Tích phân là kỹ năng quan trọng, để học xuất sắc thì học viên cần nhớ toàn cục công thức tích phân. Nội dung bài viết này vẫn giới thiệu cục bộ công thức và hệ thống các dạng tích phân thường gặp mặt trong đề thi. Chỉ cần nhớ và vận dụng thành thành thạo là bạn đã đoạt điểm tối đa.
Bạn đang xem: Bảng tích phân cơ bản
Cơ sở lý thuyếtCông thức tích phân cơ bảnPhương pháp đổi khác từ cách làm tính tích phân2. Một số trong những dạng toán hay gặpPhương pháp tính tích phân từng phần
Cơ sở lý thuyết
Khái niệm tích phân
Cho hàm số (fleft( x ight)) liên tục trên đoạn (left< a;b ight>,Fleft( x ight)) là 1 nguyên hàm của hàm số (fleft( x ight)) bên trên đoạn (left< a;b ight>). Hiệu (Fleft( b ight) – Fleft( a ight)) được gọi là tích phân của (f) tự (a) mang lại (b). Kí hiệu:
$I = intlimits_a^b fleft( x ight)dx = left. Fleft( x ight) ight|_a^b = Fleft( b ight) – Fleft( a ight)$
Tính chất tích phân
Giả sử các hàm số (f,g) thường xuyên trên (left< a;b ight>,c) là điểm bất kì ở trong (left< a;b ight>). Lúc đó ta có:
(intlimits_a^a fleft( x ight)dx = 0)(intlimits_a^b fleft( x ight)dx = – intlimits_b^a fleft( x ight)dx )(intlimits_a^b k.fleft( x ight)dx = k.intlimits_a^b fleft( x ight)dx )(intlimits_a^b fleft( x ight)dx = intlimits_a^b fleft( t ight)dt )(intlimits_a^b fleft( x ight)dx + intlimits_b^c fleft( x ight)dx = intlimits_a^c fleft( x ight)dx ;) (forall b in left< a;c ight>)(intlimits_a^b left< fleft( x ight) pm gleft( x ight) ight>dx ) (= intlimits_a^b fleft( x ight)dx pm intlimits_a^b gleft( x ight)dx )Nếu (fleft( x ight) ge 0) thì (intlimits_a^b fleft( x ight)dx ge 0)Nếu (fleft( x ight) ge gleft( x ight)) bên trên (left< a;b ight>) thì (intlimits_a^b fleft( x ight)dx ge intlimits_a^b gleft( x ight)dx ).Công thức tích phân cơ bản
Tính tích phân thực hiện bảng nguyên hàm cơ bản
Khi tính tích phân các hàm số cơ phiên bản (đa thức, lượng giác, mũ,…) những em cần chú ý sử dụng bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản kết hợp với công thức Leibnitz: (intlimits_a^b fleft( x ight)dx = Fleft( b ight) – Fleft( a ight))
ở đó, (fleft( x ight)) là hàm tiếp tục trên (left< a;b ight>) với (Fleft( x ight)) là một trong nguyên hàm của (fleft( x ight)).
Tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối
Đối với những tích phân dạng (intlimits_a^b dx ), cách thức chung là ta nỗ lực phá vết giá trị hoàn hảo nhất hàm (fleft( x ight)) bên trên từng khoảng nhỏ dại nằm trong tầm (left( a;b ight)) rồi tính lần lượt những tích phân đó.
Phương pháp đổi khác từ phương pháp tính tích phân
1. Kiến thức cần nhớ
Vi phân: (eginarraylt = uleft( x ight) Rightarrow dt = u’left( x ight)dx\uleft( t ight) = vleft( x ight) Rightarrow u’left( t ight)dt = v’left( x ight)dxendarray)Công thức đổi biến: (intlimits_a^b fleft< uleft( x ight) ight>u’left( x ight)dx = intlimits_tleft( a ight)^tleft( b ight) fleft( t ight)dt )
2. Một số trong những dạng toán hay gặp
Dạng 1: Tính tích phân bằng phương thức đổi biến đổi (t = uleft( x ight)). Bước 1: Đặt (t = uleft( x ight)), đổi cận (left{ eginarraylx = a Rightarrow t = uleft( a ight) = a’\x = b Rightarrow t = uleft( b ight) = b’endarray ight.) .Bước 2: Tính vi phân (dt = u’left( x ight)dx).Bước 3: Biến đổi (fleft( x ight)dx) thành (gleft( t ight)dt).Bước 4: Tính tích phân (intlimits_a^b fleft( x ight)dx = intlimits_a’^b’ gleft( t ight)dt ).
Dạng 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến chuyển (x = uleft( t ight)).
Bước 1: Đặt (x = uleft( t ight)), đổi cận (left{ eginarraylx = a Rightarrow t = a’\x = b Rightarrow t = b’endarray ight.).Bước 2: Lấy vi phân 2 vế (dx = u’left( t ight)dt).Bước 3: Biến đổi (fleft( x ight)dx = fleft( uleft( t ight) ight).u’left( t ight)dt = gleft( t ight)dt).Bước 4: Tính nguyên hàm theo công thức (intlimits_a^b fleft( x ight)dx = intlimits_a’^b’ gleft( t ight)dt )
Phương pháp tính tích phân từng phần
Kiến thức phải nhớ
Công thức tích phân từng phần: (intlimits_a^b udv = left. left( uv ight) ight|_a^b – intlimits_a^b vdu )
2. Một số bài toán thường áp dụng cách thức tích phân từng phần
Dạng 1: Tích phân gồm chứa hàm số logarit.
Tính tích phân (intlimits_m^n fleft( x ight)ln left( ax + b ight)dx ) (trong đó (fleft( x ight)) là hàm số đa thức)
Phương pháp:
Bước 1: Đặt (left{ eginarraylu = ln left( ax + b ight)\dv = fleft( x ight)dxendarray ight. Rightarrow left{ eginarrayldu = dfraca ax + b dx\v = int fleft( x ight)dx endarray ight.)Bước 2: Tính tích phân theo cách làm (intlimits_m^n fleft( x ight)ln left( ax + b ight)dx = left. Uv ight|_m^n – intlimits_m^n vdu )Dạng 2: Tích phân có chứa hàm số mũ.
Tính tích phân (intlimits_m^n fleft( x ight)e^ax + bdx ). (trong đó (fleft( x ight)) là hàm số đa thức)
Phương pháp:
Bước 1: Đặt (left{ eginarraylu = fleft( x ight)\dv = e^ax + bdxendarray ight. Rightarrow left{ eginarrayldu = f’left( x ight)dx\v = dfrac1ae^ax + bendarray ight.)Bước 2: Tính tích phân theo bí quyết (intlimits_m^n fleft( x ight)e^ax + bdx = left. Uv ight|_m^n – intlimits_m^n vdu )Dạng 3: Tích phân bao gồm chứa hàm con số giác và hàm đa thức.
Tính tích phân (intlimits_m^n fleft( x ight)sin left( ax + b ight)dx ) hoặc (intlimits_m^n fleft( x ight)cos left( ax + b ight)dx ). (trong kia (fleft( x ight)) là hàm số nhiều thức)
Phương pháp:
Bước 1: Đặt (left{ eginarraylu = fleft( x ight)\dv = sin left( ax + b ight)dxendarray ight. Rightarrow left{ eginarrayldu = f’left( x ight)dx\v = – dfrac1acos left( ax + b ight)endarray ight.) hoặc (left{ eginarraylu = fleft( x ight)\dv = cos left( ax + b ight)dxendarray ight. Rightarrow left{ eginarrayldu = f’left( x ight)dx\v = dfrac1asin left( ax + b ight)endarray ight.) Bước 2: Tính tích phân theo công thức (intlimits_m^n fleft( x ight)sin left( ax + b ight)dx = left. Uv ight|_m^n – intlimits_m^n vdu ) hoặc (intlimits_m^n fleft( x ight)cos left( ax + b ight)dx = left. Uv ight|_m^n – intlimits_m^n vdu )Dạng 4: Tích phân có chứa hàm con số giác và hàm số mũ.
Tính tích phân (intlimits_m^n e^ax + bsin left( cx + d
ight)dx ) hoặc (intlimits_m^n e^ax + bcos left( cx + d
ight)dx ).
Xem thêm: Khái Quát Về Quang Hợp Là Gì ? So Sánh 2 Quá Trình Quang Hợp Và Hô Hấp
Hy vọng với nội dung bài viết này để giúp đỡ ích các bạn đạt tác dụng cao.