Các Bài Tập Về Cực Trị Của Hàm Số, Các Dạng Bài Tập Về Cực Trị Cực Đại Hay Nhất

A. Tóm tắt lí thuyết

1. Khái niệm cực trị hàm số

Giả sử hàm số fxác định bên trên tập hợpD (D⊂ℝ)vàxo∈D

a)xođược gọi là mộtđiểm cực đạicủa hàm số f nếu tồn tại một khoảng(a; b)chứa điểmxosao cho:

Khi đó f(xo)được gọi làgiá trị cực đạicủa hàm số f.

Bạn đang xem: Các bài tập về cực trị của hàm số

b)xođược gọi là mộtđiểm cực tiểucủa hàm số f nếu tồn tại một khoảng(a; b)chứa điểmxosao cho:

Khi đó f(xo)được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f.

Giá trị cực đại với giá trị cực tiểu được gọi chung làcực trị

Nếuxolà một điểm cực trị của hàm sốfthì người ta nói rằng hàm sốfđạt cực trị tại điểmxo.

Như vậy: Điểm cực trị phải là một điểm vào của tập hợpD (D⊂ℝ)

Nhấn mạnh:xo∈(a; b)⊂Dnghĩa làxolà một điểm trong của D

Chú ý

Giá trị cực đại (cực tiểu) f(xo)nói thông thường không phải là GTLN (GTNN) của f trên tập hợpD.Hàm số tất cả thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm bên trên tâp hợpD. Hàm số cũng bao gồm thể không tồn tại điểm cực trị.xolà một điểm cực trị của hàm số fthì điểm(xo;f(xo))được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f.

2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị

Định lý 1: Giả sử hàm sốfđạt cực trị tại điểmxo. Khi đó , nếufcó đạo hàm tại điểmxothìf ‘(xo) = 0

Chú ý:

Đạo hàmf ‘có thể bằng 0 tại điểmxonhưng hàm sốfkhông đạt cực trị tại điểmxo.Hàm số tất cả thể đạt cực trị tại một điểm nhưng tại đó hàm số không có đạo hàmHàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà lại tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 , hoặc tại đó hàm số không tồn tại đạo hàm.Hàm số đạt cực trị tạixovà nếu đồ thị hàm số có tiếp tuyến tại điểm(xo;f(xo))thì tiếp tuyến đó song song với trục hoành

Ví dụ : Hàm sốy = |x|và hàm sốy = x3

3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

Định lý 2: Giả sử hàm sốf liên tục trên khoảng(a; b)chứa điểmxovà có đạo hàm trên các khoảng(a;xo)và(xo; b). Lúc đó:

Định lý 3: Giả sử hàm sốfcó đạo hàm cấp một trên khoảng(a; b)chứa điểmxo; f‘(xo) = 0vàfcó đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểmxo

a) Nếuf”(xo) o

b) Nếuf”(xo) o

Chú ý:

Không cần xét hàm sốfcó hay là không có đạo hàm tại điểmx = xonhưng ko thể bỏ qua điều kiệnhàm số liên tục tại điểmxo

B. Bài xích tập search cực trị của hàm số

Dạng 1: search cực trị của hàm số.

I. Phương pháp giải

Quy tắc tìm cực trị của hàm số

* Quy tắc 1:

Bước 1. Tìm kiếm tập xác định của hàm số.

Bước 2. Tính y". Tìm những điểm tại đó y" bằng 0 hoặc y" ko xác định.

Bước 3. Lập bảng biến thiên.

Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra những điểm cực trị.

* Quy tắc 2:

Bước 1. Tìm kiếm tập xác định của hàm số.

Bước 2. Tính f"(x). Giải phương trình f"(x) và ký kết hiệu xi(i = 1; 2; 3... Là các nghiệm).

Bước 3. Tính f""(x) với f""(xi) .

Bước 4. Dựa vào dấu của f""(xi) suy ra tính chất cực trị của điểm xi.

II. Ví dụ minh họa

Cho hàm số y = x3– 3x2+ 2. Khẳng định như thế nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đạt cực đại tại x = 2 và đạt cực tiểu tại x = 0.

B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 cùng đạt cực đại x = 0 .

C. Hàm số đạt cực đại tại x = -2 và cực tiểu tại x = 0 .

D. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và cực tiểu tại x = -2.

Lời giải

Ta có: y" = 3x2- 6x = 0

Và y"" = 6x - 6

Suy ra: y""(0) = -6 0

Do đó: hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 2.

Suy ra chọn đáp án B

Dạng 2: tra cứu tham số m để hàm số đạt cực trị tại một điểm.

I. Phương pháp giải

Cho hàm số y = f(x; m). Tìm m để hàm số đạt cực trị tại điểm M(x0; y0)

* Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số.

* Bước 2: do hàm số đã cho đạt cực trị tại điểm M(x0; y0)

Giải hệ phương trình ta kiếm tìm được giá trị của m thỏa mãn.

* Chú ý: Nếu hàm số đạt cực đại tại điểm M(x0; y0) thì y""(x0) 0; y0) thì y""(x0) > 0

II. Ví dụ minh họa

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x3– mx2+ (2m – 3)x - 3 đạt cực đại tại x = 1.

A. M = 3

B. M > 3

C. M ≤ 3

D. M Lời giải:

* Ta có đạo hàm: y" = 3x2– 2mx + 2m - 3

Để hàm số đạt cực đại x = 1 thì

Suy ra chọn đáp án B.

Dạng 3: Biện luận theo m số cực trị của hàm số.

