Khái niệm số phức

Số phức bao gồm dạng z = a + bi, (a, b ∈ ℜ), trong đó a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo: i² = - 1

Tập hợp những số phức là C

Nếu a = 0, z = bi được call là số thuần ảo

Nếu b = 0 , z = a + 0i được call là số thực

Số 0 vừa là số thực, vừa là số ảo

Số đối của phức z = a + bi là -z = - a - bi

Các phép toán bên trên tập số phức


Cho hai số phức z₁ = a + bi, z₂ = c + di.

Bạn đang xem: Các công thức số phức

Hai số phức bởi nhau:

*

Tổng, hiệu nhị số phức z₁ ± z₂ = (a ± b) + (b ± d)i.

Phép nhân hai số phức z₁.z₂ = (a + bi) (c + di) = ac + adi + bci + bdi² = (ac - bd) + (ad + bc)i.

Phép chia hai số phức

Môđun của số phức, số phức liên hợp

*

Phương trình trên tập số phức

*

Công thức tính nhanh số phức thường dùng trong những đề thi

*
*

Ví dụ áp dụng

*

Một số bài tập có lời giải số phức

Câu 1: Cho số phức z vừa lòng điều kiện |z - 3 + 4i| ≤ 2. Trong phương diện phẳng Oxy tập thích hợp điểm màn biểu diễn số phức w = 2z + 1 - i là hình tròn trụ có diện tích:

A. S = 9π B. S = 12π. C. S = 16π. D.S = 25π.

Hướng dẫn:

Ta có:

*

|w - 1 + i - 6 + 8i| ≤ 4 |w - 7 + 9i| ≤ 4 (1)

Giả sử w = x + yi, lúc ấy (1) (x - 7)2 + (y + 9)2 ≤ 16

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức w là hình tròn tâm I(7; -9), nửa đường kính r = 4

Vậy diện tích s cần search là S = π.42 = 16π

Chọn C.

Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn |z| = 1. Tìm giá bán trị lớn nhất của biểu thức

*

A.5 B.4 C.6 D.8

Hướng dẫn:

Ta có:

*

Khi z = i thì A = 6

Chọn C.

Câu 3. Cho số phức z thỏa mãn nhu cầu |z| = 1. Tìm giá chỉ trị lớn nhất max M cùng giá trị nhỏ dại nhất min M của biểu thức M = |z2 + z + 1| + |z3 + 1|

A. Max M = 5; min M = 1 B. Max M = 5; min M = 2

C. Max M = 4; min M = 1 D.max M = 4; min M = 2

Hướng dẫn:

Ta có: M ≤ |z|2 + |z| + 1 + |z|3 + 1 = 5 ,

khi z = 1 thì M = 5 đề nghị ma M = 5

Mặt khác:

*

khi z = -1 thì M = 1 bắt buộc min M = 1

Chọn A.

Câu 4. Cho số phức z thỏa |z| ≥ 2 . Search tích của giá trị lớn nhất và bé dại nhất của biểu thức:

*

Hướng dẫn:

*

Chọn A.

Câu 5. Cho số phức z vừa lòng |z| = 1. Tìm giá bán trị lớn số 1 của biểu thức p. = |1 + z| + 3|1 - z|

*

Hướng dẫn:

*
*

Chọn D.

Câu 6. Cho số phức z vừa lòng điều kiện |z2 + 4| = 2|z|. Khẳng định nào sau đấy là đúng?

*

Hướng dẫn:

Áp dụng bất đẳng thức |u| + |v| ≥ | u + v|, ta được:

2|z| + |-4| = |z2 + 4| + |-4| ≥ |z|2 => |z|2 - 2|z| - 4 ≤ 0 => |z| ≤ √5 + 1.

2|z| + |z|2 = |z2 + 4| + |-z2| ≥ 4 => |z|2 + 2|z| - 4 ≥ 0 => |z| ≥ √5 - 1

Vậy |z| nhỏ tuổi nhất là √5 - 1 lúc z = -1 + i√5 với |z| lớn số 1 là √5 + 1 khi z = 1 + i√5

Chọn B.

*

Hướng dẫn:

Gọi z1 = a + bi; z2 = a - bi.

Không mất tính bao quát ta coi b ≥ 0

Do |z1 - z2| = 2√3 => |2bi| = 2√3 => b = √3

*
*

 đạt giá chỉ trị béo nhất. Tính tích xy.

*

Hướng dẫn:

*

Câu 9. Biết số phức z thỏa mãn nhu cầu đồng thời hai đk |z - 3 - 4i| = √5 và biểu thức M = |z + 2|2 - |z - i|2 đạt giá chỉ trị to nhất. Tính môđun của số phức z + i.

A. |z + i| = 2√41

B. |z + i| = 3√5

C. |z + i| = 5√2

D. |z + i| = √41

Hướng dẫn:

Gọi z = x + yi.

Xem thêm: Những Lời Chúc 20-10 Hài Hước Nhất Dành Cho Chị Em, Những Lời Chúc 20

Ta có: |z - 3 - 4i| = √5 (C): (x - 3)2 + (y - 4)2 = 5, chổ chính giữa I(3; 4) và R = √5

Mặt khác:

M = |z + 2|2 - |z - i|2 = (x + 2)2 + y2 - <(x2) + (y - 1)2> = 4x + 2y + 3

d: 4x + 4y + 3 - M = 0

Do số phức z vừa lòng đồng thời hai đk nên d và (C) có điểm chung

*

Câu 10. Cho số phức z vừa lòng điều kiện: |z - 1 + 2i| = √5 cùng w = z + 1 + i tất cả môđun khủng nhất. Số phức z có môđun bằng: