Khi thấy giả thiết là Elip không bao gồm tắc: (left| z - z_1 ight| + left| z - z_2 ight| = 2a) với ((left| z_1 - z_2 ight|


+ Tính (left| z_1 - z_2 ight| = 2c) và (b^2 = a^2 - c^2)

+ Tính (left| z_0 - fracz_1 + z_22 ight| = k)

(1) Elip dạng chủ yếu tắc:

(left| z - c ight| + left| z + c ight| = 2a) hoặc (left| z - ci ight| + left| z + ci ight| = 2a)

- Tham số (left{ eginarraylx = acos t\y = bsin tendarray ight.) hoặc (left{ eginarraylx = bcos t\y = asin tendarray ight.)

- nuốm vào (P = f(t),t in left< 0;2pi ight>)

- Khảo sát (f(t))

(2.1) ví như thấy (left{ eginarraylk > fracc^2a\z_0 - z_1 = lleft( z_0 - z_2 ight)endarray ight.)

(max p = k + a)

(min p. = left| k - a ight|)

(2.2) nếu như thấy (left{ eginarraylk le fracc^2a\z_0 - z_1 = lleft( z_0 - z_2 ight)endarray ight.)

(max phường = k + a)

(min phường = fracbcsqrt k^2 + c^2 )

(2.3) nếu thấy (left{ eginarraylk > fracc^2b\left| z_0 - z_1 ight| = left| z_0 - z_2 ight|endarray ight.)

(max phường = k + b)

(min p = left| k - b ight|)

(2.4) giả dụ thấy (left{ eginarraylk le fracc^2b\left| z_0 - z_1 ight| = left| z_0 - z_2 ight|endarray ight.)

(max p = fracacsqrt k^2 + c^2 )

(min p. = left| k - b ight|)

Chú ý: Ngoài các trường hợp này ra, các trường hợp còn lại đều ko giải tường minh được!

 

 

GIẢI THÍCH CỤ THỂ

1. Bản thiết kế và thông số của Elip

- Định nghĩa: Cho nhì điểm nỗ lực định (F_1,F_2) với độ dài (F_1F_2 = 2c). Tập hợp các điểm (M) trong khía cạnh phẳng thoả mãn

Với (a > c > 0) là số dương không đổi.

Bạn đang xem: Công thức max min số phức

- Hình dạng:

*

- mối quan hệ của (a,b,c) : (a^2 = b^2 + c^2)

2. Câu hỏi liên quan

Bài toán số phức Elip: Cho số phức (z) thoả mãn (left| z - z_1 ight| + left| z - z_2 ight| = 2a) với (2a > left| z_1 - z_2 ight|). Tra cứu GTLN, GTNN của (P = left| z - z_0 ight|).

Sự tương ứng tại đây gồm:

· (M) là điểm biểu diễn (z) và (F_1,F_2) tương ứng là vấn đề biểu diễn (z_1,z_2) thì (left| z - z_1 ight| + left| z - z_2 ight| = 2a)( Leftrightarrow )M trực thuộc Elip với 2 tiêu điểm (F_1,F_2).

· A là điểm biểu diễn (z_0) thì (P = AM)

· (F_1F_2 = 2c = left| z_1 - z_2 ight|) và (b^2 = a^2 - c^2).

· Gọi (I) là trung tâm Elip thì (AI = left| z_0 - fracz_1 + z_22 ight| = k)

3. Các dạng giải được


Bài toán 1. Phương trình ((E)) dạng bao gồm tắc: (fracx^2a^2 + fracy^2b^2 = 1)

Bài toán số phức tương ứng: Cho số phức (z) thoả mãn (left| z - c ight| + left| z + c ight| = 2a)hoặc (left| z - ci ight| + left| z + ci ight| = 2a) (Elip đứng). Tra cứu GTLN, GTNN của (P = left| z - z_0 ight|)


Giải:

- Tính (b^2 = a^2 - c^2)

- Lập phương trình bao gồm tắc của Elip: (fracx^2a^2 + fracy^2b^2 = 1) với (left| z - c ight| + left| z + c ight| = 2a). Hoặc (fracx^2b^2 + fracy^2a^2 = 1) với (left| z - ci ight| + left| z + ci ight| = 2a)

Cách 1:

- Rút (y) theo (x) dạng: (y = pm fracbasqrt a^2 - x^2 ) đối với (fracx^2a^2 + fracy^2b^2 = 1) (tương trường đoản cú đối với (fracx^2b^2 + fracy^2a^2 = 1))

- nuốm vào (P) được (P^2 = (x - x_0)^2 + left( pm fracbasqrt a^2 - x^2 - y_0 ight)^2,;x in left< - a;a ight>) với (z_0 = x_0 + y_0i)

- Dùng tính năng TABLE của dòng sản phẩm tính di động cầm tay Casio tìm thấy GTLN, GTNN của hàm (P^2) từ kia có (P).

Cách 2:

- Từ (fracx^2a^2 + fracy^2b^2 = 1)( Rightarrow left{ eginarraylx = acos t\y = bsin tendarray ight.) ((t in left< 0;2pi ight>)), thì ta có (P^2 = left( acos t - x_0 ight)^2 + left( bsin t - y_0 ight)^2 = f(t)). Khảo sát hàm (f(t)) trên (left< 0;2pi ight>) được GTLN, GTNN của (P^2).

Chú ý: Dạng bài điểm A (tức (z_0)) ko nằm trên những trục của Elip thì mặc dù Elip ngơi nghỉ dạng chủ yếu tắc cũng khá hiếm khi giải được bằng tay thủ công bởi thi thoảng khi giải tường bản thân được phương trình (f"(t) = 0). Vì vậy, đa số không khi nào chúng ta gặp mặt phải một số loại này.

Ví dụ minh hoạ:


Cho số phức (z) thoả mãn (left| z - 2 ight| + left| z + 2 ight| = 6). Search GTLN với GTNN của (P = left| z - 1 + 3i ight|)


Giải:

Cách 1:

- Có (a = 3,c = 2)( Rightarrow b^2 = 9 - 4 = 5)

- Phương trình chủ yếu tắc của Elip: (cfracx^29 + cfracy^25 = 1)( Rightarrow y = pm cfracsqrt 5 3sqrt 9 - x^2 )

- Vậy (P^2 = left( x - 1 ight)^2 + left( pm cfracsqrt 5 3sqrt 9 - x^2 + 3 ight)^2 = f_1,2left( x ight))

- Bấm TABLE những hàm (f_1,2left( x ight)) với (x in left< - 3;3 ight>) được GTLN, GTNN của (P^2).

