Tổng hợp kỹ năng và kiến thức cần cố vững, các dạng bài bác tập và thắc mắc có kĩ năng xuất hiện trong đề thi HK2 Toán học tập 10 sắp tới tới


Phần 1

BẤT ĐẲNG THỨC BẤT PHƯƠNG TRÌNH

1. Bất phương trình và hệ bất phương trình

Các phép biến hóa bất phương trình:

a) Phép cộng: Nếu f(x) xác định bên trên D thì P(x) 0, (forall )x ( in ) D thì P(x) Q(x).f(x)

c) Phép bình phương: Nếu P(x) ( ge )0 và Q(x) ( ge )0, (forall )x ( in ) D thì P(x) 0 ta có:

(left| f(x) ight| le a Leftrightarrow - a le f(x) le a)

(left| f(x) ight| ge a Leftrightarrow left< eginarraylf(x) le - a\f(x) ge aendarray ight.)

3. Phương trình cùng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

a. Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình ax + by ( le c) (1) ((a^2 + b^2)( e 0))

Bước 1: trong mp Oxy, vẽ đường thẳng ((Delta )): ax + by ( = c)

Bước 2: Lấy (M_o(x_o;y_o) otin (Delta )) (thường lấy (M_o equiv O))

Bước 3: Tính axo + byo và so sánh axo + byo và c.

Bạn đang xem: Các công thức toán 10 học kì 2

Bước 4: Kết luận

Nếu axo + byo o là miền nghiệm của ax + by ( le c)

Nếu axo + byo > c thì nửa mp bờ ((Delta )) không chứa Mo là miền nghiệm của ax + by ( le c)

b. Bỏ bờ miền nghiệm của bpt (1) ta được miền nghiệm của bpt ax + by c)được xác định tương tự.

c. Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn:

Với mỗi bất phương trình vào hệ, ta xác định miền nghiệm của nó và gạch bỏ miền còn lại.

Sau lúc làm như trên lần lượt đối với tất cả các bpt vào hệ trên cùng một mp tọa độ, miền còn lại ko bị gạch chính là miền nghiệm của hệ bpt đã cho.

4. Dấu của tam thức bậc hai

a. Định lí về vệt của tam thức bậc hai:

Cho tam thức bậc nhị f(x) = ax2 + bx + c, a( e )0, (Delta )= b2 – 4ac

* giả dụ (Delta )0), (forall )x( in )R

* nếu như (Delta )= 0 thì f(x) thuộc dấu với hệ số a (a..f(x)>0), (forall )x( e )(frac - b2a)

* nếu như (Delta )> 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a khi x 1 hoặc x > x2; f(x) trái lốt với thông số a khi x1 2. (Với x1, x2 là hai nghiệm của f(x) với x12)

Bảng xét dấu: f(x) = ax2 + bx + c, a( e )0, (Delta )= b2– 4ac > 0

*

b. Lốt của nghiệm số

Cho f(x) = ax2 + bx + c, a( e )0

a) ax2 + bx + c = 0 có nghiệm ( Leftrightarrow )(Delta )= b2– 4ac ( ge )0

b) ax2 + bx + c = 0 tất cả 2 nghiệm trái vết ( Leftrightarrow )a.c 2 + bx + c = 0 bao gồm 2 nghiệm cùng dấu ( Leftrightarrow left{ eginarraylDelta > 0\a.c > 0endarray ight.)

c) ax2 + bx + c = 0 có những nghiệm dương ( Leftrightarrow )(left{ eginarraylDelta ge 0\P = x_1x_2 = fracca > 0\S = x_1 + x_2 = - fracba > 0endarray ight.)

d) ax2 +bx +c = 0 có những nghiệm âm ( Leftrightarrow )(left{ eginarraylDelta ge 0\P = x_1x_2 = fracca > 0\S = x_1 + x_2 = - fracba Chú ý: vệt của tam thức bậc hai luôn luôn cùng dấu với thông số a lúc (Delta 2 +bx +c >0, (forall )x ( Leftrightarrow )(left{ eginarrayla > 0\Delta 2 +bx +c 2 +bx +c ( ge )0, (forall )x ( Leftrightarrow )(left{ eginarrayla > 0\Delta le 0endarray ight.)

iv) ax2 +bx +c ( le )0, (forall )x ( Leftrightarrow )(left{ eginarrayla 0 (Hoặc f(x) ( ge )0, f(x) 2 + bx + c, a( e )0 )

b. Giải pháp giải:

Để giải bất pt bậc hai, ta áp dụng định lí vầ vệt tam thức bậc hai

Bước 1: Đặt vế trái bằng f(x), rồi xét dấu f(x)

Bước 2: phụ thuộc bảng xét dấu với chiều của bpt để kết luận nghiệm của bpt


Phần 2

GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC

1. Những hệ thức lượng giác cơ bản

(eginarrayl1)sin ^2alpha + cos ^2alpha = 1\2) an alpha = fracsin alpha cos alpha left( alpha e fracpi 2 + kpi ight)\3)cot alpha = fraccos alpha sin alpha left( alpha e kpi ight)endarray)

