Số phức và các dạng toán về số phức là trong những nội dung mà nhiều chúng ta cảm thấy chúng kha khá trừu tượng với khá nặng nề hiểu, 1 phần nguyên nhân là chúng ta đã thừa quen cùng với số thực trong những năm học trước.

Bạn đang xem: Bài tập số phức


Vì vậy, ở nội dung bài viết này trabzondanbak.com sẽ hệ thống lại các dạng toán về số phức đồng thời hướng dẫn cách giải những dạng bài xích tập này. Trước khi bắt tay vào giải các dạng bài tập số phức, chúng ta cũng đề nghị nhớ các nội dung về kim chỉ nan số phức.

I. Kim chỉ nan về Số phức

1. Số phức là gì?

Định nghĩa số phức

- Tập thích hợp số phức: 

*

- Số phức (dạng đại số):

 (, a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo i2 = -1)

♦ z là số thực ⇔ phần ảo của z bằng 0 (b = 0).

♦ z là thuần ảo ⇔ phần thực của z bởi 0 (a = 0).

♦ Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo

♦ 2 số phức bởi nhau: 

*
*

2. Biểu diễn hình học tập của số phức

- Số phức: , (được màn trình diễn bởi điểm M(a,b) tốt bởi 

*
 trong khía cạnh phẳng Oxy (mp phức).
*

3. Phép cộng, trừ số phức

- cho 2 số phức: , lúc đó:

*
*

*
*

- Số đối của:  là 

*

- Nếu 

*
 biểu diễn z, 
*
 biểu diễn z" thì 
*
 biểu diễn 
*
 và 
*
 biểu diễn 
*
.

4. Phép nhân 2 số phức

- đến 2 số phức: , lúc đó:

*
 
*

*

5. Số phức liên hợp

- Số phức phối hợp của số phức 

*
 là 
*

♦ 

*
*
*
*
*

♦ z là số thực ⇔

*

♦ z là số thuần ảo: 

*

6. Phép phân chia số phức khác 0

♦ 

*

♦ 

*

♦ 

*

7. Mô-đun của số phức

- mang lại số phức: , thì:

*

♦ 

*
*

♦ 

*

♦ 

*

♦ 

*

8. Căn bậc 2 của số phức

♦ 

*
 là căn bậc 2 của số phức 
*
 
*

♦ w = 0 gồm đúng một căn bậc 2 là z = 0

♦ w≠ 0 gồm đúng 2 cặn bậc 2 đối nhau

♦ 2 căn bậc 2 của a > 0 là 

*

♦ 2 căn bậc 2 của a 9. Phương trình bậc 2 của số phức

- mang lại phương trình bậc 2 số phức tất cả dạng: Az2 + Bz + C = 0, (*) (A,B,C là các số phức đến trước, A≠0).

- khi đó: Δ = B2 - 4AC

- Δ ≠ 0, phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt: 

*

- Δ = 0, phương trình (*) có 1 nghiệm kép: 

*

* Chú ý: Nếu 

*
 là 1 nghiệm của (*) thì 
*
 cũng là 1 trong những nghiệm của (*).

10. Dạng lượng giác của số phức

• z = r(cosφ + isinφ), r > 0 là dạng lượng giác của  (z≠0).

*

• φ là 1 trong acgumen của z, φ = (Ox,OM)

• 

*
,
*

11. Nhân phân chia số phức bên dưới dạng lượng giác

- cho z = r(cosφ + isinφ) và z" = r"(cosφ" + isinφ")

• 

*

*

12. Công thức Moivre (Moa-vrơ).

*
*

• 

*

13. Căn bậc 2 của số phức dưới dạng lượng giác

• đến z = r(cosφ + isinφ), r > 0 có căn bậc 2 là:

 

*
 và 
*
*

• Mở rộng: z = r(cosφ + isinφ), r > 0 bao gồm n căn bậc n là:

 

*
*

II. Những dạng toán về Số phức và giải pháp giải

Dạng 1: các phép tính về số phức

* phương thức giải: Vận dụng những công thức Cộng, Trừ, Nhân, Chia, Luỹ thừa và tính chất phép toán của số phức.

- Chú ý: Khi đo lường và tính toán các số thức rất có thể sử dụng hằng đẳng thức như số thực như bình phương của tổng, lập phương của tổng tốt hiệu 2 số phức,...

° Ví dụ 1: mang đến số phức 

*
 Tính các số phức sau: 
*

° Lời giải:

+) Ta có: 

*

 +) Ta có: 

*
 
*

 

*
*

*
 
*

+) Ta có: 1 + z + z2 

*

* Tương tự: Cho số phức 

*
, hãy tính: 1 + z + z2

- Ta có:

*

*
*

° Ví dụ 2: Tính tổng sau:

a) K = 1 + i + i2 + i3 + ... + i2009

b) M = 

*

c) N = (1 - i)100

° Lời giải:

a) Ta có: 1 - i2010 = (1 - i)(1 + i + i2 + i3 +...+ i2009)

 Mà 1 - i2010 = 1 - (i2)1005 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2.

⇒ K = 1 + i + i2 + i3 +...+ i2009 =

*
*

b) M là tổng của 10 số hạng thứ nhất của 1 cấp số nhân với số hạng thứ nhất là u1 = 1, bội q = (1 + i)2 = 2i. Ta có:

 

*
 
*

c)

*
 
*

° Ví dụ 3: cho 2 số phức z1, z2 thoả 

*
,
*
 tính 
*

° Lời giải:

- Đặt 

*

- từ bỏ giải thiết ta có: 

*

⇒ 2(a1b1 + a2b2) = 1

⇒ (a1 - a2)2 + (b1 - b2)2 = 1

⇒ |z1 - z2| = 1.

 Dạng 2: Tìm số phức thoả điều kiện cho trước (giải phương trình số phức)

* phương pháp giải: Vận dụng các đặc điểm của số phức, các phép chuyển đổi để xử lý bài toán.

° ví dụ như 1: kiếm tìm số phức z thoả mãn

a)

b)

° Lời giải:

a) 

 

*
 
*
*

b) 

*
*
 (*)

 mà 

*

 thế x = 1 vào (*) ta được y = ±1.

 Vậy số phức cần tìm là 1 + i cùng 1 - i.

° Ví dụ 2: Tìm số phức z thoả mãn

a)  

b) 

*
, cùng z2 là số thuần ảo.

° Lời giải:

a) 

- Ta có: 

*

+) TH1:

*

+) TH2: 

*

 

*

 Dạng 3: xác minh phần thực phần ảo, tra cứu đối số, nghịch hòn đảo module, phối hợp của số phức và màn trình diễn hình học của số phức

* phương thức giải: Dạng này chia thành nhiều loại bài bác toán liên quan tới tính chất của số phức.

♦ các loại 1: tra cứu phần thực phần ảo của số phức

- biện pháp giải: biến đổi số phức về dạng z = a + bi, suy ra phần thực là a, phần ảo là b.

° Ví dụ 1: Tìm phần thực phần ảo của số phức sau:

a) z = i + (2 - 4i) - (3 - 5i)

b) z = (-1 + i)3 - (2i)3

c) 

° Lời giải:

a) z = i + (2 - 4i) - (3 - 5i) = (2 - 3) + (1 - 4 + 5)i = -1 + 2i

⇒ Vậy số phức đang cho có phần thực là -1; phần ảo là 2.

b) z = (-1 + i)3 - (2i)3 = (-1 + i3 + 3i - 3i2) - 8i3 = (-1 - i + 3i + 3) + 8i = 2 + 10i

⇒ Vậy số phức sẽ cho gồm phần thực là 2; phần ảo là 10.

c)  

*
 
*

 

*
 
*

° Ví dụ 2: Tìm phần thực phần ảo của số phức sau:

a) u = z1 - 2z2 cùng với z1 = 1 + 2i; z2 = 2 - 3i

b) v = z1z2 với z1 = 2 + 5i; z2 = 3 - 4i

° Lời giải:

a) u = z1 - 2z2 = (1 + 2i) - 2(2 - 3i) = (1 - 4) + (2 + 6)i = -3 + 8i

⇒ Vậy số phức đang cho bao gồm phần thực là -3; phần ảo là 8.

b) v = z1z2 với z1 = 2 + 5i; z2 = 3 - 4i = (2 + 5i)(3 - 4i) = (6 - 8i + 15i - 20i2) = 26 + 7i

⇒ Vậy số phức vẫn cho gồm phần thực là 26; phần ảo là 7.

♦ một số loại 2: màn biểu diễn hình học tập của số phức

- phương pháp giải: áp dụng điểm M(a;b) trình diễn số phức z cùng bề mặt phẳng Oxy

° Ví dụ 1: Trong phương diện phẳng toạ độ (hình vẽ dưới), số phức z = 3 - 4i được màn biểu diễn bởi điểm nào trong số điểm A, B, C, D?

*
° Lời giải:

- Đáp án: Điểm D(3;-4) là biểu diễn hình học của số phức z=3-4i

° Ví dụ 2: Số phức nào có màn trình diễn hình học là toạ độ điểm M như hình sau:

*
° Lời giải:

- Điểm M(-2;1) là biểu diễn hình học tập của số phức z=-2+i

♦ các loại 3: Tính Module của số phức

- phương pháp giải: thay đổi số phức về dạng z = a + bi ⇒ mô-đun là 

° Ví dụ 1: tìm mô-đun của số phức sau: 

° Lời giải:

- gồm

*
 = 1 - 3i - 3 + i = -2 - 2i

⇒  

*

° Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn

*
, tìm mô-đun của số phức 
*

° Lời giải:

- Ta có: 

*

 

*

 

*

♦ các loại 4: tìm kiếm số đối của số phức

- giải pháp giải: chuyển đổi số phức về dạng z = a + bi ⇒ đối số của z là -z = -a - bi

° Ví dụ: Tìm số đối của số phức sau:

a)

b) 

° Lời giải: 

a) 

*

b) 

*
 
*

♦ các loại 5: kiếm tìm số phức phối hợp của số phức z

- cách giải: đổi khác số phức về dạng z = a + bi ⇒ số phức phối hợp của z là 

*

° Ví dụ 1: Tìm số phức liên hợp của số phức sau: 

*

° Lời giải: 

- Ta có: 

*
 
*

⇒ Số phức phối hợp của z là: 

*

° Ví dụ 2: Cho z = a+ bi tìm số phức liên hợp của z với giải phương trình 

*
.

° Lời giải: 

- Ta có 

*
*

- khi đó: 

*

- Giải hệ này ta được những nghiệm

*

♦ nhiều loại 6: kiếm tìm số phức nghịch đảo của số phức

- giải pháp giải: thực hiện công thức: 

*

° Ví dụ : Tìm nghịch hòn đảo của số phức sau:

a)

b)  

° Lời giải: 

a) 

- Ta có:

*
*

*

b) 

- Ta có:

*
,
*

*

Loại 7: Tìm những số thực lúc 2 số phức bằng nhau.

- phương pháp giải: sử dụng công thức: 

*

° Ví dụ : Tìm các số nguyên x với y làm sao để cho z = x + yi vừa lòng z3 = 18 + 26i

° Lời giải: 

- Ta có: 

*

*

- Giải phương trình trên bằng phương pháp đặt y = tx (x≠0) ta được 

*

⇒ z = 3+ i

 Dạng 4: Tìm quỹ tích số phức (tập hợp những điểm) thoả mãn điều kiện cho trước.

* phương pháp giải:

♦ loại 1: Số phức z nhất trí về độ dài (module) lúc đó ta áp dụng công thức 

♦ một số loại 2: Số phức z là số thực (âm hoặc dương), khi đó ta thực hiện kết quả

 - Để z là số thực ⇔ b=0

 - Đẻ z là số thực âm ⇔ a 0 với b = 0.

 - Để z là số thuần ảo ⇔ a = 0.

° Ví dụ : Tìm tập đúng theo điểm M màn biểu diễn số phức z thoả

a) 

*
 có phần thực = 3

b) 

*
 là số thực

c) 

*

° Lời giải: 

a) Gọi điểm M(x;y) ta có:

 

*

 

*

 Với 

*

- Theo bài xích ra,

 

*

- với x ≠ 0 cùng y≠ 2 ta có:

*

⇒ Vậy tập hợp điểm M là mặt đường tròn tâm 

*
 bán kính 
*

b) gọi N là điểm biểu diễn số phức 

*

*
 là số thực ⇔ 
*
 song song với Ox

- Vậy quỹ tích của M là mặt đường thẳng qua N và song song cùng với Ox, chính là đường thẳng y = -3.

c) hotline I là vấn đề biểu diễn của số phức 

*

- khi đó: 

*

- Vậy quỹ tích của M là con đường tròn trọng điểm I(1;-2) nửa đường kính R = 1.

 Dạng 5: Chứng minh các biểu thức về số phức

* cách thức giải: Vận dụng các phép toán về số phức (cộng, trừ, nhân, chia, số phức liên hợp, mô-đun).

° Ví dụ 1: Cho số phức z thoả điều kiện . Chứng minh 

*

° Lời giải: 

- Ta có:  

*

 hay 

*
(1)

- Đặt z=x+yi, cùng với x,y ∈ R, trường đoản cú (1) ta có:

 

*
 
*

*
 
*

*
*

*
 (đpcm).

° Ví dụ 2: Cho 2 số phức z1 và z2 , chứng minh rằng:

a) 

*

b) 

*

° Lời giải: 

a) Ta có:

 

*
 
*

 

*
 
*

⇒ Vậy VT=VP (đpcm).

b) Ta có:

 

*

 

*

 

*

  (1)

- phương diện khác:

 

*
 
*

Vì 

*
 nên 
*
(2)

- từ bỏ (1) với (2) gồm VT=VP (đpcm)

 Dạng 6: Căn bậc 2 của số phức và phương trình bậc 2

* phương pháp giải:

° Cho số phức: z = a + bi, số phức w = x + yi, được điện thoại tư vấn là căn bậc 2 của số phức z giả dụ w2 = z tuyệt (x + yi)2 = a + bi.

- giữ ý:

♦ lúc b = 0 thì z = a, ta gồm 2 trường hợp dễ dàng và đơn giản sạ:

 ◊ TH1: a > 0 ⇒ 

*

 ◊ TH1: a 2 = a + bi, tốt x2 - y2 + 2xyi = a + bi 

*
, giải hệ này ta được x,y.

° Phương trình bậc 2 với thông số phức

- Là phương trình có dạng: az2 + bz + c = 0, trong đó a, b, c là các số phức a≠0

- cách giải: Xét biệt thức 

*
.

 » Nếu Δ=0 phương trình bao gồm nghiệp kép: 

*

 » Nếu Δ≠0 phương trình bao gồm 2 nghiệm phân biệt: 

*

- Định lý Vi-ét: call z1, z2 là 2 nghiệm của phương trình az2 + bz + c = 0 khi đó, ta có: 

*
 
*

° Ví dụ 1: Tìm căn bậc 2 của số phức sau:

a) z = 5

b) z = -7

c)

* Lời giải:

a) 

*

b) 

*

c) Gọi 

*
 là căn bậc 2 của số phức , ta có:

 

*
 
*

 

*
 
*
 
*
 
*

 Vậy hệ pt trên gồm 2 nghiệm 

*
.

° Ví dụ 2: Trên tập số phức, tìm m nhằm phương trình bậc hai: z2 + mz + i = 0 (*) có  với z1, z2 là nghiệm của (*).

* Lời giải:

- điện thoại tư vấn m=a+bi cùng với a,b∈R.

- Theo bài xích toán, ta có:  

*

 Theo Vi-ét: z1+z2=-m, z1z2=i nên:

*
.

- Vậy ta gồm hệ: 

*

⇒ m=1-i hoặc m=-1+i.

° Ví dụ 3: Giải phương trình sau bên trên tập số phức:

a) z2 - 2z + 17 = 0

b) z2 + (2i+1)z + 1 - 5i = 0

c) 

*

* Lời giải:

a) Ta có: z2 - 2z + 17 = 0 ⇔ z2 - 2z + 1 = -16 ⇔ (z + 1)2 = 16i2 

⇔ (z + 1)2 = (4i)2 nên phương trình bao gồm 2 nghiệm phức: z1 = -1-4i; z2 = -1+4i

b) Ta có: 

*
 
*
 
*

⇒ phương trình sẽ cho bao gồm 2 nghiệm z1=1+i; z2=-2-3i.

 Dạng 7: Phương trình quy về phương trình bậc 2

* phương thức giải: Đặt ẩn phụ và mang về phương trình bậc 2 tính Δ.

° Ví dụ 1: Giải phương trình phức sau: 

*

* Lời giải:

- dấn thấy, z=0 chưa phải nghiệm của phương trình nên chia 2 vế đến z2, ta được: 

*

*

*

- Đặt 

*
, thi (*) trở thành: 
*

*
 
*

*
 hoặc 
*

- cùng với

*
 
*
 

*
 hoặc
*

- cùng với

*
*

 

*
 hoặc 
*

- Vậy phương trình (*) tất cả 4 nghiệm: 

*

° Ví dụ 2: Giải những phương trình phức sau:

a) 

*

b) 

*

c) 

*

d) 

*

e) 

*

* Lời giải:

a) Đặt t = z2, khi ấy pt trở thành: 

 

*

- Với 

*

- Với 

*

b) phân biệt z=0 chưa phải là nghiệm của phương trình phải chia 2 vế pt mang lại z2 ta được:

 

*

*

*
 (*)

- Đặt 

*
, lúc đó pt (*) trở thành: 
*
 
*
 hoặc 
*

- Với 

*
 và 
*

- Với 

*
hoặc 
*

c) Đáp án: 

*

d) Đáp án: 

*
*

 Dạng 8: Dạng lượng giác của số phức

* cách thức giải:

° Công thức De - Moivre: Là công thức nền tảng cho một loạt công thức đặc trưng khác như phép luỹ thừa, khai số phận phức, cách làm Euler.

- bí quyết 1: 

*

- bí quyết 2: 

*

- Số phức z=a+bi ta có: 

*

*
,

với 

*
 và góc φ được call là argument của z cam kết hiệu là arg(z). Trái lại với phép luỹ quá ta có phép khai căn.

° Ví dụ 1: Viết những số phức sau bên dưới dạng lượng giác, từ đó hãy viết dạng đại số của z2012

a) 

*

b) 

*

c) 

*

* Lời giải:

a) Ta có:

 

*
 
*
*

*

- Vậy 

*

*
 
*

- Vậy z2012=-23018

b) Ta có:

 

*
*

*
*
*

c) Ta có:

 

*
 
*
*

*

*

 

*

 

*

° Ví dụ 2: Gọi z1, z2 là nghiệp của phương trình: 

*
, tính quý giá của biểu thức: Q=z12012 + z22012

* Lời giải:

- Ta có: 

*

- Lại có: 

*
 và 
*
 
*

⇒ Phương trình đã cho gồm 2 nghiệm: 

*

- mặt khác 

*

*

*

*

° Ví dụ 3: Giải phương trình: 

*

* Lời giải:

- Đặt 

*
 thì 
*

- Phương trình đã mang đến trở thành: 

*

 

*
 (*)

- bởi z=-1 chưa phải là nghiệm của phương trình đề xuất nhân 2 vế (*) cùng với (z+1) ta được:

*
 
*

*

- Nên 

*
 vì z≠-1 nên không sở hữu và nhận giá trị k=3.

- Vậy phương trình đang cho gồm nghiệm: 

*
 
*
 
*
 
*
 
*
 
*
 với 
*
.

 Dạng 9: Tìm cực trị của số phức

* phương thức giải: Vận dụng kỹ năng và kiến thức tìm cực trị

° lấy một ví dụ 1: Cho số phức z thoả mãn 

*
, tìm số phức z có modul nhỏ nhất.

Xem thêm: Hình Xăm Hoa Mẫu Đơn, 70+ Mẫu Hình Xăm Hoa Mẫu Đơn Đẹp, Top 40 Hình Xăm Hoa Mẫu Đơn Ấn Tượng Nhìn Là Mê

* Lời giải:

- Đặt 

*
, khi đó 
*

*
. Vị vậy các điểm M màn biểu diễn số phức z thoả mãn việc nằm trên đường tròn trung tâm I(4;-3) bán kính R=3.

- Vậy |z| đạt giá trị nhỏ dại nhất khi còn chỉ khi điểm M∈(C) với gần O nhất. Lúc ấy M là giao điểm của (C) và đường thẳng OI, với M là giao điểm gần O rộng và 

*