Cách 2:

Từ (cfracx^29 + cfracy^25 = 1)( Rightarrow left{ eginarraylx = 3cos t\y = sqrt 5 sin tendarray ight.)((t in left< 0;2pi ight>))( Rightarrow P^2 = left( 3cos t - 1 ight)^2 + left( sqrt 5 sin t + 3 ight)^2)( = f(t)) .

Phương trình (f"(t) = 0) là phương trình bậc 1 cùng bậc 2 đối với hai biến (sin t,cos t) nên chưa phải lúc nào cũng hoàn toàn có thể giải tường minh được, trừ khi fan ra đề cố tình cho vào tình huống giải được.

Bài toán 2. Elip không tồn tại dạng thiết yếu tắc nhưng (A) nằm trên những trục của Elip

*

 

Cách giải chung

Gắn vào Elip hệ trục tọa độ Oxy làm sao cho O trùng với tâm I của Elip, (F_1F_2) thuộc Ox. Khi đó, phương trình chủ yếu tắc của Elip là: (fracx^2a^2 + fracy^2b^2 = 1)((a > b > 0)) . Do A nằm trên những trục của Elip và (AI = left| z_0 - fracz_1 + z_22 ight| = k) nên (A(0; pm k)) hoặc (A( pm k;0)).

Trường hợp 1: A nằm trong trục bự của Elip ( Leftrightarrow A( pm k;0)), ta có:

(P^2 = left( x pm k ight)^2 + y^2)( = left( x pm k ight)^2 + b^2left( 1 - fracx^2a^2 ight))( = left( 1 - fracb^2a^2 ight)x^2 pm 2kx + k^2 + b^2)( = fracc^2a^2.x^2 pm 2kx + k^2 + b^2)( = f(x)) (1).

Khảo gần cạnh hàm (f(x)) trên đoạn ( m< - a;a>) ta được GTLN, GTNN của (P^2).

Trường thích hợp 2: A trực thuộc trục nhỏ của Elip ( Leftrightarrow A(0; pm k)), ta có:

(P^2 = x^2 + left( y pm k ight)^2)( = a^2left( 1 - fracy^2b^2 ight) + left( y pm k ight)^2)( = left( 1 - fraca^2b^2 ight)y^2 pm 2ky + k^2 + a^2)( = - fracc^2b^2.y^2 pm 2ky + k^2 + a^2)( = f(y)) (2).

Khảo gần kề hàm (f(y)) trên đoạn ( m< - b;b>) ta được GTLN, GTNN của (P^2).


- dấu hiệu nhận biết: (left{ eginarraylz_0 - z_1 = lleft( z_0 - z_2 ight)\left| z_0 - fracz_1 + z_22 ight| > fracc^2aendarray ight.)

- Xét (1), có (f(x)) là hàm số bậc 2 hệ số bậc nhì dương, có (f"(x) = 0)( Leftrightarrow x_0 = pm fracka^2c^2) . Theo mang thiêt có (k > fracc^2a)( Rightarrow x_0 otin m< - a;a>). Tính được (f( pm a) = left( k pm a ight)^2).

- Vậy:

(max f(x) = max f( - a);f(a) )( = left( k + a ight)^2)( Rightarrow max p = k + a)

(min f(x) = min f( - a);f(a) = left( k - a ight ight)^2)( Rightarrow min p. = left| k - a ight|)


- tín hiệu nhận biết: (left{ eginarraylz_0 - z_1 = kleft( z_0 - z_2 ight)\left| z_0 - fracz_1 + z_22 ight| le fracc^2aendarray ight.)

- Xét (1), có (f(x)) là hàm số bậc 2 hệ số bậc 2 dương, có (f"(x) = 0)( Leftrightarrow x_0 = pm fracka^2c^2) . Theo mang thiêt có (k > fracc^2a)( Rightarrow x_0 in m< - a;a>). Tính được (f( pm a) = left( k pm a ight)^2) và (f(x_0) = fracb^2left( k^2 + c^2 ight)c^2).

- Vậy

(max f(x) = max f( - a);f(a) )( = left( k + a ight)^2)( Rightarrow max p. = k + a)

(min f(x) = f(x_0))( Rightarrow min p. = fracbcsqrt k^2 + c^2 )


- dấu hiệu nhận biết: (left{ eginarraylleft| z_0 - z_1 ight| = left| z_0 - z_2 ight|\left| z_0 - fracz_1 + z_22 ight| > fracc^2bendarray ight.)

- Xét (2), có (f(y)) là hàm số bậc 2 hệ số bậc 2 âm, có (f"(y) = 0)( Leftrightarrow y_0 = pm frackb^2c^2) . Theo mang thiêt có (k > fracc^2b)( Rightarrow y_0 otin m< - b;b>). Tính được (f( pm b) = left( k pm b ight)^2).

- Vậy:

(max f(y) = max f( - b);f(b) )( = left( k + b ight)^2)( Rightarrow max p = k + b)

(min f(y) = min f( - b);f(b) = left( k - b ight ight)^2)( Rightarrow min phường = left| k - b ight|)


- dấu hiệu nhận biết: (left{ eginarraylleft| z_0 - z_1 ight| = left| z_0 - z_2 ight|\left| z_0 - fracz_1 + z_22 ight| le fracc^2bendarray ight.)

- Xét (2), có (f(y)) là hàm số bậc 2 hệ số bậc 2 âm, có (f"(y) = 0)( Leftrightarrow y_0 = pm frackb^2c^2) . Theo giả thiêt có (k le fracc^2b)( Rightarrow y_0 in m< - b;b>). Tính được (f( pm b) = left( k pm b ight)^2)và (f(y_0) = fraca^2left( k^2 + c^2 ight)c^2)

- Vậy:

(max f(y) = f(y_0))( = fracacsqrt k^2 + c^2 )

(min f(y) = min f( - b);f(b) = left( k - b ight ight)^2)( Rightarrow min p. = left| k - b ight|)

Ví dụ minh hoạ:

Ví dụ 1: Cho số phức (z) thoả mãn: (left| z - i ight| + left| z - 3 + 3i ight| = 6). Tìm giá chỉ trị bự nhất, giá trị nhỏ tuổi nhất của (P = left| z - 6 + 7i ight|)

 

Giải:

Có (z_1 = i)( Rightarrow F_1(0;1)) ; (z_2 = 3 - 3i)( Rightarrow F_2(3; - 3))( Rightarrow A(6; - 7)) . (I) là trung điểm của (F_1F_2) thì (I = fracz_1 + z_22 = (frac32; - 1))( Rightarrow )(k = AI = sqrt frac814 + 36 )( = frac152) .

Có (z_0 - z_1 = 6 - 8i); (z_0 - z_2 = 3 - 4i)( Rightarrow z_0 - z_1 = 2left( z_0 - z_2 ight)). Vậy (A) thuộc (F_1F_2) .

Mặt khác, có (a = 3), (c = fracF_1F_22 = frac52)( Rightarrow fracc^2a = frac2512)( Rightarrow k > fracc^2a) .

Vậy (max phường = k + a)( = frac212) ; (min p. = k - a)( = frac92) .


Ví dụ 2: Xét những số phức thỏa mãn (left| (z + 3)i + 2 ight| + left| left( ar z - 3 ight)i - 2 ight| = 8). Gọi (M,n) lần lượt là giá bán trị to nhất, giá trị bé dại nhất của (P = left| z ight|). Tính (M + n).


Giải:

(left| (z + 3)i + 2 ight| + left| left( ar z - 3 ight)i - 2 ight| = 8)( Leftrightarrow left| z + 3 - 2i ight| + left| z - 3 - 2i ight| = 8). Ta thấy ngay (z_1 = - 3 + 2i), (z_2 = 3 + 2i), (z_0 = 0).

Có (2c = left| z_1 - z_2 ight| = 6)( Rightarrow c = 3;b = sqrt 7 ) . Dễ kiển tra thấy (left| z_0 - z_1 ight| = left| z_0 - z_2 ight|).

Có (left| z_0 - fracz_1 + z_22 ight| = 2)( Rightarrow k = 2) và (fracc^2b = frac9sqrt 7 )( Rightarrow k

Áp dụng công thức, (min phường = left| k - b ight| = sqrt 7 - 2) và (max phường = fracacsqrt k^2 + c^2 )( = frac4sqrt 4 + 9 3 = frac4sqrt 13 3)


Đặc biệt. Elip không chủ yếu tắc nhưng (A) là trung điểm của (F_1F_2) tức (A) là vai trung phong Elip.

- Đặc điểm dìm dạng (z_0 = fracz_1 + z_22) hay (k = 0).

*


 

Giải:

- Tính (2c = left| z_1 - z_2 ight|)( Rightarrow c = frac z_1 - z_2 ight2)

- Tính (b^2 = a^2 - c^2)( Rightarrow b = sqrt a^2 - c^2 )

- Áp dụng công thức của việc 2.2 hoặc câu hỏi 2.4, ta phần đa có:

+ (AM) lớn nhất bằng (a) hay (max phường = a)

+ (AM) nhỏ độc nhất vô nhị bằng (b) hay (min p = b)

 

Ví dụ minh hoạ:

Cho số phức (z) thoả mãn (left| z - 1 + 3i ight| + left| z + 2 - i ight| = 8). Tìm giá bán trị bự nhất, giá trị nhỏ dại nhất của (P = left| 2z + 1 + 2i ight|) .

 

Giải:

Ta có (P = left| 2z + 1 + 2i ight|)( Rightarrow fracP2 = left| z + frac12 + i ight|). Ta chỉ cần tìm GTLN, GTNN của (P" = left| z + frac12 + i ight|)

Ta thấy (z_1 = 1 - 3i), (z_2 = - 2 + i) và (z_0 = - frac12 - i). Bởi đó (z_0 = fracz_1 + z_22)( Rightarrow left| z_0 - fracz_1 + z_22 ight| = 0) .

- Tính (2c = left| z_1 - z_2 ight| = 5)( Rightarrow c = frac52) ; (2a = 8 Rightarrow a = 4). Vậy (b = sqrt 16 - frac254 = fracsqrt 39 2)

Vậy (max P" = 4) ; (min P" = fracsqrt 39 2) . Vì đó (max p. = 8) và (min phường = sqrt 39 )

 

ELIP SUY BIẾN

 


Bài toán: Cho số phức (z) thoả mãn: (left| z - z_1 ight| + left| z - z_2 ight| = 2a) nhưng có (left| z_1 - z_2 ight| = 2a). Kiếm tìm GTLN, GTNN của (T = left| z - z_0 ight|)


Giải:

- bài xích toán tương đương với việc hình học: (MF_1 + MF_2 = F_1F_2). Tìm kiếm GTLN, GTNN của (T = AM).

- trả thiết (MF_1 + MF_2 = F_1F_2)tương đương cùng với M dịch rời trong đoạn thẳng (F_1F_2). Do đó:

+ Viết phương trình mặt đường thẳng (F_1F_2) với (x in m< mx_1;x_2 m>) (ở đây (x_1,x_2) lần lượt là hoành độ của (F_1,F_2))

+ Rút (y) theo (x) từ phương trình (F_1F_2) vào (T) được (T = f(x)) với (x in m< mx_1;x_2 m>).

+ search GTLN, GTNN của (f(x)) trên đoạn (x in m< mx_1;x_2 m>).

 

Ví dụ minh hoạ


Cho số phức (z) thoả mãn (left| z + 2 - i ight| + left| z - 4 + 7i ight| = 10). Search GTLN, GTNN của(P = left| z - 1 - 4i ight|)


Giải

Với các quy ước từ ban đầu, có (F_1( - 2;1)), (F_2(4; - 7)) và (A(1;4)). (M) là điểm biểu diễn (z).

Có (F_1F_2 = 10) do đó (left| z + 2 - i ight| + left| z - 4 + 7i ight| = 10)( Leftrightarrow )(M) thuộc đoạn thẳng (F_1F_2).

Có (overrightarrow F_1F_2 = (6; - 8)) nên phương trình thông số của (F_1F_2): (left{ eginarraylx = - 2 + 3t\y = 1 - 4tendarray ight.) . Với >( Rightarrow t in m<0;2>) .

Có (P^2 = left( x - 1 ight)^2 + left( y - 4 ight)^2)( = left( 3t - 3 ight)^2 + left( 4t + 3 ight)^2)( = 25t^2 + 6t + 18) với ( Rightarrow t in m<0;2>).

Khảo tiếp giáp hàm (f(t) = 25t^2 + 6t + 18) trên < m<0;2>> được GTNN của (f(t)) bằng 18, GTLN bởi 130.

Vậy (min p = 3sqrt 2 ) và (max phường = sqrt 130 )

 

 

 


 

1. ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA

· Cho số phức (z = a + bi), mô đun của (z) ký hiệu là (left| z ight|) được tính bởi (|z| = sqrt a^2 + b^2 )

· Mỗi số phức (z = a + bi) được màn trình diễn bởi điểm (M(a;b)) hay (overrightarrow OM )

· Mỗi số phức (z = a + bi) có thể xem như là một vecto (vec u = (a;b))

· Tổng (hiệu) nhì số phức bởi tổng (hiệu) hai vecto

· (|z| = |vec u|)

2. TÍNH CHẤT:

· (^2 = z.ar z); (left = ^2); (left| z_1.z_2 ight| = left| z_1 ight|left| z_2 ight|);

· (left| fracz_1z_2 ight| = fracleft); (left| z ight| = left| ar z ight|); (left| z^n ight| = z ight);

· (left| ight| le left| z_1 + z_2 ight|). Vết “=” xảy ra khi (z_1 = - k.z_2) ((k > 0))

· (left| z_1 + z_2 ight| le left| z_1 ight| + left| z_2 ight|). Lốt “=” xẩy ra khi (z_1 = k.z_2) ((k > 0))

· Cho (M,N) lần lượt màn trình diễn hai số phức (z_1,z_2), thì (MN = left| z_1 - z_2 ight|)

· M biểu diễn (z) và I biểu diễn (z_0) thì (left| z - z_0 ight| = R)( Leftrightarrow ) M thuộc con đường tròn tâm (I) bán kính R.

· M biểu diễn (z), (F_1) biểu diễn (z_1) và (F_2) biểu diễn (z_2) thì (left| z - z_1 ight| = left| z - z_2 ight|)( Leftrightarrow ) M thuộc con đường trung trực của (F_1F_2).

3. MỘT SỐ DẠNG TOÁN ÁP DỤNG


Dạng 1: Tìm (left| z ight|) hoặc (z) thoả mãn phương trình (oxedz) nghĩa là phương trình số 1 ẩn (z) chứa (left| z ight|).


Cách giải

+ dìm biết: Phương trình đã mang đến chỉ có bậc nhất với (z) nhưng rất có thể đứng những nơi, còn sót lại là những biểu thức chứa (left| z ight|) .

+ Nhóm (z) sang một vế mang đến dạng: (oxedz)(*)

+ rước mô đun nhì vế của (*) áp dụng tính chất (left| z_1.z_2 ight| = left| z_1 ight|left| z_2 ight|) được phương trình ẩn là (left| z ight|) .

+ Giải phương trình được (left| z ight|) .

+ Thế (left| z ight|) trở lại (*) giải ra (z)

VÍ DỤ MINH HOẠ


Ví dụ 1: Cho số phức (z) khác 0 thỏa mãn (zsqrt 3z.ar z + 1 = left| z ight|left( 2 + 6iz ight))


Hướng dẫn: Ta thấy vào phương trình chỉ có số 1 với (z), sót lại là (left| z ight|) (chú ý là (z.ar z = z ight)). Vậy đây là dạng toán đã tìm hiểu!.

Chuyển hết (z) sang một vế ta được: (zleft( z ight ight) = 2left| z ight|) (*).

Lấy tế bào đun 2 vế của (*) ta được: (left| z ight|sqrt (3left^2 + 1) + 36 z ight^2 = 2left| z ight|)( Leftrightarrow )(sqrt 39left^2 + 1 = 2) (do (z e 0)) ( Leftrightarrow left| z ight| = frac1sqrt 13 ).


Ví dụ 2: Cho số phức (z) thỏa mãn ((2 + i)left| z ight| = cfracsqrt 10 z + 1 - 2i). Tìm (left| z ight|)


Hướng dẫn: Điều kiện (z e 0), quy đồng ta được ((2 + i)left| z ight|z = sqrt 10 + z - 2iz)( Leftrightarrow left( 2left ight)z = sqrt 10 )( Rightarrow sqrt left( z ight ight)^2 + left( z ight ight)^2 .left| z ight| = sqrt 10 )( Rightarrow 5 z ight + 5left = 10)( Rightarrow left| z ight| = 1)


Ví dụ 3: Cho số phức (z) thỏa mãn (z - 4 = (1 + i)left| z ight| - (4 + 3z)i) . Tìm (left| z ight|)


Đáp số: (left| z ight| = 2)

Hướng dẫn: Dồn (z) về một vế ta được (zleft( 1 + 3i ight) = left( left ight) + left( z ight ight)i)

Lấy tế bào đun 2 vế, suy ra (left| z ight|sqrt 10 = sqrt left( z ight ight)^2 + left( left ight)^2 )( Leftrightarrow 10^2 = 2 z ight + 32)( Leftrightarrow left| z ight| = 2)


Đáp số: (left| z ight| = 1)

Hướng dẫn: Quy đồng với dồn (z) về một vế ta được ((1 + i)left| z ight|z = left( ight) + left| z ight|i) . đem mô đun 2 vế ta được (sqrt 2 z ight = sqrt left( z ight ight)^2 + left^2 )( Leftrightarrow 2 z ight = 5left - 4left| z ight| + 1) (chú ý (left| z ight| > 0) )

Nhẩm thấy phương trình có nghiệm (left| z ight| = 1), phương trình bậc 3 còn lại vô nghiệm với (left| z ight| > 0).

 


Dạng 2: Cho (|z_1| = m), (|z_2| = n) và (|az_1 + bz_2| = p) tính (q = |cz_1 + dz_2|).


Cách giải

Coi (z_1 = vec u) và (z_2 = vec v) thì (vec u^2 = |vec u = m^2), (vec v^2 = |vec v = n^2) và ((avec u + bvec v)^2 = p^2) ; ((cvec u + dvec v)^2 = p^2).

Khai triển:

(p^2 = a^2m^2 + b^2n^2 + 2ab.vec uvec v) (1)

(q^2 = c^2m^2 + d^2n^2 + 2cd.vec uvec v) (2)

Bây giờ khử (vec uvec v) là xong:

Nhân (1) với (cd) và nhân (2) với (ab) rồi trừ đi, được:

(cd.p^2 - ab.q^2 = cdleft( a^2m^2 + b^2n^2 ight) - ableft( c^2m^2 + d^2n^2 ight))( Leftrightarrow cd.p^2 - ab.q^2 = acm^2(ad - bc) - bdn^2( - bc + ad))(oxed Leftrightarrow cd.p^2 - ab.q^2 = (ad - bc)(acm^2 - bdn^2))

Đặc biệt: Khi (a = b = 1) và (c = - d = 1), ta tất cả công thức hình bình hành

(oxed2left( z_1 ight^2 + ^2 ight) = left^2 + left^2)

 

VÍ DỤ MINH HỌA


Ví dụ 1: cho những số phức thỏa mãn (left| z_1 ight| = 1) ; (left| z_2 ight| = 3) và (left| z_1 - 3z_2 ight| = 2). Tính (P = left| 2z_1 + 3z_2 ight|)


Đáp số: (P = sqrt 241 )

Hướng dẫn: coi các số phức (z_1,z_2) là các vector (vec u,vec v) ta có:

(4 = ^2)( = z_1 ight + 9^2 - 6vec u.vec v) (1)

(P^2 = 2z_1 + 3z_2 ight = 4 z_1 ight + 9left + 12vec u.vec v) (2)

Nhân (1) với 2 rồi cộng với (2) ta được: (8 + P^2 = 6^2 + 27 z_2 ight)( Rightarrow P^2 = 241)( Rightarrow phường = sqrt 241 )


Ví dụ 2: Cho hai số phức (z_1,z_2) thỏa mãn (left| z_1 + z_2 ight| = 5) và (left| z_1 - z_2 ight| = 3). Tra cứu GTLN của (P = left| z_1 ight| + left| z_2 ight|)


Đáp số : (max p = sqrt 34 )

Hướng dẫn: coi những số phức (z_1,z_2) là các vector (vec u,vec v) ta có:

(25 = left + left + 2vec u.vec v) (1) và (9 = z_1 ight + ^2 - 2vec u.vec v) (2). Cộng (1) cùng với (2) được (34 = 2left( ^2 + z_2 ight^2 ight)) . Phương diện khác, theo bất đẳng thức BNC, ta có (P^2 = left( left ight)^2 le 2left( left^2 + left^2 ight))( Rightarrow P^2 le 34)( Rightarrow p le sqrt 34 ) .


Ví dụ 3: Cho hai số phức (z_1,z_2) thỏa mãn (left| z_1 + 2z_2 ight| = 5) và (left| 3z_1 - z_2 ight| = 3). Kiếm tìm GTLN của (P = left| z_1 ight| + left| z_2 ight|)


Đáp số: (max p = sqrt frac15514 )

Hướng dẫn: coi những số phức (z_1,z_2) là những vector (vec u,vec v) ta có:

(25 = z_1 ight + 4 z_2 ight + 4vec u.vec v) (1) và (9 = 9left + left - 6vec u.vec v) (2). Nhân (1) cùng với 3 với nhân (2) cùng với 2 rồi cộng lại ta có: (93 = 21^2 + 14left) .

Bây giờ áp dụng bất đẳng thức BNC cho (P^2) :

(P^2 = left( + left ight)^2)( = left( frac1sqrt 21 left( ight) + frac1sqrt 14 left( z_2 ight ight) ight)^2)( le left( frac121 + frac114 ight)left( 21 z_1 ight^2 + 14^2 ight))( = frac15514)( Rightarrow p. le sqrt frac15514 ) .

 


Dạng 3.1 Cho số phức (z) thỏa mãn (left| z - z_0 ight| = R). Tìm kiếm GTLN của (P = aleft| z - z_1 ight| + bleft| z - z_2 ight|) biết rằng (z_0 - z_1 = - kleft( z_0 - z_2 ight)), (k > 0) và (a,b in mathbbR).


Cách giải

Ý nghĩa hình học: Cho điểm M hoạt động trên mặt đường tròn trung tâm I nửa đường kính R. Cho A, B là 2 điểm cố định thỏa mãn I phía bên trong đoạn trực tiếp AB. Tìm giá chỉ trị lớn nhất của 

.

Trừ khi I là trung điểm của AB, còn nếu như không sử dụng

*
 hình học để giải bài bác này là nhiệm vụ không hề dễ dàng.

Ta sẽ sử dụng các đặc điểm về mô đun của số phức để giải quyết bài toán.

Ta có:

(left = z - z_0 + z_0 - z_1 ight)( = z - z_0 ight + left + 2vec u.( - kvec v)) (1)

(left = z - z_0 + z_0 - z_2 ight)( = z - z_0 ight + left + 2vec u.vec v) (2)

với (vec u) là vector biểu diễn (z - z_0) và (vec v) là vector biểu diễn (z_0 - z_2) với giữ ý (z_0 - z_1 = - kleft( z_0 - z_2 ight))

Nhân (2) với (k) rồi cùng với ((1)) ta được:

(^2 + k z - z_2 ight = )((1 + k)left( R^2 + k z_0 - z_2 ight^2 ight)) (không đổi)

Ap dụng bất đẳng thức BNC cho (P^2), ta có:

(P^2 = left( z - z_2 ight ight)^2)( = left( aleft ight)^2)( le left( a^2 + fracb^2k ight)left( z - z_1 ight^2 + kleft^2 ight))

( Rightarrow )(P^2 le left( a^2 + fracb^2k ight)(1 + k)left( R^2 + k^2 ight)) .

Vậy, với bí quyết cồng kềnh do đó rất cạnh tranh nhớ, cho nên những em buộc phải nhớ biện pháp làm của nó.

 

VÍ DỤ MINH HỌA


Ví dụ 1: Cho số phức (z) thỏa mãn (left| z - 1 ight| = sqrt 2 ). Kiếm tìm GTLN của (T = left| z + i ight| + left| z - 2 - i ight|)


Đáp số: (max T = 4)

Hướng dẫn: trung khu I mặt đường tròn vào giải thiết là (z_0 = 1), cung cấp kính (r = sqrt 2 ). Điểm A và B ứng với hai số phức (z_1 = - i) và (z_2 = 2 + i). Thường thấy rằng (z_0 - z_1 = - left( z_0 - z_2 ight)). Vậy thậm chí là I là trung điểm của AB. Ta có:

(left = ^2)( = z - 1 ight + ^2 + 2vec u.vec v) (1)

( z - 2 - i ight = ^2)( = ^2 + left - 2vec u.vec v) (2). Với (vec u,vec v) biểu diễn (z - 1) và (1 + i).

Cộng (1) cùng với (2) ta được:

(left + ^2 = 2 z - 1 ight + 4)( = 8) (không đổi)

Áp dụng BNC:

(T^2 = left( z + i ight ight)^2)( le 2left( z + i ight^2 + left^2 ight))( = 16)( Rightarrow T le 4)


Ví dụ 2: Cho số phức (z) thỏa mãn (left| z - 1 - 2i ight| = 2). Tìm kiếm GTLN của (T = left| z ight| + left| z - 3 - 6i ight|).


Đáp số: (max T = 3sqrt 7 )

Hướng dẫn: Ta có

(left = left)( = z - 1 - 2i ight + ^2 + 2vec u.vec v) (1)

( z - 3 - 6i ight = left)( = left + 4 1 + 2i ight - 4vec u.vec v) (2). Với (vec u,vec v) biểu diễn (z - 1 - 2i) và (1 + 2i).

Nhân (1) với 2 rồi cùng với (2) được:

(2 z ight + left = )(3 z - 1 - 2i ight + 6 1 + 2i ight)( = 12 + 30 = 42)

Áp dụng bất đẳng thức BNC:

(T^2 = left( z ight ight)^2)( = left( z - 3 - 6i ight ight)^2)( le left( frac12 + 1 ight)left( 2^2 + ^2 ight))( = 63)( Rightarrow T le 3sqrt 7 )


Dạng 3.2 Cho số phức (z) thỏa mãn (left| z - z_0 ight| = R). Tra cứu GTNN của (P = left| z - z_1 ight| + kleft| z - z_2 ight|) biết rằng (left| z_1 - z_0 ight| > R); (left| z_2 - z_0 ight| > R) , và (k = fracleftR).


Cách giải

Ý nghĩa hình học: Gọi (I) là điểm biểu diễn (z_0) và (M,A,B) lần lượt biểu diễn (z,z_1,z_2) thì câu hỏi trở thành:

Cho nhì điểm (A,B) nằm ngoài đường tròn tâm (I) bán kính (R) và số thực (k = fracIAR). Kiếm tìm GTNN của (T = MA + kMB)

*

Lấy điểm (A") trên đoạn (IA) sao cho (IA".IA = R^2)( Rightarrow )(overrightarrow IA" = fracR^2IA^2overrightarrow IA )( Rightarrow )(A’) cố định ($A’$ có cách gọi khác là ảnh của $A$ qua phép nghịch hòn đảo tâm $I$ tỉ số $R^2$). Lúc ấy ta có (fracIA"IM = fracIMIA)( Rightarrow Delta IA"M approx Delta IMA) (c.g.c) ( Rightarrow fracMA"MA = fracIA"IM)( Rightarrow fracMAMA" = fracIAR) . Nhưng giả thiết cho (k = fracIAR) nên (MA = kMA"). Vậy (T = MA + kMB = kleft( MA" + MB ight))( ge kA"B) . Vì (B) nằm ngoài đường tròn trong khi (A") nằm trong con đường tròn bắt buộc dấu “=” xảy ra tại (A"B) cắt con đường tròn.

Đáp số: (min T = kA"B) với (A") là điểm thỏa mãn (overrightarrow IA" = frac1k^2overrightarrow IA )

 

Ví dụ 1: Cho số phức (z) thỏa mãn (left| z - 1 - i ight| = 5). Tìm kiếm GTNN của (T = left| z - 7 - 9i ight| + 2left| z - 8i ight|)

Đáp số: (min T = 5sqrt 5 ).

Hướng dẫn: mang thiết (left| z - 1 - i ight| = 5) là mặt đường tròn tâm (I(1;1)) bán kính (R = 5). Biểu thức (T = MA + 2MB) với (A(7;9)) và (B(0;8)). Ta thấy (IA = sqrt 6^2 + 8^2 = 10) và (k = fracAIR = frac105 = 2). Dễ thấy các điểm (A,B) nằm ngoài đường tròn. Vậy các điều kiện của bài toán được thỏa mãn.

Ta tìm (A") thỏa mãn: (overrightarrow IA" = frac14overrightarrow IA )( = left( frac32;2 ight))( Rightarrow A" = I + left( frac32;2 ight))( = left( frac52;3 ight))( Rightarrow A"B = sqrt frac254 + 25 )( = frac5sqrt 5 2) . Vậy (min T = 2A"B)( = 5sqrt 5 ) .

Ví dụ 2: Cho số phức (z) thỏa mãn (left| z + i ight| = 1). Kiếm tìm GTNN của (T = left| ar z - sqrt 2 - i ight| + sqrt 2 left| z - sqrt 2 + 3i ight|)

Đáp số: (min T = 3)

Hướng dẫn: trả thiết (left| z + i ight| = 1) là con đường tròn tâm (I(0; - 1)) bán kính (R = 1). Biểu thức (T = MA + sqrt 2 MB) với (A(sqrt 2 ; - 1)) và (B(sqrt 2 ; - 3)). Ta thấy (IA = sqrt 2 ) và (k = fracAIR = fracsqrt 2 1 = sqrt 2 ). Dễ dàng thấy các điểm (A,B) nằm ngoài đường tròn. Vậy các điều kiện của câu hỏi được thỏa mãn.

Ta tìm (A") thỏa mãn: (overrightarrow IA" = frac12overrightarrow IA )( = left( fracsqrt 2 2;0 ight))( Rightarrow A" = I + left( fracsqrt 2 2;0 ight))( = left( fracsqrt 2 2; - 1 ight))( Rightarrow A"B = sqrt frac12 + 4 )( = frac3sqrt 2 ) . Vậy (min T = sqrt 2 A"B)( = 3) .


Dạng 4. Cho số phức (z) thõa mãn (left| z + cfracz_0z ight| le k), ((k > 0)) tốt dạng tương đương (left| z^2 + z_0 ight| le kleft| z ight|) , ((k > 0)). Kiếm tìm GTLN, GTNN của (T = left| z ight|).


Cách giải

Áp dụng bất đẳng thức (left| - left ight| le left| z_1 + z_2 ight|), ta có (left| z_0 ight ight| le left| z^2 + z_0 ight|) . Khía cạnh khác, (left| z^2 + z_0 ight| le kleft| z ight|)( Rightarrow left| ight| le kleft| z ight|)( Rightarrow - kleft| z ight| le ^2 - left| z_0 ight| le kleft| z ight|)( Rightarrow left{ eginarraylleft - kleft| z ight| - left| z_0 ight| le 0\left + kleft| z ight| - left| z_0 ight| ge 0endarray ight.)( Leftrightarrow frac - k + sqrt k^2 + 4left 2 le left| z ight| le frack + sqrt k^2 + 4left 2) . Đánh giá bán 1 lần đối với hàm 2 biến đảm bảo an toàn dấu “=” xảy ra. Tôi ko giải cụ thể ở đây.

Vậy (min T = frac - k + sqrt 2) và (max T = frack + sqrt 2)

VÍ DỤ MINH HỌA


Ví dụ 1: Cho số phức (z) thỏa mãn (left| z + frac4iz ight| = 2). Gọi (M,m) lần lượt là GTLN và GTNN của (left| z ight|). Tính (T = M + m)


Đáp số: (T = 2sqrt 5 )

Hướng dẫn: (left| z + frac4iz ight| = 2)( Leftrightarrow left| z^2 + 4i ight| = 2left| z ight|) . Áp dụng bất đẳng thức (left| z_1 ight ight| le left| z_1 + z_2 ight|), ta có (left| z ight^2 - 4 ight| le left| z^2 + 4i ight|)( Rightarrow - 2left| z ight| le left - 4 le 2left| z ight|)( Rightarrow - 1 + sqrt 5 le left| z ight| le 1 + sqrt 5 ) .

Vậy (M = 1 + sqrt 5 ) và (m = - 1 + sqrt 5 ) . Vì đó (T = 2sqrt 5 )


Ví dụ 2: Cho số phức (z) thỏa mãn (left| (1 + i)z^2 + 1 - 2i ight| le sqrt 2 left| z ight|). Kiếm tìm GTLN, GTNN của (T = left| z ight|).


Hướng dẫn: Ta hoàn toàn có thể đưa về dạng quen thuộc thuộc bằng cách chia cả nhì vế cho (left| 1 + i ight|) , ta được (left| z^2 + frac1 - 2i1 + i ight| le left| z ight|) .

Áp dụng bất đẳng thức (left| ight| le left| z_1 + z_2 ight|), ta có (left| ^2 - fracsqrt 5 sqrt 2 ight| le left| z^2 + frac1 - 2i1 + i ight| le left| z ight|)( Rightarrow - left| z ight| le z ight - fracsqrt 10 2 le left| z ight|)( Rightarrow - 1 + sqrt 1 + 2sqrt 10 le left| z ight| le 1 + sqrt 1 + 2sqrt 10 ) .

Vậy (max T = 1 + sqrt 1 + 2sqrt 10 ) và (min T = - 1 + sqrt 1 + 2sqrt 10 )

 


Dạng 5. Cho số phức (z) thỏa mãn (left| z_1.z - z_2 ight| = k > 0). Tìm kiếm GTLN, GTNN của (T = left| z - z_0 ight|)


Cách giải

Ý nghĩa hình học: Gọi M là điểm biểu diễn (z), có (left| z_1.z - z_2 ight| = k)( Leftrightarrow left| z - fracz_2z_1 ight| = frack)( Leftrightarrow im = R) với (I)biểu diễn (fracz_2z_1) và (R = frackleft) . Vậy M vận động trên con đường tròn tâm (I) bán kính R. Gọi A là vấn đề biểu diễn (z_0) thì (T = AM). Việc trở thành: “cho M di chuyển trên đường tròn trọng tâm I nửa đường kính R với A là điểm cố định. Tra cứu GTLN, GTNN của AM”

 

Như vậy, chú ý vào hình mẫu vẽ ta thấy ngay:

*

(min T = left| AI - R ight|)( = left| left ight|)( = frac left ight z_1 ight)

(max T = AI + R)( = left| z_0 - fracz_2z_1 ight| + frack)( = frac + k)

(tử số như là thay (z_0) vào phương trình mặt đường tròn vậy)

Lưu ý: Không buộc phải phương trình đường tròn nào cũng có dạng (left| z_1.z - z_2 ight| = k > 0), mà đôi khi nó ở dạng (left| z_1z - z_2 ight| = left| z_1z - z_3 ight|) với (left| z_1 ight| e left| z_2 ight|). Vì chưng đó, để kiểm tra đk giả thiết là phương trình con đường tròn hay mặt đường thẳng trong trường thích hợp lạ, cách rất tốt là gọi (z = x + yi) rồi nỗ lực vào trả thiết nhằm biết ((x;y)) thỏa mãn phương trình nào.

 

 

 

VÍ DỤ MINH HỌA


Ví dụ 1: Cho số phức (z) thỏa mãn (left| z - 1 + 2i ight| = 4). Search GTLN. GTNN của (T = left| z + 1 - i ight|)


Đáp số: (min p = 4 - sqrt 13 ) và (max p = 4 + sqrt 13 )

Hướng dẫn: Viết T dạng (T = left| z - z_0 ight|) thì (z_0 = - 1 + i). Nắm vào phương trình đầu ta được (left| z_0 - 1 + 2i ight| = left| - 2 + 3i ight|).

Vậy (min phường = 4 - sqrt 13 ) và (max p. = 4 + sqrt 13 )


Ví dụ 2: Cho số phức (z) thỏa mãn (left| 2iz - 1 + 3i ight| = 1). Tính GTLN, GTNN của (T = left| z + 2 - 3i ight|)


Đáp số: (min p. = frac5sqrt 2 - 12) và (max phường = frac5sqrt 2 + 12).

Hướng dẫn: Viết T dạng (T = left| z - z_0 ight|) thì (z_0 = - 2 + 3i). Thay (z_0) vào (left| 2iz - 1 + 3i ight|) ta được (left| 2iz_0 - 1 + 3i ight|)( = left| - 7 - i ight| = 5sqrt 2 ) .

Vậy (min p. = frac5sqrt 2 - 12) và (max p. = frac5sqrt 2 + 12)


Ví dụ 3: Cho số phức (z) thỏa mãn (left| 2z - 1 ight| = left| z + 2i ight|). Kiếm tìm GTLN, GTNN của (T = left| z + 1 + 2i ight|)


Đáp số: (min T)( = fracsqrt 65 3 - fracsqrt 11 3) và (max T)( = fracsqrt 65 3 + fracsqrt 11 3)

Hướng dẫn: Gọi (z = x + yi) ((x,y in mathbbR)), và (M(x;y)) biểu diễn (z) thì (left| 2z - 1 ight| = left| z + 2i ight|)( Leftrightarrow left( 2x - 1 ight)^2 + left( 2y ight)^2 = x^2 + left( y + 2 ight)^2)( Leftrightarrow 3x^2 + 3y^2 - 4x - 4y - 3 = 0)( Leftrightarrow x^2 + y^2 - frac23x - frac23y - 1 = 0) . Vậy (M) nằm trê tuyến phố tròn tâm (Ileft( frac13;frac13 ight)) bán kính(R = fracsqrt 11 3) .

Có (T = left| z + 1 + 2i ight| = AM) với (A( - 1; - 2)).

Vậy (min T = AI - R)( = fracsqrt 65 3 - fracsqrt 11 3) và (max T = AI + R)( = fracsqrt 65 3 + fracsqrt 11 3)

 


Dạng 6. Cho số phức (z) thỏa mãn (left| z - z_1 ight| = left| z - z_2 ight|). Tra cứu GTNN của (T = left| z - z_0 ight|).


Cách giải

Ý nghĩa hình học: Điều kiện (left| z - z_1 ight| = left| z - z_2 ight|) thực chất là phương trình mặt đường thẳng.

Nếu ta gọi (M) là điểm biểu diễn (z), (A) là điểm biểu diễn (z_1) và (B) biểu diễn (z_2) thì mang thiết tương đương với (MA = MA) hay (M) nằm trên trung trực của (AB). Gọi (I) là điểm biểu diễn (z_0) thì (T = IM).

*

 

Vậy (IM) nhỏ độc nhất vô nhị khi (M) là hình chiếu vuông góc của (I) lên (d). Giá trị nhỏ dại nhất bằng (min T = dleft( I,d ight)).

Lưu ý: Không đề nghị phương trình đường thẳng nào cũng có dạng (left| z - z_1 ight| = left| z - z_2 ight|), cho nên khi chạm chán giả thiết lạ, cách tốt nhất có thể để phân biệt giả thiết là con đường thẳng hay đường tròn là gọi (z = x + yi) rồi nỗ lực vào phương trình.

VÍ DỤ MINH HỌA


Ví dụ 1: Cho số phức (z) thỏa mãn (left| z + i + 1 ight| = left| ar z - 2i ight|). Kiếm tìm GTNN của (left| z ight|).


Đáp số: (min left| z ight| = frac1sqrt 2 ).

Hướng dẫn: Gọi (z = x + yi) thì (M(x;y)) là điểm biểu diễn (z). Từ (left| z + i + 1 ight| = left| ar z - 2i ight|)( Leftrightarrow (x + 1)^2 + (y + 1)^2)( = x^2 + (y + 2)^2)( Leftrightarrow x - y - 1 = 0) (d). Vậy M dịch rời trên (d).

Có (left| z ight| = OM), bởi đó (left| z ight|) nhỏ tuyệt nhất bằng (d(O;d) = frac1sqrt 2 ).


Ví dụ 2: Cho số phức (z) thỏa mãn (left( z + 3 - i ight)left( ar z + 1 + 3i ight)) là một vài thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của (T = left| z - 1 + i ight|)


Đáp số: (min T = 3sqrt 2 )

Hướng dẫn: Gọi (z = x + yi), ta có (left( z + 3 - i ight)left( ar z + 1 + 3i ight))( = left( (x + 3) + (y - 1)i ight) imes )(left( (x + 1) + ( - y + 3)i ight)). Tích này có phần ảo là (left( x + 3 ight)left( - y + 3 ight) + left( y - 1 ight)left( x + 1 ight)) . Phần ảo bởi 0 ( Leftrightarrow 3x - 3y + 9 - x + y - 1 = 0)( Leftrightarrow x - y + 4 = 0) (d). Vậy nếu call M là điểm biểu diễn (z) thì M chạy trê tuyến phố thẳng (d).

Gọi (A(1; - 1)) là điểm biểu diễn (1 - i) thì (T = AM). Giá trị (T) nhỏ tốt nhất bằng khoảng cách từ (A)đến (d). Vậy (min T = fracleftsqrt 2 = 3sqrt 2 )


Dạng 7. Cho nhị số phức (z_1,z_2) thỏa mãn (left| z_1 - z_1^* ight| = R) và (left| z_2 - z_2^* ight| = left| z_2 - z_3^* ight|) , với (z_1^*,z_2^*,z_3^*) cho trước. Search GTNN của (T = left| z_1 - z_2 ight|)


Cách giải

*

Ý nghĩa hình học:Gọi M, N là các điểm biểu diễn (z_1,z_2). đưa thiết (left| z_1 - z_1^* ight| = R)tương đương với M thuộc đường tròn trung ương I bán kính R (gọi là đường tròn (C)). Mang thiết (left| z_2 - z_2^* ight| = left| z_2 - z_3^* ight|) tương đương cùng với N thuộc đường thẳng (d). Bài toán trở thành tìm M nằm trong (C) cùng N thuộc (d) sao cho (T = MN)ngắn nhất.

Từ mẫu vẽ ta thấy ngay giá chỉ trị nhỏ dại nhất của (MN) bằng (d(I,(d)) - R)

Vậy (min T = dleft( I,(d) ight) - R).

 

 

 

VÍ DỤ MINH HỌA


Ví dụ 1: Cho nhị số phức (z_1,z_2) thỏa mãn (left| z_1 + 5 ight| = 5) và (left| z_2 + 1 - 3i ight| = left| z_2 - 3 - 6i ight|). Tìm giá chỉ trị nhỏ nhất của (T = left| z_1 - z_2 ight|).


Đáp số: (min MN = frac52).

Hướng dẫn: Gọi M, N là những điểm biểu diễn (z_1,z_2). Trả thiết (left| z_1 + 5 ight| = 5) tương đương M thuộc mặt đường tròn tâm (I( - 5;0)) bán kính (R = 5). Trả thiết (left| z_2 + 1 - 3i ight| = left| z_2 - 3 - 6i ight|)( Leftrightarrow ) N thuộc đường thẳng (d): (8x + 6y - 35 = 0). Vậy (min MN = d(I,(d)) - R)( = frac152 - 5 = frac52) .


Ví dụ 2: Cho hai số phức (z_1,z_2) thỏa mãn (left| z_1 + 4 - 3i ight| = 2) và (left| z_2 + 2 - 3i ight| = left| z_2 - 1 + 2i ight|). Tìm giá trị nhỏ nhất của (T = left| z_1 - z_2 ight|).


Đáp số: (min MN = frac23sqrt 34 34 - 2)

Hướng dẫn: call M, N là những điểm biểu diễn (z_1,z_2). đưa thiết (left| z_1 + 4 - 3i ight| = 2) tương đương M thuộc con đường tròn tâm (I( - 4;3)) bán kính (R = 2). đưa thiết (left| z_2 + 2 - 3i ight| = left| z_2 - 1 + 2i ight|)( Leftrightarrow ) N thuộc mặt đường thẳng (d): (3x - 5y + 4 = 0). Vậy (min MN = d(I,(d)) - R)( = frac23sqrt 34 - 2)( = frac23sqrt 34 34 - 2) .

 

Lời kết:

· Các việc trên rất có thể giải bằng phương thức đại số bằng cách rút một ẩn theo ẩn còn sót lại từ giả thiết để gắng vào biểu thức buộc phải đánh giá thành hàm số dạng (T = f(x)). Tiếp nối tìm GTLN, GTNN của (f(x)) trên miền xác định của (f(x)).

Xem thêm: " Redneck Là Gì, Nghĩa Của Từ Redneck, Redneck Có Nghĩa Là Gì

· Các tiến công giá bảo vệ chặt chẽ cần chứng minh có đẳng thức (dấu “=”) xảy ra. Để tránh phức hợp vấn đề tôi không trình bày ở đây. Tuy vậy các bài toán tổng quát đang nêu đều đảm bảo điều đó.