(eginarrayl4)1 + an ^2alpha = frac1cos ^2alpha (alpha e fracpi 2 + kpi )\5)1 + cot ^2alpha = frac1sin ^2alpha (alpha e kpi )\6) an alpha .cot alpha = 1(alpha e frackpi 2)endarray)

2. Cực hiếm lượng giác của góc (cung) có tương quan đặc biệt

(eginarraylsin alpha = sin left( alpha + k2pi ight)\cos alpha = cos left( alpha + k2pi ight)endarray)

(eginarrayl an alpha = an left( alpha + kpi ight)\cot alpha = cot left( alpha + kpi ight)endarray)

+) Góc đối nhau ((alpha ) và ( - alpha ))

(cos ( - alpha ),, = ,,cos alpha )

(sin ( - alpha ),, = ,, - sin alpha )

( an ( - alpha ),, = ,, - an alpha )

(cot ( - alpha ),, = ,, - cot alpha )

+) Góc bù nhau ((alpha ) và (pi - alpha ))

(sin (pi - alpha ),, = ,,sin alpha )

(cos (pi - alpha ),, = ,, - cos alpha )

( an (pi - alpha ),, = ,, - an alpha )

(cot (pi - alpha ),, = ,, - cot alpha )

+) Góc phụ nhau((alpha ) và (fracpi 2 - alpha ))

(sin left( fracpi 2 - alpha ight),, = ,,,cos alpha )

(cos left( fracpi 2 - alpha ight),, = ,,,sin alpha )

( an left( fracpi 2 - alpha ight),, = ,,,cot alpha )

(cot left( fracpi 2 - alpha ight),, = ,,, an alpha )

*

3. Cách làm cộng

(eginarraylsin (a + b) = sin a.cos b + sin b.cos a\sin (a - b) = sin a.cos b - sin b.cos a\cos (a + b) = cos a.cos b - sin a.sin b\cos (a - b) = cos a.cos b + sin a.sin bendarray)

(eginarrayl an (a + b) = frac an a + an b1 - an a. an b\ an (a - b) = frac an a - an b1 + an a. an bendarray)

4. Bí quyết nhân đôi, hạ bậc

a) bí quyết nhân đôi

(sin 2alpha = 2sin alpha .cos alpha )

(eginarraylcos 2alpha \ = cos ^2alpha - sin ^2alpha ,\ = 2cos ^2alpha - 1\ = ,,1 - 2sin ^2alpha endarray)

( an 2alpha ,, = ,,frac2 an alpha 1 - an ^2alpha )

b) công thức hạ bậc

(eginarraycsin ^2alpha ,, = ,,frac1 - cos 2alpha 2\cos ^2alpha , = ,,frac1 + cos 2alpha 2\ an ^2alpha , = ,,frac1 - cos 2alpha 1 + cos 2alpha endarray)

5. Công thức chuyển đổi tích thành tổng

(eginarraylcos acos b = frac12left< cos (a + b) + cos (a - b) ight>\sin asin b = - frac12left< cos (a + b) - cos (a - b) ight>\sin acos b = frac12left< sin (a + b) + sin (a - b) ight>endarray)

6. Công thức biển đổi tổng thành tích

(eginarraylcos a + cos b = 2cos fraca + b2.cos fraca - b2\cos a - cos b = - 2sin fraca + b2.sin fraca - b2\sin a + sin b = 2sin fraca + b2.cos fraca - b2\sin a - sin b = 2cos fraca + b2.sin fraca - b2endarray)

(eginarrayl an a + an b = fracsin (a + b)cos a.cos b\ an a - an b = fracsin (a - b)cos a.cos b\cot a + cot b = fracsin (a + b)sin a.sin b\cot a - cot b = fracsin (b - a)sin a.sin bendarray)


Phần 3

HÌNH HỌC

1. Hệ thức lượng trong tam giác

a. Các hệ thức lượng trong tam giác

Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c, trung con đường AM = (m_a), BN = (m_b), CP = (m_c)

Định lý cosin

a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA;

b2 = a2 + c2 – 2ac.cosB;

c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC

Hệ quả:

cosA = (fracb^2 + c^2 - a^22bc)

cosB = (fraca^2 + c^2 - b^22ac)

cosC = (fraca^2 + b^2 - c^22ab)

Định lý sin

(fracasin A = fracbsin B = fraccsin C)= 2R

(với R là nửa đường kính đường tròn nước ngoài tiếp tam giác ABC )

b. Độ dài con đường trung tuyến đường của tam giác

(m_a^2 = fracb^2 + c^22 - fraca^24 = frac2(b^2 + c^2) - a^24);

(m_b^2 = fraca^2 + c^22 - fracb^24 = frac2(a^2 + c^2) - b^24)

(m_c^2 = fracb^2 + a^22 - fracc^24 = frac2(b^2 + a^2) - c^24)

c. Những công thức tính diện tích tam giác

S = (frac12)aha = (frac12)bhb  = (frac12)chc

S = (frac12)ab.sinC = (frac12)bc.sinA = (frac12)ac.sinB

S = (fracabc4R)

S = pr

S = (sqrt p(p - a)(p - b)(p - c) ) với (p = frac12(a + b + c) )

2. Phương trình con đường thẳng

* Để viết được phương trình con đường thẳng dạng tham số cần biết được toạ độ một điểm và 1 vectơ chỉ phương

* Để viết được phương trình mặt đường thẳng dạng tổng quát cần biết được toạ độ 1 điểm và 1 vectơ phân phát tuyến

a. Phương trình tham số của mặt đường thẳng d

(left{ eginarray*20cx = x_0 + tu_1\y = y_0 + tu_2endarray ight.) cùng với M ((x_0;y_0))(in d) với (vec u = (u_1;u_2)) là vectơ chỉ phương (VTCP)

b. Phương trình bao quát của con đường thẳng d

a(x – (x_0)) + b(y – (y_0)) = 0 xuất xắc ax + by + c = 0

(với c = – a(x_0)– b(y_0) và a2 + b2 ( e) 0) trong kia M ((x_0;y_0)) (in d) với (vec n = (a;b)) là vectơ pháp tuyến đường (VTPT)

+) Phương trình đường thẳng giảm hai trục tọa độ tại nhị điểm A(a; 0) cùng B(0; b) với (ab e 0) là: (fracxa + fracyb = 1)

+) Phương trình con đường thẳng đi qua điểm M ((x_0;y_0)) có thông số góc k  có dạng: y – (y_0)= k (x – (x_0))

c. Khoảng cách từ mội điểm M ((x_0;y_0)) mang đến đường thẳng d: ax + by + c = 0 được tính theo công thức:

d(M; d) = (fracsqrt a^2 + b^2 )

d. Vị trí tương đối của hai tuyến đường thẳng

(Delta _1): (a_1x + b_1y + c_1)= 0

(Delta _2): (a_2x + b_2y + c_2)= 0

(Delta _1) cắt (Delta _2)( Leftrightarrow ) (fraca_1a_2 e fracb_1b_2);

Tọa độ giao điểm của (Delta _1)và (Delta _2) là nghiệm của hệ (left{ eginarrayla_1x + b_1y + c_1 m = 0\a_2x + b_2y + c_2 m = 0 endarray ight.)

(Delta _1)//(Delta _2)( Leftrightarrow )(fraca_1a_2 = fracb_1b_2 e fracc_1c_2)

(Delta _1)( equiv )(Delta _2)( Leftrightarrow )(fraca_1a_2 = fracb_1b_2 = fracc_1c_2) (với (a_2),(b_2),(c_2)khác 0)

3. Đường tròn

a. Phương trình đường tròn trọng tâm I(a; b) bán kính R bao gồm dạng:

(x – a)2 + (y – b)2 = R2 (1)

hay x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 (2)

với c = a2 + b2 – R2

+) Với điều kiện a2 + b2 – c > 0 thì phương trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 là phương trình con đường tròn vai trung phong I(a; b) nửa đường kính R

+) Vị trí tương đối của con đường thẳng và đường tròn

d cắt ( C ) ( Leftrightarrow ) d(I; d) R

d tiếp xúc với ( C ) ( Leftrightarrow ) d(I; d) = R

b. Phương trình tiếp đường với đường tròn

Dạng 1: Điểm A thuộc con đường tròn

Dạng 2: Điểm A không thuộc mặt đường tròn

Dạng 3: Biết phương trình tiếp đường của con đường tròn vuông góc hay tuy vậy song với cùng 1 đường thẳng nào đó

4. Phương trình Elip

a.

Xem thêm: Nội Dung Văn Bản ' Thông Tư Số 07/2016/Tt-Bxd, Thông Tư 07/2016/Tt

trong mặt phẳng Oxy cho 2 điểm F1(-c; 0), F2(c; 0) và một trong những a (a > c > 0, a = const).

Elip (E) là tập hợp các điểm M: F1M + F2M = 2a. Tuyệt (E) =( M/F_1M + F_2M = 2a )

b. Phương trình chính tắc của elip (E) là: (fracx^2a^2 + fracy^2b^2 = 1) (a2 = b2 + c2)

c. Các thành phần của elip (E) là:

Hai tiêu điểm: F1(-c; 0), F2(c; 0)

Bốn đỉnh: A1(-a; 0), A2(a; 0), B1(0;-b), B2(0;b)

Độ dài trục lớn: A1A2 = 2a

Độ dài trục nhỏ: B1B2 = 2b

Tiêu cự F1F2 = 2c

d. Hình dạng của elip (E)

+) (E) có 2 trục đối xứng là Ox, Oy và có trọng điểm đối xứng là gốc tọa độ

+) Mọi điểm của (E) ngoại trừ 4 đỉnh đều nằm trong hình chữ nhật có kích thước 2a và 2b giới hạn bởi các đường thẳng x = ( pm )a, y = ( pm )b