I. Phương pháp giải

* Cực trị của hàm số bậc ba

Cho hàm số y = ax3+ bx2+ cx + d

Đạo hàm y" = 3ax2+ 2bx + c; Δ"= b2– 3ac

Xét phương trình: 3ax2+ 2bx + c = 0 (*)

Phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép thì hàm số đã cho không tồn tại cực trị.

Vậy hàm số bậc ba không tồn tại cực trị khi b2– 3ac ≤ 0

Phương trình (1) bao gồm hai nghiệm phân biệt thì hàm số đã cho tất cả 2 điểm cực trị

Vậy hàm số bậc 3 bao gồm 2 cực trị khi b2– 3ac > 0

* Cực trị của hàm trùng phương

Cho hàm số y = ax4+ bx2+ c bao gồm đồ thị là (C)

Đạo hàm y" = 4ax3+ 2bx. Xét phương trình y" = 0

Hay 4ax3+ 2bx = 2x(2ax2+ b) = 0

Để đồ thị hàm số đã cho có 1 điểm cực trị khi cùng chỉ khi phương trình y" = 0 có nghiệm duy nhất x = 0 hoặc phương trình (1) nhận x = 0 là nghiệm

Để đồ thị hàm số đã cho tất cả 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình (1) tất cả 2 nghiệm phân biệt khác 0 hay

II. Ví dụ minh họa

Cho hàm số y = (m - 1)x3– 3x2– (m + 1)x + 3m2– m + 2. Để hàm số gồm cực đại, cực tiểu xác định m?

A. M = 1

B. M ≠ 1

C. M > 1

D. M tùy ý.

Lời giải:

* phương pháp 1:

Ta bao gồm đạo hàm y" = 3(m - 1)x2- 6x - m - 1

Để hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu khi với chỉ khi phương trình y" = 0 có hai nghiệm phân biệt :

* giải pháp 2:

Áp dụng công thức điều kiện để hàm bậc cha có cực đại, cực tiểu

Hàm số tất cả cực đại, cực tiểu khi

Suy ra chọn đáp án B.

Dạng 4: bài bác toán liên quan đến cực trị của hàm số.

I. Phương pháp giải

1. Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm số bậc ba y = ax3+ bx2+ cx + d.

Ta gồm đạo hàm y" = 3ax2+ 2bx + c

Bài toán: Viết phương trình đi qua nhị điểm nhì điểm cực trị của hàm số:

Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị lúc phương trình y" = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2

Ta có: y = g(x).y"(x) + r(x) vào đó r(x) là phần dư của phép phân chia y đến y".

Khi đó phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là: y = r(x).

(chú ý: do x1, x2là điểm cực trị đề nghị y"(x1) = 0; y"(x2) = 0).

Bài toán: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số gồm hai điểm cực trị thỏa mãn hệ thức T.

+ kiếm tìm điều kiện để hàm số có cực trị.

+ đối chiếu hệ thức để áp dụng Viet cho phương trình bậc hai.

2. Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm trùng phương.

Cho hàm số: y = ax4+ bx2+ c có đồ thị là (C).

Xem thêm: Javascript Document - Making Web Content Editable In The Browser

Ta tất cả y" = 4ax3+ 2bx = 2x(2ax2+ b)

Đồ thị hàm số (C) có tía điểm cực trị lúc y" = 0 bao gồm 3 nghiệm phân biệt⇔ -b/2a > 0

Hàm số có 3 cực trị là: A(0;c)

Độ dài những đoạn thẳng:

CÔNG THỨC TÍNH NHANH

Ba điểm cực trị tạo thành tam giác ABC thỏa mãn dữ kiện

STT	Dữ kiện	Công thức thỏa ab 3= 0
2	Tam giác ABC đều	24a + b3= 0
3	Tam giác ABC tất cả góc∠BAC = α
4	Tam giác ABC bao gồm diện tích SΔABC= S0	32a3(S0)2+ b5= 0
5	Tam giác ABC gồm diện tích max (S0)
6	Tam giác ABC có nửa đường kính đường tròn nội tiếp rΔABC= r0
7	Tam giác ABC có độ dài cạnh BC = m0	a.m02+ 2b = 0
8	Tam giác ABC có độ lâu năm AB = AC = n0	16a2n02- b4+ 8ab = 0
9	Tam giác ABC có cực trị B, C∈ Ox	b2– 4ac = 0
10	Tam giác ABC có 3 góc nhọn	b(8a + b3) > 0
11	Tam giá bán ABC gồm trọng tâm O	b2– 6ac = 0
12	Tam giác ABC bao gồm trực trung khu O	b3+ 8a - 4ac = 0
13	Tam giác ABC có nửa đường kính đường tròn ngoại tiếp RΔABC= R0
14	Tam giác ABC thuộc điểm O tạo hình thoi	b2– 2ac = 0
15	Tam giác ABC gồm O là trọng điểm đường tròn nội tiếp	b3– 8a – 4abc = 0
16	Tam giác ABC có O là trọng tâm đường tròn ngoại tiếp	b3– 8a – 8abc = 0
17	Tam giác ABC tất cả cạnh BC = k.AB = k.AC	b3k2- 8a(k2- 4) =0
18	Trục hoành phân chia ΔABC thành hai phần bao gồm diện tích bằng nhau	b2= 4√2\|ac\|
19	Tam giác ABC bao gồm điểm cực trị giải pháp đều trục hoành	b2– 8ac = 0
20	Phương trình đường tròn ngoại tiếp ΔABC là: