Có thể bạn chưa biết?Ta đã làm quen với các công thức lượng giác từ lịch trình Toán lớp 11, mặc dù nhiên có thể nhiều bạn trong họ chưa biết cách chứng tỏ các công thức lượng giác đó như vậy nào, vì thế trong chủ thể này, họ sẽ nói tới một cách chứng minh các bí quyết lượng giác có sử dụng số phức, hay ví dụ hơn là công thức Euler.

Bạn đang xem: Chứng minh công thức euler

*

Nhà toán học tập Leonhard Euler

Ta có công thức rất nổi tiếng do bên toán học tập Euler tuyên bố như sau: $e^ivarphi = cos varphi + isin varphi $ (việc chứng tỏ công thức này sẽ tiến hành đề cập tới trong một nội dung bài viết khác).

Bây giờ vận dụng công thức này với các biểu thức lượng giác nhân đôi, nhân bố thì ta có:$e^i.(2a) = cos 2a + isin 2a.$$e^i(a + a) = (cos a + isin a)^2$ $ = cos ^2a – sin ^2a + 2icos asin a.$Đến đây đồng nhất hệ số hai vế ta đã thu được cách làm góc nhân song là:$cos 2a = cos ^2a – sin ^2a.$$sin 2a = 2sin a.cos a.$Với phương pháp nhân cha thì cũng tương tự, ta có:$e^i(3a) = cos 3a + isin 3a.$$e^i(3a) = left( e^a ight)^3$ $ = (cos a + isin a)^3$ $ = cos ^3a + 3icos ^2a – 3cos a.sin ^2a – isin ^3a.$Đến đây ta cũng nhất quán hệ số như trên và sử dụng công thức lượng giác không còn xa lạ $sin ^2x + cos ^2x = 1$ thì ta cũng chiếm được hai phương pháp nhân bố như ta đang biết.

Tiếp theo vận dụng công thức Euler, ta có đổi khác sau:$e^i(a + b)$ $ = cos (a + b) + isin (a + b)$ $(1).$$e^ia.e^ib$ $ = .$$ = cos a.cos b – sin a.sin b$ $ + i(sin acos b + cos asin b)$ $(2).$Đồng nhất thông số ở hai đẳng thức $(1)$ với $(2)$ ta chiếm được hai phương pháp lượng giác quen thuộc:$cos (a + b)$ $ = cos a.cos b – sin a.sin b.$$sin (a + b)$ $ = sin a.cos b + cos a.sin b.$

Tương từ bỏ cho cách làm hiệu, ta có:$e^i(a – b)$ $ = cos (a – b) + isin (a – b).$$frace^iae^ib = fraccos a + isin acos b + isin b.$$ = frac(cos a + isin a)(cos b – isin b)cos ^2b + sin ^2b.$$ = cos acos b + sin asin b$ $ + i(sin acos b – cos asin b).$

Vậy thắc mắc đặt ra là với phương pháp biến tổng thành tựu thì ta đã làm như thế nào?Trước tiên ta có:$e^ia = cos a + isin a$ $(3).$$e^ib = cos b + isin b$ $(4).$Tiếp theo ta lại có:$e^ileft( fraca + b2 ight).e^ileft( fraca – b2 ight)$ $ = left( cos fraca + b2 + isin fraca + b2 ight)left( cos fraca – b2 + isin fraca – b2 ight).$$ = cos fraca + b2.cos fraca – b2$ $ – sin fraca + b2.sin fraca – b2$ $ + ileft( sin fraca + b2.cos fraca – b2 + cos fraca + b2.sin fraca – b2 ight).$ $(5).$$e^ileft( fraca + b2 ight).e^ileft( fracb – a2 ight)$ $ = left( cos fraca + b2 + isin fraca + b2 ight)left( cos fracb – a2 + isin fracb – a2 ight).$$ = cos fraca + b2.cos fraca – b2$ $ + sin fraca + b2.sin fraca – b2$ $ + ileft( sin fraca + b2.cos fraca – b2 – cos fraca + b2.sin fraca – b2 ight)$ $(6).$Bây giờ mang $(3)$ cộng (hoặc trừ) với $(4)$ cùng $(5)$ cùng (hoặc trừ) với $(6)$ ta bao gồm ngay các đẳng thức lượng giác quen thuộc thuộc. Từ cách làm này ta suy ra phương pháp biến tích thành tổng.

Xem thêm: Thay Vào Đó Tiếng Anh Là Gì, Cấu Trúc, Cách Dùng Phân Biệt Với Instead

Ngoài ra các công thức liên quan tới các hàm $ an x$ với $cot x$ ta cũng thực hiện các chuyển đổi đại số thuần túy và những công thức đã minh chứng ở trên để suy ra nó. Các bạn có thể từ công thức Euler để suy ra các đẳng thức lượng giác khác phong phú hơn.

Cuối cùng mình xin kết thúc nội dung bài viết này tại đây, bài viết sau sẽ đề cập tới cách minh chứng công thức Euler, mong các bạn đón đọc!