vừa lòng cosj = a/r mà không lưu ý đến sin j = b/r. Ví dụ điển hình với hệ
*
 thì học sinh chọn j =.

 

Câu 2: Viết các số phức sau bên dưới dạng lượng giác:

(1-i$sqrt3$)(1+i)$frac1-isqrt31+i$$frac12+2i$

Giải:

1) Ta có: 1- i$sqrt3$ =2>

(1+i) = >

Áp dụng công tthức nhân, phân tách số phức ta đuợc:

(1-i$sqrt3$)(1+i) = 2$sqrt2$>

2) $frac1-isqrt31+i$=$sqrt2$>

3) $frac12+2i$=$frac14(1-i)$=>= >

Câu 3: tìm kiếm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:

1) $frac(1-i)^10left( sqrt3+i ight)^9$

2)

Giải:

Xét số phức: 

*

Vậy: phần thực bằng: $-frac116$ cùng phần ảo bằng 0.

2) Xét số phức:

*

Vậy: phần thực bằng: 0 và phần ảo bởi 128.

Câu 4: Tính số phức sau:

z =

Giải:

z =$$

=

= cos(-15p) + isin(-15p) = -1.

Câu 5: Viết các số sau bên dưới dạng lượng giác:

cosa – isina, a
*
 <0;2p).sina +i(1+cosa), a
*
<0;2p).cosa + sina + i(sina – cosa), a 
*
 <0;2p)

 Giải:

Ta có:

1) cosa - isin a = cos(2p - a) + isin(2p -a) lúc a

*
 <0;2p)

2) z2 = sina +i(1+cosa) = 2sin$fraca2$cos$fraca2$ + 2icos2$fraca2$ = 2cos$fraca2$(sin $fraca2$ + i cos $fraca2$)

- nếu a

*
 <0;p ) Þ cos$fraca2$ > 0 Þ z2 = 2cos$fraca2$(cos($fracpi 2$- $fraca2$) + i sin ($fracpi 2$-$fraca2$)

- giả dụ a

*
 (p ;2p ) Þ cos$fraca2$ Þ z2 = -2cos$fraca2$(cos($frac3pi 2$- $fraca2$) + i sin ($frac3pi 2$-$fraca2$)

- nếu a Þ z2 = 0(cos0 + isin0)

3) z3 = cosa + sina + i(sina – cosa) = $sqrt2$(cos$left( a-fracpi 4 ight)$+ i sin $left( a-fracpi 4 ight)$

Dạng 2: Ứng dụng của dạng lượng giác.

Câu 6: minh chứng rằng:

sin5t = 16sin5t – 20sin3t +5sint

cos5t = 16cos5t – 20cos3t +5cost

Giải:

Dùng cách làm Moivre và bí quyết khai triển nhị thức (cost + isint)5

Ta được:

cos5t + isin5t = cos5 t + 5icos4tsint + 10i2cos3tsin2t + 10i3 cos2t.sin3t +5i4 cost.sin4t + i5sin5t

Þ cos5t + isin5t = cos5 t -10cos3t(1-cos2t) + 5cost(1-sin2t)2 + i<5(1-sin2t)2sint – 10(1-sin2t)sin3t +sin5t>

Đồng tuyệt nhất hai vế ta được điều buộc phải chứng minh.

Ngoài áp dụng của cách làm Moivre vào lượng giác, bạn cũng có thể thấy nếu chuyển được một vài phức về dạng lượng giác thì rất có thể tìm căn bậc hai một cách dễ dàng và cấp tốc chóng. Sau đấy là một số ứng dụng của dạng lượng giác nhằm tìm căn bậc nhì của một trong những phức cùng giải phương trình bậc hai.

Câu 7 : Giải phương trình:

z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0 (1)

Giải:

Ta có: (1)  z4 (z + 1) + z2 (z + 1) + (z + 1) = 0

 (z+ 1) (z4 + z 2 + 1) = 0

*

Xét phương trình:

*

Tóm lại phương trình đã mang đến có tất cả 5 nghiệm:

z = -1; z = $frac12+fracsqrt32i$; z = $-frac12-fracsqrt32i$; z = $frac12-fracsqrt32i$; z = $-frac12+fracsqrt32i$

Câu 8: mang đến z1 và z2 là hai số phứ xác minh bởi z1 = 1+i$sqrt3$ với z2 = 1 – i

Xác format đại số cùng dạng lượng giác của $fracz_1z_2$Từ đó suy định giá trị đúng chuẩn của: cos$frac7pi 12$ cùng sin$frac7pi 12$

Giải: Ta gồm $fracz_1z_2$=$frac1+isqrt31-i$=$frac1-sqrt32+ileft( frac1+sqrt32 ight)$

Ta có: z1 = 2(cos$fracpi 3$ + isin$fracpi 3$); z2 = $sqrt2$(cos$left( -fracpi 4 ight)$ + isin$left( -fracpi 4 ight)$)

 => $fracz_1z_2$= $sqrt2$(cos$frac7pi 12$ + isin$frac7pi 12$)

 => cos$frac7pi 12$ = $frac1-sqrt32$và sin$frac7pi 12$= $frac1+sqrt32$

Nhận xét: Qua bài tập này ta tìm tòi một ứng dụng đặc biệt quan trọng của số phức, ta có thể tính sin, cos của một góc bởi công thay số phức thông qua sự tương tác giữa dạng đại số cùng dạng lượng giác của số phức.

Xem thêm: Dưới Đây Là Khái Niệm Danh Từ Là Gì? - Tiếng Việt Lớp 4 Chức Năng, Phân Loại Danh Từ

C. Bài xích tập tự luyện

Câu 1: Viết những số sau dưới dạng lượng giác:

a) z1 = 6 + 6i$sqrt3$

b) z2 = $-frac14+ifracsqrt34$

c) z2 = $-frac12-ifracsqrt32$

d) z3 = 9 – 9i$sqrt3$

e) z5 = -4i

Câu 2: Viết các số phức sau bên dưới dạng lượng giác:

a) -2(cos$fracpi 6$+isin$fracpi 6$)

b) cos$fracpi 17$- isin$fracpi 17$

c) sin$fracpi 17$+ icos$fracpi 17$

d) 1 – cos a+ isina, a

*
 <0;2p)

Câu 3: Tìm các căn bậc nhì của số phức sau:

z = 1+iz = i$frac1sqrt2+fracisqrt2$-2(1+i$sqrt3$)7- 24i

Câu 4: áp dụng dạng lượng giác nhằm tính số phức sau:

a) $left( frac12-ifracsqrt32 ight)left( -3+3i ight)left( 2sqrt3+2i ight)$

b) (1+i)(-2-2i)i

c) -2i(-4+4$sqrt3$i)(3+3i)

d) 3(1-i)(-5+5i)

Câu 5: chứng tỏ rằng: $left( frac-sqrt3+i1+i ight)^12$là số thực

Câu 6: kiếm tìm môđun của z với argument:

z = $fracleft( 2sqrt3+2i ight)^8left( 1-i ight)6+fracleft( 1+i ight)^6left( 2sqrt3-2i ight)^8$z = z = $left( 1+isqrt3 ight)^n+left( 1-isqrt3 ight)^n$

Câu 7 :Cho nhị số phức z1 = $sqrt2$+ i$sqrt2$ với z2 = 1+$sqrt3$i

Tính môđun cùng argument của hai số phức nói trên.Tính môđun với argument của z13 và z22 cùng $fracz_1^3z_2^2$Từ đó suy xác định giá trị đúng chuẩn của cos$fracpi 12$ cùng sin$fracpi 12$

Đáp số

Câu 1:

z1 = 12$left( c extosfracpi 3+ extisin fracpi 3 ight)$; z2 = $frac12left( c extosfrac2pi 3+ extisin frac2pi 3 ight)$; z3 =$c extosfrac4pi 3+ extisin frac4pi 3$

z1 = 12$18left( c extosfrac5pi 3+ extisin frac5pi 3 ight)$; z2 = $4left( c extosfrac3pi 2+ extisin frac3pi 2 ight)$;

Câu 2:

a) 2(cos$frac7pi 6$+isin$frac7pi 6$)

b) cos$left( -fracpi 17 ight)$+ isin$left( -fracpi 17 ight)$

c) cos$frac15pi 34$+ isin$frac15pi 34$

d)

*

- giả dụ a = 0 Þ ko tồn trên số phức bên dưới dạng lượng giác.

Câu 3:

*

Câu 4:

a) 12$sqrt2$(cos$frac7pi 4$+isin$frac7pi 4$)

b) 4(cos0 + isin0)

c) 48$sqrt2$(cos$frac5pi 12$+isin$frac5pi 12$)

d) 30(cos$fracpi 2$+isin$fracpi 2$)

Câu 5: thực hiện công thức Moavrơ : $left( frac-sqrt3+i1+i ight)^12$= -64

Câu 6:

|z| = $2^13+frac12^13$; arg z = $frac5pi 6$|z| = $frac12^9$; arg z = p. |z| = $2^n+1left| c extosfrac5npi 3 ight|$; arg z = j
*
 0;p

Câu 7:

Ta bao gồm |z1| = 2; j1 = $fracpi 4$; |z2| = 2; j2 = $fracpi 3$|z13| = 8; j3 = $frac3pi 4$; |z2| = 4; j4 = $frac2pi 3$; $left| fracz_1^3z_2^2 ight|$= 2; j5 = $fracpi 12$cos$fracpi 12$ = $fracsqrt2+sqrt64$và sin$fracpi 12$ = $fracsqrt6-sqrt24$ nội dung bài viết gợi ý: